1 курс 2 семестр (Математика - задание)

Числовые и функциональные ряды. Функции нескольких переменных.

Двойные и криволинейные интегралы.

Составители: А.Я.Казаков, В.М.Корчевский. Рецензенты: Фарафонов В.Г.

Методические указания и контрольные работы N 3 для студентов 1 курса заочной формы обучения технических специальностей.

Государственный университет аэрокосмического приборостроения, С.-Петербург 190000, Большая Морская, 67.

1

.

1Указания по выполнению контрольных работ

Студент выполняет контрольные работы по варианту, номер которого получа- ется из следующей формулы: следует разделить номер учебного шифра на 20, остаток от деления - номер варианта (если остаток 0, то номер варианта - 20).

При оформлении и выполнении контрольных работ следует:

1.В начале работы ясно написать фамилию студента, инициалы, номер студенческого билета, шифр, номер контрольной работы.

2.Контрольная работа выполняется в тетрадке, а не на листах, обязательно чернилами или шариковой ручкой (но не красными) с полями для замечаний рецензента.

3.Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в контрольных заданиях. Перед решением задачи должно быть полностью переписано ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует заменить данные задачи конкретными из своего варианта.

4.Решения задач и пояснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращений слов. Чертежи можно выполнять от руки.

Контрольные работы, выполненные с нарушениями изложенных правил или выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются без проверки.

Получив из университета прорецензированную работу, студент должен исправить в ней все отмеченные ощибки и недочеты. Если работа не зачтена, она должна быть в короткий срок либо выполнена заново целиком, либо должны быть заново решены задачи, не зачтенные рецензентом. Зачтенные контрольные работы предъявляют преподавателю на экзамене.

2Числовые ряды

Пусть {an}, n = 1, 2, 3, ... последовательность действительных чисел. Определение. Выражение a1 + a2 + . . . + an + . . . обозначают символом

∑∞

an

(1)

n=1

и называют числовым рядом. При этом элементы последовательности {an} называют членами ряда. Центральный вопрос данного раздела анализа - вопрос

2

о сходимости ряда, т.е. о смысле выражения (1).		∑k=1 ak называют частичной
суммой ряда.	Sn = a1 + a2 + ...+ an =
Определение. Сумму		n

Определение. Если последовательность {Sn} частичных сумм ряда имеет

конечный предел, то ряд называют сходящимся. При этом предел lim S =

∑ n→∞ n

S называют суммой ряда и записывают ∞n=1 an = S.

Если последовательность {Sn} не имеет предела, или предел бесконечен, ряд называют расходящимся.

Пример.

Рассмотрим последовательность an = θn, известный как геометрическая

прогрессия. Для нее известно: S						=	− n+1	θ	< 1, ïî-
					n		1− . Таким образом, если	| |		. Åñëè
следовательность Sn имеет конечный предел при n → ∞, Sn → θ(1 −θ)−1
θ		1, последовательность	S
| | ≥		n=		n	не имеет конечного предела, соответственно,
ðÿä		n=1∞ θn сходится при |θ| < 1 и расходится при |θ| ≥ 1.
Ранее в курсе анализа обсуждалось понятие предела последовательности и
	∑

свойства, которыми обладают сходящиеся последовательности. Как следует из приведенных выше определений, аналогичными свойствами обладают и сходящиеся ряды.

Предложение.

Пусть ряды

∞

a

,

∞

b

n

сходятся,

α, β - äâà ÷èñ-

n=1

n

n=1

ла. Тогда ряд

n∞=1(αan + βbn)

тоже сходится, причем

n∞=1(αan + βbn) =

∑

∑

∑

α

∞ an + β

∞

bn.

n=1

n=1

∑

Предложение

∑

∑

(Необходимый

признак

сходимости ряда). Если ряд

n∞=1 an сходится, то

limn→∞ an

= 0. (Отсюда следует: если

limn→∞ an ̸= 0

или этот предел не существует, то ряд

∞

a

n

расходится).

∑

n=1

Заметим, что обратное

утверждение, вообще говоря, неверно. Например,

∞

1

∑

n

→ ∞

члены гармонического ряда

, íî ýòîò

ряд расходится.

∑n=1 n

стремятся к нулю при

Пример. Рассмотрим ряд

∞ 2 + 3n

.

1

n=1

4n

∑ −

В данном случае an =

2+3n

3

̸= 0. Следовательно,

1−4n è ïðè n → ∞ имеем: an → −4

по необходимому признаку ряд расходится.

Определение. Ряд называется положительным, если все его члены поло-

жительны.			∑				∑
n > N имеет место неравенство an 6 bn. Тогда				a				b
Предложение.	(первый признак сравнения) Пусть		∞		n	è	∞		n
			n=1				n=1
два положительных ряда и существует такой номер		N N, что при любом

∑∞ ∑∞

1) åñëè ðÿä n=1 bn сходится, то сходится и ряд n=1 an,

3

ñÿ ðÿä

ðÿä∫ ∞

1

2) åñëè ðÿä

∞

a

n

расходится, то расходится и ряд

∞

b

n

.

n=1

n=1

Предложение.

(второй признак сравнения) Пусть

∞

è

∞

∑

∑ n=1 an

n=1 bn

∑

∑

два положительных ряда. Если существует и отличен от нуля и бесконечно-

одновременно. n→∞

a

n n

∑n=1

a

n

∑n=1

b

n

сти предел lim

/b

, òî ðÿäû

∞

è

∞

сходятся или расходятся

тельный ряд и существует предел limn→∞ √an = C. Тогда:

∑

Предложение.

(радикальный признак Êоши) Пусть

∞

a

n

положи-

n=1

2) åñëè C > 1, òî ðÿä

n

∑n∞=1 an расходится;

1) åñëè C < 1, òî ðÿä

n∞=1 an сходится;

∑

limn→∞

an

= C. Тогда справедливы следующие

Предложение.

(признак Даламбера) Пусть для ряда

∞

a

n

существует

an+1

∑

n=1

предел

∑n∞=1 an расходится;

утверждения:

2) åñëè C > 1, òî ðÿä

1) åñëè C < 1, òî ðÿä

∑

n∞=1 an сходится;

Предложение.

f(x), îïðå-

(интегральный признак Коши) Пусть функция

деленная при x > 1 неотрицательна и не возрастает. Тогда для того, чтобы

∑∞

n=1 f(n) сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

f(x)dx.

Определение. Пусть {an} последовательность положительных чисел. Тогда ряд

∑∞

a1 − a2 + a3 − a4 + . . . + (−1)n−1an + . . . = (−1)n−1an

n=1

называют знакопеременным. Другими словами, знакопеременным называют ряд, члены которого поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Теорема. (Лейбниц) Если

1) члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолютной вели-

÷èíå, an+1 < an (n = 1, 2, . . .) è
2) limn→∞ an = 0,						n=1(−1) /n			an = 1/n
∑	Рассмотрим ряд
òî ðÿä	∞ (	1)n−1a	n	сходится.
	n=1	−				∑ limn→∞ an = 0
÷òî an монотонно убывает,
Пример.						∞	n	. В данном случае	, òàê
					причем			. Следовательно, по теореме

Лейбница этот ряд сходится.

Определение∑ . Ðÿä ∑∞n=1 an называют абсолютно сходящимся, если сходит-

∞n=1 |an|.

Предложение. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

4

1

n ln n

Обратное, вообще говоря, неверно: существуют сходящиеся ряды, которые

не являются абсолютно сходящимися (такие ряды называют условно сходящи-

ряд не является

∑

∞

(−1)n 1

n=1

n

n=1 n

мися). Например, ряд

n=1

n сходится (по теореме Лейбница), однако, этот

расходится (гармонический ряд).

∑

∑

абсолютно сходящимся, поскольку ряд

∞

(−1)n 1

=

∞

1

Примеры.

∑n∞=1 an, ãäå an = n2n4

1) Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Вычисляем:

lim	√an = lim			2			= 2 > 1
	n			√
n→∞			n→∞ (			)4
					n
				n

√

(поскольку limn→∞ n n = 1), следовательно, ряд расходится.

2) Исследовать сходимость числового ряда ∑∞n=2 an, ãäå an =

Решение. Функция 1/(xlnx) положительна при x > 1 и монотонно убывает при x > e, так что можно воспользоваться интегральным признаком. Получаем:

∞

1

dx =

∞

1

d

x

x

∞

lim ln ln x

ln ln 2 =

,

∫2

∫2

−

∞

x ln x

ln x

(ln

) = ln ln

|2

= x→∞

таким образом, интеграл расходится, следовательно, ряд расходится.

3Последовательности и ряды функций.

Рассмотрим последовательность функций {fn(x)}, n = 1, 2, . . ., определенных на множестве E R.

Определение. Последовательность функций {fn(x)} называется сходящейся (поточечно) к функции f на множестве E (обозначается: fn → f), если числовая последовательность {fn(x)} сходится к f(x) при каждом x E. Другими словами, для любого x E и любого ε > 0 найдется такое N N, что для любого n > N выполнено |fn(x) − f(x)| < ε. (Здесь число N зависит от x E).

Определение. Последовательность функций {fn} называется равномерно сходящейся к функции f на множестве E (обозначается: fn f), åñëè äëÿ

любого ε > 0 найдется такое N N, что для любого n > N и любого x E выполнено |fn(x) − f(x)| < ε. (В этом определении число N уже не зависит от x).

Предложение. Равномерно сходящаяся последовательность функций сходится поточечно.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

5

Если у нас есть последовательность функций

{fn(x)},

n = 1, 2, . . ., задан-

ных на множестве E R, то мы можем

построить новую последовательность

n

функций {Sn(x)}, n = 1, 2, . . ., Sn(x) =

k=1 fk(x), x E.

Определение. Говорят, что ряд

∞

fn(x) сходится (равномерно сходится)

=1

на множестве

n ∑

E

, если на множестве E сходится (равномерно сходится) после-

∑

довательность {Sn(x)}.

n∞=1 fn(x).

Функции Sn(x), n N называются частичными суммами ряда

Функция S(x) такая, что Sn(x) → S(x) на множестве E

называется суммой

∑

ðÿäà

n∞=1 fn(x).

∞

Определение.

Говорят, что ряд

åñëè ðÿä

∑

n=1 fn сходится абсолютно,

∞

|fn(x)|

сходится для любого

x

E.

∑

n=1

∑

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

∞

y R,

y0 R.

an(y − y0)n,

(2)

n=0

Числа an R,

∑

n = 0, 1, 2, . . . называются коэффициентами ряда (2). С помо-

щью замены переменного (y − y0)

7→x ряд (2) может быть преобразован к

âèäó

∞

anxn.

(3)

∑

n=0

Поэтому мы ограничимся рассмотрением рядов вида (3).

Теорема. (Абель) Если степенной ряд (3) сходится при некотором значении x = x1, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях, для которых

|x| < |x1|. Если степенной ряд расходится при x = x1, то он расходится и при âñåõ x, для которых |x| > |x1|.

Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число R ≥ 0, ÷òî ïðè |x| > R ряд сходится, а при |x| > R ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда. Если интервал сходимости вырождается в точку, то R = 0. Если же ряд всюду сходится, то есть сходится при любом значении x, òî R = ∞.

Радиус сходимости R степенного ряда (3) можно определить через его ко-

эффициенты.

Отдельного обсуждения требуют точки x = R, x = −R: ряд может в них

сходиться или расходиться, в зависимости от поведения коэффициентов ряда. Таким образом, для степенного ряда интервал сходимости включает отрезок (−R, R) и, может быть, одну или обе точки x = −R, x = R.

6

ряда (3) равен R = ρ	1. (Ïðè ýòîì åñëè ρ = 0,		òî R			= + , åñëè ρ = +	, òî
−			an+1			∞	∞
R = 0).
Теорема. Если существует предел limn→∞			an		= ρ, то радиус сходимости

√

Теорема. (Коши-Адамар) Если ρ = limn→∞ n |an|, то радиус сходимости степенного ряда (3) равен R = ρ−1. (Ïðè ýòîì åñëè ρ = 0, òî R = +∞, åñëè

ρ = +∞, òî R = 0).

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.

В этом разделе мы будем рассматривать функции, представимые в виде степенного ряда, то есть функции вида

∑∞

	f(x) =	an(x − x0)n,	an R, n = 0, 1, 2, . . . ,	x0 R.	(4)
		n=0
Такие функции называют аналитическими.
∑	Теорема. Если функция f(x) представима в виде степенного ряда, f(x) =
	1) функция f(x) имеет на интервале (x0−R, x0+R) производные всех поряд-
	n∞=0 an(x − x0)n, с радиусом сходимости R > 0, òî

ков, которые могут быть найдены из ряда (4) почленным дифференцированием:

∑∞

f(m)(x) = n(n − 1) . . . (n − m + 1)an(x − x0)n−m, m = 1, 2, . . . ; (5)

n=m

2) для любого x (x0 − R, x0 + R)

x	∞
∫x0	∑
	f(t)dt = n=0

an	(x − x0)n+1,	(6)
n + 1

таким образом, ряд (4) можно почленно интегрировать на интервале (x0 −

R, x0 + R);

3) ряды (4), (5) и (6) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Теорема. Если функция f(x) раскладывается в некоторой окрестности

точки x

в степенной ряд f(x) =

∞

a

(x

x

)n, òî

0

f

(n)

∑n=0

n

−

0

an =

(x0)

,

n = 0, 1, 2, . . . ,

n!

и, следовательно, справедлива формула

∞

f(n)(x0)

f(x) =

∑

(x − x0)n.

n=0

n!

7

Определение. Ðÿä

∞	f(n)(x0)			(7)
∑			(x − x0)n
n=0	n!

называют рядом Тейлора функции f в точке x0. Ïðè x0 = 0 ряд (7) называют рядом Маклорена функции f.

Пусть функция f имеет в точке x0 производные до порядка n включительно. Тогда можно записать

n	f(k)(x0)
∑			(x − x0)k + rn(x0; x).
f(x) =	k!			(8)
k=0

Формула (8) называется формулой Тейлора. Функция rn(x0; x) называется n-м остаточным членом формулы Тейлора.

Предложение. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в неко-

торой окрестности точки x0. Для того, чтобы функция f равнялась сумме сво-
необходимо и достаточно, чтобы остаточный член				∑	f(n)(x0)
его ряда Тейлора в некоторой точке	x	, òî åñòü	f(x) =	∞	n!	n,
				n=0		(x − x0)

формулы Тейлора (8) стре-

мился к нулю при n → ∞: limn→∞ rn(x0; x) = 0.

Теорема. Если функция f(x) имеет производную порядка n+1 ëå (x0 − h, x0 + h), h > 0, то остаточный член rn(x0; x) ее формулы для всех x (x0 − h, x0 + h) можно записать в виде:

rn(x0; x) = f(n+1)(x0 + θ(x − x0))(x − x0)n+1,

(n + 1)!

на интерваТейлора (8)

(9)

ãäå 0 < θ < 1. Формула (9) называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Пример.

Воспользуемся теоремой Коши-

∑

∞ anxn, ãäå an

= ln n

Найти интервал сходимости степенного ряда

n=1

n

Решение.

Адамара:

n

n

ln n

ρ

lim

a

= lim

,

|

n|

√ n

= 1

= n→∞

n→∞

n∞=1

сходится (по теореме Лейбница). При x = 1 получаем∑

n , который

следовательно, R = = 1. Ïðè x = −1 получаем ряд

n∞=1(−1)

n , который

1

√

n ln n

расходится. Таким образом, интервал сходимости нашего

∑ [−1, 1).

ðÿä

ln n

ðÿäà

Ряды Фурье.

Определение. Ðÿäû âèäà

8

	a	∑	(an cos	nπx			nπx	) ,
		∞
	0	+ n=1			+ bn sin				(10)
	2			l			l
l > 0, an R, n = 0, 1, 2, . . . ,						bn R, n = 1, 2, . . .

называют тригонометрическими рядами. Числа an, bn называют коэффициен- тами тригонометрического ряда (10).

Определение. Система функций

1

, cos

πx

, sin

πx

, . . . , cos

nπx

, sin

nπx

, . . . ,

l > 0

2

l

l

l

l

называется основной тригонометрической системой на интервале (−l, l).

Определение. Пусть функция f задана на интервале (−l, l). Числа

1

l

1

l

nπx

1

l

nπx

∫−l f(x)dx,

∫−l f(x) cos

∫−l f(x) sin

a0 =

an =

dx,

bn =

dx,

n

l

l

l

l

l

называются коэффициентами Фурье функции f(x) по основной тригонометри- ческой системе.

Замечание. Чаще всего в приложениях используют вариант, когда l = π. При этом и формулы (11) становятся несколько проще:

		1			1			1
	a0 =		∫− f(x)dx,	an =		∫− f(x) cos(nx)dx,	bn =		∫− f(x) sin(nx)dx,
		π			π			π

Определение. Тригонометрический ряд (10), коэффициенты которого определяются по формулам (11), называется рядом Фурье функции f(x).

Определение. Говорят, что функция f(x), заданная на интервале (−l, l), удовлетворяет условиям Дирихле, если она

1)ограничена на этом интервале;

2)имеет на этом интервале не более, чем конечное число точек разрыва первого рода;

3)имеет на этом интервале не более, чем конечное число точек экстремума.

Теорема. Если на интервале (−l, l) функция f удовлетворяет условиям

Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого интервала. Сумма этого ряда равна

1) f(x), åñëè x точка непрерывности функции f;

9

2) 12 [f(x − 0) + f(x + 0)], åñëè x точка разрыва функции f; 3) 12 [f(−l + 0) + f(l − 0)] на концах этого интервала.

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [−l, l] и имеет на

этом отрезке не более, чем конечное число точек экстремума. Если выполнено равенство f(−l) = f(l), то ряд Фурье функции f сходится равномерно на этом

отрезке, и сумма его в произвольной точке x [−l, l] равна значению функции f в этой точке.

Замечание. Из определений следует, что если f(x) четная функция, то ее ряд Фурье имеет вид

	a0		∞		nπx
			∑
		+	an cos				.
2			n=1			l
Ряд Фурье нечетной функции имеет вид
		∑		nπx
		∞
			bn sin	l		.
		n=1

Определение. Число T > 0 называют периодом функции f, если для любого числа x, принадлежащего области определения E R функции f, числа x + T è x − T также принадлежат E и для любого x E выполнено условие f(x + T ) = f(x). Функция, имеющая период T , называется T -периодической.

Если функция f определена на промежутке [−l, l) то ее можно продолжить на всю числовую ось так, чтобы получилась 2l-периодическая функция. Следует положить

g(x + 2lk) = f(x), x [−l, l), k = 0, ±1, ±2, . . . .

Функция g, очевидно, 2l-периодическая и на промежутке [−l, l) совпадает с функцией f. Поэтому функции f è g, рассматриваемые только на интервале (−l, l) имеют один и тот же ряд Фурье.

Замечание. Если функция f является T -периодической, интегрируемой на отрезке [0, T ] (в собственном или несобственном смысле), то для любого числа a имеет место равенство

∫ a+T ∫ T

f(x)dx = f(x)dx.

a 0

Таким образом, для коэффициентов Фурье 2l-периодической функции, удовлетворяющей на интервале (−l, l) условиям Дирихле, справедливы формулы

10