3. Фигура с минимальным периметром
В этом разделе пояснительной записки на примере выбора формы огорода приводится решение задачи определения плоской фигуры заданной площади, имеющей наименьший периметр
3.1. Постановка задачи
Четыре огорода в форме круга, квадрата и двух прямоугольников с отношением сторон 2:1 и 3:1 имеют одинаковую заданную площадь 2000 м2. Определить огород, вокруг которого забор будет самым коротким.
3.2. Требования к решению
Для решения задачи необходимо использовать Excel97 с соблюдением следующих требований:
полное решение разместить на одном рабочем листе;
заданную площадь огородов представить в верхней части рабочего листа;
таблицу результатов решения разместить под исходными данными;
задачу снабдить заголовком, который следует подходящим образом отформатировать;
в качестве итога расчетов предусмотреть ячейку с длиной самого короткого забора и ячейку с автоматическим указанием формы соответствующего огорода;
для удобства работы переименовать рабочий лист в соответствии с размещенной на нем информацией;
после окончания форматирования отменить показ сетки на рабочем листе;
обеспечить автоматическое изменение результата решения при изменении исходных данных.
Последнее требование является наиболее важным. Оно касается не только числовых исходных данных, но и текстовых (например, форм огородов).
3.3. Анализ задачи
Обозначим заданную площадь огородов буквой S. Составим формулы для вычисления длины заборов вокруг огородов, которая совпадает с периметром соответствующей фигуры.
Рассмотрим сначала огород в форме круга. Поскольку для круга с диаметром Dпериметр равен длинеLокружности, можем написать следующие расчетные формулы
Для квадрата со стороной a периметрPможно вычислить с помощью следующих формул
Переходим к формулам для двух огородов в форме прямоугольников. Обозначим через bменьшую сторону прямоугольника, а черезqотношение его сторон (для первого прямоугольникаq=2, для второго –q=3). Тогда формулы для вычисления периметра в случае прямоугольника можно записать так
Рассмотрим теперь формулы для выбора самого короткого забора вокруг четырех огородов. Пусть i– порядковый номер огорода,Pi– периметрi- го огорода,Pmin– искомый минимальный периметр. Тогда можно написать формулу
Обозначим буквой T– форму огорода с самым коротким забором и напишем формулу для ее автоматического вычисления
Легко проверить, что условия задачи позволяют выполнить расчеты по формулам (3.1)-(3.5) и найти решение поставленной задачи.
3.4. Описание решения задачи
Фрагмент рабочего листа Excelс решением задачи об огородах (см. рис. 3.1) дает пример возможного оформления результатов вычислений.
Ввод и форматирование заголовка произведено так, как описано в задачах о платежной ведомости и об оптимальном бизнесе. Заданная площадь огородов введена в ячейку B3. Расчеты, связанные с определением длины заборов вокруг огородов, представлены в табличной форме в ячейках интервалаA4:D8. Первая колонка таблицы представляет варианты формы огородов. Длина заборов (периметры), вычисленная по формулам (3.1)-(3.3), видна во втором столбце таблицы. Вспомогательные величины вычислены в ячейках интервалаD5:D8 и вместе с кратким пояснением в ячейкахC5:C8 образуют третий столбец таблицы (см. рис. 3.1). Например, для квадрата в ячейкуD6 введена формула =КОРЕНЬ(B3), обеспечивающая вычисление стороны, а в ячейкуB6 формула =4*D6 для вычисления периметра. Копирование этих формул в другие ячейки не производилось, поэтому в них можно использовать ссылки на ячейки любого типа. Основу указанных двух формул составляют формулы (3.2) из подраздела 3.3.
Наибольший интерес представляют формулы в ячейках B10 иC10. В ячейкуB10 введена формула =МИН($B$5:$B$8), реализующая вычисление минимального периметраPminпо формуле (3.4). Более сложна формула в ячейкеC10
=ЕСЛИ(B5=B10;A5;ЕСЛИ(B6=B10;A6;ЕСЛИ(B7=B10;A7;A8)))
Она реализует выбор варианта формы огорода с минимальным периметром в точном соответствии с формулой (3.5). Пояснения по использованию логической функции ЕСЛИ имеются в подразделе 2.4.