Глава 3. Цифровая обработка сигналов

3.1. Дискретизация сигналов

Цифровая обработка сигналов обладает многими преимуществами. В связи с этим перед обработкой в компьютере аналоговые сигналы преобразуются в цифровую форму. Цифровым сигналом называется такой сигнал, который может принимать ограниченный ряд значений зависимых и независимых переменных. Независимыми переменными обычно являются время или координаты, а зависимыми - амплитуда.

Цифровые (дискретные) сигналы окружают нас повсюду. Телефонные компании используют цифровые сигналы для представления человеческого голоса. Радио, телевизионные и высококачественные звуковые системы - все используют поэтапное преобразование сигнала в цифровую форму из-за ее безукоризненной точности воспроизведения, подавления шумов и больших возможностей обработки сигналов. Снимки NASA удаленных планет и космического пространства часто подвергаются цифровой обработке для удаления шумов и выделения полезной информации. Данные в экономической области, результаты переписи населения и цены акций на фондовой бирже - все это доступно в цифровом формате.

Для получения цифрового сигнала, прежде всего, необходимо преобразовать его в дискретное представление. На практике под этим понимается использование аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Рассмотрим аналоговый сигнал x(t), который дискретизируется каждые t секунд. Временной интервал t называют интервалом дискретизации или периодом дискретизации. Обратная величина, 1/t, известна как частота дискретизации или частота выборки с единицей измерения - количество выборок в секунду. Каждое из дискретных значений x(t) в моменты времени t = 0, t, 2t, 3t, и т.д. называются выборками. Таким образом, х(0), x(t), x(2t), ... образуют полный набор выборок. Сигнал x(t) может быть представлен дискретным набором выборок, как это показано в следующем уравнении:

{x(0),x(t),x(2t),x(3t), ...,x(kt), ... }

На рис. 3.1 показан аналоговый сигнал и соответствующая ему оцифрованная версия. Выборки заданы в дискретные моменты времени.

Рис. 3.1. Аналоговый и оцифрованный сигнал

Далее будет использоваться следующая условная запись для представления отдельных выборок:

, для i = 0, 1, 2, …

Если N выборок были получены для сигнала x(t), то он может быть представлен последовательностью:

Она известна как дискретное представление или дискретизированная версия сигнала x(t). Следует обратить внимание, что элементы последовательности нумеруются целочисленной переменнойi и не содержат какой-либо информации о частоте выборки. Зная только значения выборок, содержащихся в X, нельзя узнать, с какой скоростью производилась выборка (оцифровка).

3.2. Частота выборки

Один из наиболее важных параметров измерительной системы с аналоговым вводом или выводом является частота, с которой измерительное устройство производит выборку входного сигнала или генерацию выходного. Частота сканирования или частота выборки определяет, насколько часто имеет место аналого-цифровое или цифро-аналоговое преобразование. При большей частоте выборки собирается больше точек за данное время, что позволяет построить лучшее представление исходного сигнала, чем при низкой частоте выборки. Генерация одно герцового сигнала с использованием 1000 точек на период при частоте 1000 выборок в секунду создает гораздо более точное представление, чем использование 10 точек на период при частоте 10 Выб/сек.

Слишком низкая частота выборки приводит к такому явлению, как наложение частот (aliasing), что вызывает искажение в представлении аналогового сигнала. Недостаточная скорость оцифровки является причиной того, что сигнал выглядит так, как будто его частота отлична от действительной. Чтобы избежать наложения частот оцифровку производят с частотой, большей частоты самого сигнала.

На рис. 3.2 показан случай удовлетворительно оцифрованного сигнала (1) и эффект наложения частот из-за недостаточной частоты выборки (2).

Рис. 3.2. Влияние частоты оцифровки на представление сигнала

Для точного представления частоты сигнала при измерениях вы должны производить выборки с частотой, большей удвоенной максимальной частотной ком попеты сигнала, в соответствии с теоремой Найквиста. Частота Найквиста - это максимальная частота сигнала, при которой его можно точно представить без эффекта наложения частот с данной частотой выборки. Частота Найквиста равна половине частоты выборки. В сигналах, имеющих частотные компоненты, превышающие частоту Найквиста, появятся ложные низкочастотные составляющие. Частота этой составляющей равна по модулю разности между частотой входного сигнала и наиболее близкой частотой, равной целому числу, умноженному на частоту выборки.

Например, возьмем частоту выборки равной 100 Гц. Предположим также, что входной сигнал содержит компоненты с частотами: 25 Гц, 70 Гц, 160 Гц и 510 Гц, как показано на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Частоты оцифровки и сигнала

Частотные компоненты ниже частоты Найквиста (= 50 Гц) оцифровываются правильно. Это показано на рис. 3.4. Частотные компоненты выше частоты Найквиста появляются как побочные. Например,(25 Гц) появляется на правильной частоте,a (70 Гц), (160 Гц), и (510 Гц) имеют низкочастотные ложные компоненты на частоте 30 Гц, 40 Гц, 10 Гц.