V. Проверка теоремы Штейнера.

1. Насадите на ось пружины стержень без грузов. Ось пружины должна совпадать с центром стержня.

2. Измерьте период колебаний описанным выше способом (пункт II).

3. Сместите стержень относительно центра на некоторое расстояние d.

4. Измерьте период колебаний стержня со смещённой осью.

5. Измерьте массу стержня, его длину и расстояние d.

Обработка результатов измерений

I. Определение модуля кручения пружины.

1. Вычислите модуль момента силы М по формуле 5.9.

2. Полученные данные занесите в таблицу 1.

3. По полученным данным постройте график зависимости М от ..

На графике (рис 5.3) тангенс угла наклона прямой будет численно равен модулю кручения пружины D. (формула 5.8).

4. Вычислите экспериментальное значение момента инерции. по формуле 10, используя полученные значения D и T.

5. По одной из формул (5.1 – 5.5) вычислите теоретическое значение момента инерции для данного тела.

6. Сравните теоретические и экспериментальные результаты.

7. По данным таблицы 2 нанесите на график зависимости J=f(r²) экспериментальные точки.

8. Запишите аппроксимирующую функцию для момента инерции стержня с грузами в виде

здесь m –масса одного груза.

В переменных J=f(r²) это уравнение прямой не проходящей через начало координат.

9. По методу наименьших квадратов проведите прямую согласно функциональной зависимости.

Отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат равен моменту инерции стержня J_ст.

10. Сравните это значение с теоретическим значением J (формула 5.5). Результат сравнительной оценки представьте в процентах.

11. Вычислите по формуле (5.11) момент инерции стержня без грузов J_o относительно оси, проходящей через его центр масс, используя соответствующее значение периода колебаний, полученное в пункте V.

12. Вычислите по формуле (5.11) момент инерции стержня без грузов J относительно оси, смещённой на расстояние d, используя соответствующее значение периода колебаний, полученное в пункте V.

13. Вычислите по формуле (5.6) теоретическое значение момент инерции стержня J, используя результаты измерения расстояния d, массы и длины стержня из пункта V.

14. Выполните сравнительную оценку теоретического и экспериментального значения момента инерции стержня.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный минерально-сырьевой университет ”Горный”

Кафедра общей и технической физики.

Механика

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012 г.

РАБОТА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Цель работы - исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс крестовины.

Теоретические основы лабораторной работы

При выводе расчётных формул лабораторной работы использованы законы динамики поступательного и вращательного движения твердого тела.

Второй закон Ньютона для поступательного движения тела (m = const)

(6.1)

где - сумма всех внешних сил, приложенных к телу;m – масса тела; - линейное ускорение.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

(6.2)

где - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения;J- момент инерции тела относительно той же оси;- угловое ускорение.

Момент инерции телаявляется мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле

,

где - расстояние от элемента объемас массойdmдо оси вращения;- плотность вещества.

Момент силы относительно точки О это вектор, определяемый как векторное произведение радиус-вектора и силы

где - сила,- радиус-вектор, проведенный из точкиО, в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения это проекция вектора момента силы относительно точки на произвольную осьz, которая проходит через точку О:

.

Основным элементом маятника Обербека (рис. 6.1) является крестовина (1), на стержнях которой размещены грузы (2). Грузы можно перемещать по стержням и закреплять в нужном положении. Крестовина с грузами насажена на вал, с двумя шкивами различных радиусов (r_ш). На один из шкивов наматывается нить (4), переброшенная через блок (5). К концу нити подвешен груз массой m (3). Под действием силы тяжести груза система приводится в движение.

На вертикальном штативе установлены две неподвижные рамки с оптическими осями (световые барьеры), между которыми может двигаться груз. Груз удерживается в верхнем положении электромагнитом. Время падения груза от верхнего до нижнего светового барьера фиксируется на секундомере.

На груз действует сила тяжести =m и сила натяжения. В соответствии со вторым законом Ньютона можно записать

В проекциях на вертикаль (с учётом знаков проекций)

(6.3)

где g- ускорение свободного падения;а– величина линейного ускорения, с которым движется груз.

Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения

М = Fr_о (6.4)

где r_о- радиус шкива.

Из уравнений (2) - (4) можно получить

Используя соотношение между угловым и линейным ускорением а e = а/r_0, получим выражение для момента инерции

(6.5)

Из кинематики известно, что линейное ускорение при равноускоренном движении определяется по формуле

а= 2h/t² (6.6)

где h- путь, пройденный грузом за времяt при нулевой начальной скорости.

Таким образом, подставляя (6.6) в (6.5), получим расчётную формулу для момента инерции крестовины с грузами

(6.7)

Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой (если считать грузы материальными точками), можно выразить формулой

(6.8)

где J₀- момент инерции тела приr= 0.

Из формулы (6.8) следует, что J_р = f(r²). Следовательно, если построить график этой функции в координатах J_р - r², то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать ось ординат в некоторой точке, соответствующей J_о. Такое построение можно было бы сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдения позволяют сделать такое построение достаточно точным. Наиболее просто это можно сделать, с помощью метода наименьших квадратов, вычислив J₀ и .

Для этого перепишем формулу (7.8) в виде

, (6.9)

где r²=хи 4m' =b.

Метод наименьших квадратов позволяет найти коэффициенты уравнения (6.9) J₀иb, используя формулы

(6.10)

здесь число опытов;J_i- экспериментальные значения момента инерцииJ_э, полученные для каждого опыта.

Порядок выполнения работы

1. Установить на вертикальном штативе со шкалой две неподвижные рамки (световые барьеры) на расстоянии 40-50 см друг от друга.

2. Измерить радиус шкива r_ш, на котором ведется эксперимент и путь, пройденный грузом.

3. Установить грузы на стержнях на максимальное расстояние от оси вращения и закрепить.

4. Включить установку нажатием кнопки «сеть».

5. Отключить электромагнит нажатием кнопки «пуск» и «сброс».

6. Выбрать необходимый груз по указанию преподавателя (табл.6.1).

Таблица 6.1

Основной груз	m = 53 г. или m = 100 г.
Перегрузы:	m1 = 1,554 г.	m6 = 2,504 г.	m10 = 19,528 г.
	m2 = 1,705 г.	m7 = 2,714 г.	m11 = 26,258 г.
	m3 = 1,829 г.	m8 = 2,948 г.	m12 = 32,836 г.
	m4 = 2,055 г.	m9 = 12,800 г.	m13 = 39,251 г.
	m5 = 2,206 г.

7. Намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки (над оптической осью верхнего светового барьера).

8. Закрепить груз, нажав кнопку «пуск» и обнулить счетчик (кнопка «сброс»).

9. Отпустить груз (кнопка «пуск») записать измеренное время движения груза t до оптической оси нижней рамки.

10. Произвести не менее 3-х измерений времени t и вычислить.

11. Сместить грузы на стержнях на 1 – 2 деления к центру и повторить п.п. (3÷6), измеряя расстояние r от оси вращения до центра масс груза.

12. Повторить измерения для 8 – 10 положений грузов.

13. Записать результаты эксперимента в таблицу 6.2.

Таблица 6.2

Физ. величина	r	t		Jэ	Jр
Ед. измерения Номер опыта
1
2
…
n