17

1.1. Позиционные системы счисления

Совокупность правил записи чисел называется системой счисления. Наиболее часто используются позиционные системы, в которых целое положительное число записывается в виде последовательности символов , а вес каждого символа равен q^р, где q — основание системы счисления, e_p – 0,1,..., q-1. Тогда любое целое положительное число Е в системе счисления с основанием q можно записать в виде:

При вычислении суммы полагаем, что все значения е_р и q^p представлены в привычной десятичной системе счисления. Максимальное n-разрядное число получается при е_р = q — 1 для всех р = 0,1,..., n—1:

Напомним, что в десятичной системе счисления (в десятичном коде) основанием системы является число q=10, используемых цифр — десять: 0, 1, 2, ..., 9, а цены («веса») единиц в соседних разрядах отличаются в 10 раз. В этой системе любое число представляется последовательностью коэффициентов в разложении этого числа по степеням числа 10. Так, например, число 38₁₀ (индекс 10 указывает на запись числа в десятичной системе счисления) выражается суммой: 38₁₀=310¹+810⁰, где основание системы 10 возводится в нулевую степень (в первом, младшем разряде), в первую степень (во втором разряде), а коэффициентами ряда являются цифры 3 и 8, последовательное написание которых представляет рассматриваемое число.

В двоичной системе счисления основанием системы является число 2, используемых цифр — две: 0 и 1, а веса единиц в соседних разрядах отличаются вдвое. Число в двоичной системе счисления представляется последовательностью коэффициентов в разложении этого числа по степеням числа 2. Так, число 38₁₀ выражается следующим рядом по степеням 2:

38₁₀=12⁵+02⁴+02³+12²+12¹+02⁰=100110₂,

где индекс 2 указывает, что данная совокупность знаков выражает число в двоичной системе счисления (является двоичным кодом числа).

Как следует из последнего примера, двоичный код формируется так же, как десятичный; его знаки — коэффициенты в разложении числа по степеням основания (в данном случае по степеням 2).

Заметим, что рассмотренный двоичный код (у которого веса единиц в соседних разрядах отличаются вдвое) называется натуральным двоичным кодом. В таком коде было записано приведенное ранее число.

Преимуществом двоичной системы счисления является то, что она использует только две цифры. Поэтому в аппаратуре для выполнения операций над числами в двоичной системе счисления (над двоичными числами) достаточно пользоваться двумя значениями, к примеру, напряжения. Восприятие же человеком информации, представленной в двоичной системе счисления, сильно затруднено как из-за ее монотонности, так и из-за большого числа разрядов, необходимых для ее представления.

В общем случае существует qⁿ различных n-разрядных чисел (с учетом нуля).

Системы счисления с основаниями q = 2^k при k = 2,3,4,... жестко связаны с двоичной системой счисления (k = 1). Для перевода чисел из этих систем в двоичную запись достаточно цифры е_р = 0,1,2,...,2^k - 1 всех разрядов числа представить k-разрядным двоичным кодом. Не более сложно и взаимное преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Для общения человека с ЭВМ наиболее удобна система счисления с основанием q = 16 (k = 4).

В табл. 1 показан перевод 15 чисел из одной системы счисления в другую для наиболее часто используемых оснований q = 10,2, 16.

Таблица 1.
q
10	2	16	10	2	16
00	0000	0	08	1000	8
01	0001	1	09	1001	9
02	0010	2	10	1010	А
03	0011	3	11	1011	В
04	0100	4	12	1100	С
05	0101	5	13	1101	D
06	о11о	6	14	1110	Е
07	0111	7	15	1111	F

В принципе, для записи чисел Е в позиционных системах счисления можно определить унитарную систему счисления, в которой используется основание q = 1, а ее единственный символ обозначить через е_р = 1 (формально следовало бы положить е_р = 0). Так как q^p = 1, то вес разряда не зависит от его положения в записи числа, т.е. система счисления, по существу, превращается в непозиционную. Это самая древняя система счисления, использующая зарубки на прикладе ружья. В электронике унитарная система счисления применяется довольно часто для представления чисел количеством импульсов, подаваемых на вход устройства (например, Е = (111111)₁ = 6₁₀, где символ 1 означает один импульс).

Для кодирования информации в электронных схемах широкое применение находит унитарный код, содержащий символ 1 только в одной позиции n-разрядного кода (в остальных позициях проставляются символы 0), т. е. для представления информации используется специальное двоичное ее кодирование. Так, например, числа от 0 до 7 можно записать с помощью унитарного кода:

0₁₀ = 00000001; 4₁₀ = 00010000;

1₁₀ = 00000010; 5₁₀ = 00100000;

2₁₀ = 00000100; 6₁₀ = 01000000;

3₁₀ = 00001000; 7₁₀ = 10000000.

Унитарный код чаще всего применяется для кодирования нечисловой информации. В частности, на выходах полных дешифраторов всегда реализуется унитарный код.