metod-zad

x))x32 :

5.7.11. ‚ëç¨á«¨âì ¯à¨¡«¨¦¥--®¥ §- ç¥-¨¥ ln tg 47o150.

5.10.1. xlim!1

x2 ¡ 1 + ln x

:

ex

¡

e

x ¡

sin

x

:

5.10.2. xlim!0

xnx3

5.10.3. xlim!1

: x

ex

xe 2

:

5.10.4. xlim!1 x + ex

:

5.10.5. xlim!0

¡x1

x¢

µ

2 ln

¶

!

x)x:

¡

¡

1

1

:

5.10.6. xlim0

x

ex

5.10.7. xlim!0(sin

¼ (tg x)2 cos x:

5.10.8. xlim! 2

x)ln x:

5.10.9. xlim!0(1 +

x3 ¡ 3x2 + 2

:

4x2 + 3

5.10.10. xlim!1 x3

e

2x¡

2x

¡ e¡

:

5.10.11. xlim!0

ln 1 + x

¼ ¡ 2arctgx

:

5.10.12. xlim!1

e

x¡ 1

x3

x

2 ¡ (e

+ e¡

) cos x

:

5.10.13. xlim!0

x4

5.10.14. xlim!0

e3x ¡ 4x ¡ 1

:

sin2 5x

ln x

:

5.10.15. xlim!1 x5

ln x

:

5.10.16. lim0

1

+ 2 ln sin

x

x!

tg ¼x

2:

5.10.17.xlim!1 ln (1 ¡ x)

	ln(x ¡ 1)	:
	5.10.18. xlim!1 ctg ¼x

xctg (¼x)):

5.10.19. xlim!0(

x ¢ ctg x):

5.10.20. xlim!0(arcsin

¡cos x)ctg x:

5.10.21.xlim!0(1µ 1 ¡ 1 ¶: x ¡ 1 ln x

¶5.10.22. xlim!1 µ

	1	¡ ctg 2x :
5.10.22. xlim0	x2
!

¼ ¡ 2x)cos x:

5.10.23. xlim!¼2 (

5.10.24. xlim!0(cos (2

x + 3x) 1 :

x

5.10.24. xlim!1(

11

y(¡2) = 2; y(¡1) = ¡2; y(1) = 2; y(3) = ¡27:

5.10.25. xlim!0 µ xx¶

1

:

tg

x2

5.11.1. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¢®§à áâ -¨ï ¨ ã¡ë¢ -¨ï äã-ªæ¨¨ y = x4 ¡ 3x3:

•¥è¥-¨¥. ‚®-¯¥à¢ëå, ®â¬¥â¨¬, çâ® ¤ -- ï äã-ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥-

- ¢á¥© ç¨á-

«®¢®© ¯àאַ©. „ «¥¥, ᮣ« á-® á奬¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨ï äã-ªæ¨¨ -

¬®-®â®--®áâì,

- ©¤¥¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî ¤ --®© äã-ªæ¨¨:

y0 = 4x3

¡

9x2 = x2(4x

¡

9):

‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® y0 < 0 ¯à¨ x

2

(

¡1

; 0)

[

(0; 9) ¨ y0 > 0 ¯à¨ x

2

(9; +

1

):

4

4

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ -- ï äã-ªæ¨ï ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ x 2 (¡1; 0) [ (0; 9) ¨ ¢®§à á- 4

⠥⠯ਠx 2 (9; +1):

4 p 5.11.2. ˆáá«¥¤®¢ âì - ¬®-®â®--®áâì äã-ªæ¨î y = x(1 + x):

•¥è¥-¨¥. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® § ¤ -- ï äã-ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥- ¯à¨ x 2 [0; +1): ’¥- ¯¥àì - 室¨¬

y0 = 1 + 3x21 :

2 ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®¨§¢®¤- ï ¯®«®¦¨â¥«ì- ¢áî¤ã - ®¡« á⨠¤®¯ãá⨬ëå §- -

ç¥-¨©, ¯®í⮬㠤 -- ï äã-ªæ¨ï ¢®§à á⠥⠢áî¤ã - ᢮¥© ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥-

-¨ï. x. 5.11.3. ˆáá«¥¤®¢ âì - íªáâ६㬠äã-ªæ¨î y = (x ¡ 5)e

•¥è¥-¨¥. • 室¨¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî:

y0 = ex + (x ¡ 5)ex = (x ¡ 4)ex:

•à¨à ¢-¨¢ ¥¬ ¥¥ ª -ã«î ¨ - 室¨¬ ªà¨â¨ç¥áªãî â®çªã x = 4. Šà®¬¥ ⮣®, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à¨ x < 4 y0 < 0, ¯à¨ x > 4 y0 > 0, ¯®í⮬㠯® ⥮६¥ 11.4

â®çª x = 4 ï¥âáï â®çª®© ¬¨-¨¬ã¬ , §- ç¥-¨¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨ ¢ í⮩ â®çª¥ - ¬¨-¨¬ «ì-®¥ §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨:

ymin = y(4) = ¡e4:

5.11.4. • ©â¨ - ¨¡®«ì襥 ¨ - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨ï äã-ªæ¨¨ y = 3x ¡ x3 -

®â१ª¥ [¡2; 3]:

•¥è¥-¨¥. • ©¤¥¬ ¯à®¨§¢®¤-ãî äã-ªæ¨¨:

y0 = 3 ¡ 3x2 = 3(1 ¡ x2) = 3(1 ¡ x)(1 + x);

â.¥. â®çª¨ x = §1 п¢«повбп ªа¨в¨з¥бª¨¬¨. ’¥¯¥ам - 室¨¬ §- з¥-¨п ¤ --®©

äã-ªæ¨¨ ¢ - ©¤¥--ëå ªà¨â¨ç¥áª¨å â®çª å, â ª¦¥ ¢ ª®-殢ëå â®çª å ®â- १ª :

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, - ¨¡®«ì襥 §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ - § ¤ --®¬ ®â१ª¥ ¤®á⨣ - ¥âáï ¢ â®çª å x = ¡2 ¨ x = 1, ¯à¨ç¥¬ ymax = 2. • ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨¥ äã-ªæ¨ï

¨¬¥¥â ¯à¨ x = 3, ymin = ¡27.

12

5.11.5. • ©â¨ ¨-â¥à¢ «ë ¢ë¯ãª«®á⨠¢¢¥àå ¨ ¢ë¯ãª«®á⨠¢-¨§ ªà¨¢®© y =

x5 + 5x ¡ 3:

•¥è¥-¨¥. • ©¤¥¬ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪®¢:

			y0 = 5x4 + 5; y00 = 20x3:
•à¨ x < 0 y00 < 0, ¯®í⮬㠪ਢ ï ¢ë¯ãª«				¢¢¥àå,		¯à¨ x > 0 y00 > 0, á«¥¤®¢ -
⥫ì-®, ªà¨¢ ï ¢ë¯ãª«	¢-¨§.					+ 2:
5.11.6. • ©â¨ â®çª¨ ¯¥à¥£¨¡ ªà¨¢®© y = (x ¡ 5)35
•¥è¥-¨¥. • 室¨¬
y0 = 5(x			5)32 ; y00 = 10(x		5)¡31 =		10		:
3		¡	9	¡		9p3 x ¡ 5

‚â®à ï ¯à®¨§¢®¤- ï -¥ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì -¨ ¯à¨ ª ª¨å §- ç¥-¨ïå x ¨ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ x = 5, ªà®¬¥ ⮣®, ¯à¨ x < 5 y00 < 0 ¨ ¯à¨ x > 5 y00 > 0.

•®í⮬ã â®çª (5;2) | â®çª

¯¥à¥£¨¡ .

5.11.7. • ©â¨ ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y = r

x3

x

2.

¡

•¥è¥-¨¥. Ž¡« áâìî ®¯à¥¤¥«¥-¨ï § ¤ --®© äã-ªæ¨¨ ï¥âáï ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥

¨-â¥à¢ «®¢ (¡1; 0) ¨ (2; +1). ’ ª ª ª x!2+0 rx ¡ 2 = +1, â® ¯àï¬ ï x = 2

lim

x3

ï¥âáï ¢¥à⨪ «ì-®©

ᨬ¯â®â®© ªà¨¢®© (¢ ¤¥©á⢨⥫ì-®áâ¨, ¨ «¥¢®áâ®à®--

-¨© ¯à¥¤¥« ¢ â®çª¥ x = 2 ®¡à é ¥âáï ¢ ¡¥áª®-¥ç-®áâì, -® ¥£® - 宦¤¥-¨¥

ï¥âáï ¢ ¤ --®¬ á«ãç ¥ ¨§¡ëâ®ç-ë¬).

r

x3

-¥ ï-

ƒ®à¨§®-â «ì-ëå

ᨬ¯â®â ªà¨¢ ï -¥ ¨¬¥¥â, â ª ª ª x!§1lim

x 2

îâáï ª®-¥ç-묨 ¢¥«¨ç¨- ¬¨.

¡

1) ‚ëïá-¨¬ ⥯¥àì, áãé¥áâ¢ãîâ «¨ - ª«®--ë¥

ᨬ¯â®âë. „«ï í⮣® - ©¤¥¬:

k1 = x!+1

x

= x!lim+1 p

x

¡

lim

f(x)

x3=(x

2)

x! 1 rx ¡ x! 1 s

1 ¡ x

1

x

= 1;

= lim+

2 =

lim+

2

b

x

!

+

1

[f x ¡ k x

x

!

+

1

Ã

s(x

2)

¡ x

!

¡

1 =

lim

(

)

1 ] =

lim

x3

x(p

¡ p

x(x ¡ x + 2)

x

x ¡ 2)

= x lim+

p

2

= x lim+

p

2(p

+ p

2)

! 1

x ¡

! 1

x ¡

x

x ¡

! 1 q1 ¡ x (1 + q

¡ x )

2

= 1:

= x lim+

2

1

2

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¯à ¢ ï - ª«®-- ï

ᨬ¯â®â

y = x + 1.

13

2)

lim

f(x)

x3=(x

2)

= x!¡1lim

p

x

¡

k2 = x!¡1

x

x

1

x¡2

q

=

¡

1;

= x lim

1

= x lim

1

2

!¡1

¡

!¡1 ¡s

¡ x

b2 = x lim

[f(x) ¡ k1x] = x lim

s

(xx3 2) + x

!¡1

!¡1 Ã

!

¡

p

+ xp

Ã

(

)3

+ x! = x lim

x

2

x

= x lim

¡x

¡x ¡p2

x

¡

2 x

!¡1

r

¡

!¡1

¡

x(

¡x

¡

2 + x)

1:

= x lim

p2

¡ x

(p

¡x

+ p2

¡ x

) = ¡

!¡1

ˆâ ª, áãé¥áâ¢ã¥â «¥¢ ï - ª«®-- ï

ᨬ¯â®â

y = ¡x ¡ 1.

5.11.8. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y = x + 2arctgx.

•¥è¥-¨¥. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤ -- ï ªà¨¢ ï ¢¥à⨪ «ì-ëå

ᨬ¯â®â -¥ ¨¬¥¥â,

â.ª. äã-ªæ¨ï ¢áî¤ã ®¯à¥¤¥«¥- . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®áâ â®ç-® ¨áá«¥¤®¢ âì ¥¥ -

- ª«®--ë¥ á¨¬¯â®âë:

1)

x + 2arctgx

µ1 +

2arctgx

¶ = 1;

lim

x

= x!lim+1

x

k1 = x!+1

¼

1 =

lim

+ 2arctg

x ¡ x

) = 2

¢

=

;

2

b

x!+1(x

¼

á«¥¤®¢ ⥫ì-®, y = x + ¼ | ¯à ¢ ï - ª«®-- ï

ᨬ¯â®â ;

2)

x + 2arctgx

µ1 +

2arctgx

¶ = 1;

lim

x

= x!¡1lim

x

k2 = x!¡1

lim

+ 2arctg

) = 2

¼

=

;

µ¡2

¶

¡¼

b2 = x!¡1(x

x ¡ x

â ª¨¬ ®¡à §®¬, «¥¢ ï - ª«®-- ï

ᨬ¯â®â |. y = x ¡ ¼.

5.11.9. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y = x2e¡x

5.11.10. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y =

x2 ¡ 2x + 3

x + 2

.

5.11.11. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®©

y

= 2

x ¡

cos x

x .

5.11.12. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y =

ln2 x

¡ 4x.

x

5.11.13. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y = ¡xarctgx.

5.11.14. • ©â¨

ᨬ¯â®âë ªà¨¢®© y = 0:5x + 3arctgx.

‚ á«¥¤ãîé¨å § ¤ ç å ¯à®¢¥á⨠¯®«-®¥ ¨áá«¥¤®¢ -¨¥ ¨ ¯®áâநâì £à 䨪 äã-ªæ¨¨: x

5.11.15. y = (x ¡ 5)(x + 1):

14

5.11.27. y =

5.11.24. y =

x

5.11.16. y = x2 + 3x ¡ 4:

5.11.17. y = x3 + 4:

x2

5.11.18. y = lnpxx:

5.11.19. y = x + e¡x: 5.11.20. y = e2x¡x2 :

5.11.21. y = xx2¡+11: 5.11.22. y = x2ex¡x: 5.11.23. y = x2 ¡ 9:

e¡x x2 ¡ 4:

5.11.25. y = x ¡ ln x: 5.11.26. y = x ln x:

x2 + 1: x

5.11.28. y = sin2 x:

5.11.29. y = x4 ¡ 2x2: 4px

5.11.30. y = 3 : x + 2

15