Финансовые рынки ОЗО / ЛЕКЦИИ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА / Опционы и фьючерсы - Методическое пособие - Балабушкин - 2004 - 105

данной игре. Ставка в каждом из пари подбирается таким образом, чтобы независимо от того, сколько матчей будет сыграно, болельщик победившей во всей серии команды суммарно выиграл 100 рублей. Чему равна ставка в первой игре?◄

40	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

ГЛАВА 6. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ

6.1. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН КОЛЛ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Предельное выражение для Cаес , о котором шла речь в предыдущей главе, является ничем иным как знаменитой формулой Блэка-Шоулса. Авторы получили ее методом, основанным на теории случайных процессов. Эта формула для стоимости европейского опциона колл на бездивидендную акцию с уплатой премии имеет вид:

C аес

= e−rT [SerT N (d1 ) − EN (d2 )] = SN (d1 ) − Ee −rT N (d2 ),

(6.1)

где E - страйк, S - текущая цена акции,

rT

2

Se

rT

2

Se

ln

+ 0.5σ

T

ln

−0.5σ

T

E

E

d =

,

d

2

=

,

1

σ

T

σ

T

N(x) - функция стандартного нормального распределения. Выражения для

d 1 , d 2 допускают очевидное

упрощение вынесением экспоненты из-под знака логарифма, однако приведенное представление позволяет, во-первых, заменить непрерывно начисляемый процент обычным (см. главу 3), во-вторых, в дальнейшем легко модифицировать эту базовую формулу применительно к остальным вариантам опционов.

Сравнение (6.1) с (5.3) показывает, что здесь Se µT заменено на Se rT . Так же, как и в главе 4, это является следствием определенной активности покупателя или продавца опциона. Однако имеется и существенное различие: если формулы главы 4 основаны на арбитражных стратегиях, по крайней мере теоретически гарантирующих результат, то описанные в предыдущей главе стратегии зависят от точности прогноза будущей истинной волатильности σ. Если волатильность σ оценена неверно, то неправильными будут расчетные стоимости опциона и коэффициенты ∆, вследствие чего результат операции не совпадет с ожидаемым и будет зависеть от случайных факторов.

6.2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Перечислим все условия, при которых справедлива формула (6.1):

•выполнены предположения о процентных ставках главы 3;

•динамика цены базисного актива в течение срока действия опциона описывается уравнением (3.3) с постоянными µ и σ;

•рынок базисного актива абсолютно ликвиден - в любой момент имеется возможность купить или продать без покрытия любое, в том числе дробное, количество акций;

•средства, полученные от продажи акций без покрытия, могут быть использованы в полном объеме;

•спрэд между рыночными ценами покупки и продажи акций пренебрежимо мал;

•комиссионные и налоги равны нулю;

•по акции не выплачиваются дивиденды за время существования опциона;

•на рынке отсутствуют безрисковые арбитражные возможности;

•торговля осуществляется непрерывно.

Очевидно, что эти предположения являются идеализацией реальной рыночной ситуации. В дальнейшем будут сделаны некоторые замечания, связанные с возможными отклонениями принятой модели от действительности.

6.3. МОДИФИКАЦИИ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛСА

Европейский опцион колл на дивидендную акцию

В предположениях относительно дивидендов по акции, при которых получена формула (4.2), в формуле Блэка-Шоулса необходимо заменить S на S див .

41	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

Европейский опцион колл на валюту

Формула для Cвес - европейского опциона колл на валюту - получается из (6.1) заменой выражения

Se rT на Se ( r −rв )T (см. (4.3)).

Европейский опцион колл на фьючерс с уплатой премии

Формула Блэка для Cфес отличается от (6.1) заменой выражения Se rT на F - текущую фьючерсную котировку. Если при этом сроки истечения действия фьючерсного контракта и опциона не совпадают, то в формулу, как обычно, следует подставлять оставшееся время существования опциона.

Европейский опцион колл на фьючерс без уплаты премии

В соответствии с предыдущим пунктом и соотношением (4.4) формула для Cфеб имеет вид:

C феб = FN (d1 ) − EN (d 2 ),										(6.2)
где E - страйк, F - текущая фьючерсная котировка,
	F			2			F			2
ln			+0.5σ	T	ln				−0.5σ	T
d1 =	E			,	d2 =		E				.
			T				σ		T
	σ
Таким образом, Cфеб отличается от Cфес				отсутствием дисконтирующего множителя e−rT перед всем
выражением.

6.4.ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН ПУТ

Вразделе 5.1 получена однозначная связь (5.6) стоимостей европейских опционов колл и пут на бездивидендную акцию на одном страйке, причем это соотношение не зависит от модели движения цены. Это выражение легко переносится на все остальные варианты европейских опционов с уплатой премии

заменой SerT на соответствующие выражения аналогично тому, как это было сделано для опциона колл в предыдущем разделе.

Для опциона на фьючерс это тождество можно интерпретировать как невозможность получения арбитражной прибыли за счет конверсии или реверсии (см. раздел 2.7, а также главу 11). Действительно, в

случае реверсии сумма, получаемая в день экспирации, равна F − E , следовательно, в момент t = 0 эта позиция должна стоить e−rT [F − E].

Для европейского опциона на фьючерс без уплаты премии ситуация, как всегда, упрощается:

Cфеб − Pфеб = F − E.

(6.3)

42	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

ГЛАВА 7. ГРАФИКИ СТОИМОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ

7.1. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРС БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ

На рис. 7.1, 7.2 приведены кривые стоимости европейских опционов колл и пут на фьючерс без уплаты премии, построенные по формулам (6.2), (6.3). Указанные на этом и следующих рисунках даты означают текущую дату, для которой построена кривая теоретической стоимости опциона, и дату экспирации опциона.

Рис. 7.1. Стоимость европейского опциона колл на фьючерс	Рис. 7.2. Стоимость европейского опциона пут на фьючерс
без уплаты премии	без уплаты премии

В главе 2 отрезок XY был назван внутренней стоимостью опциона (intrinsic value). Отрезок YZ называется внешней или временнόй стоимостью (extrinsic или time value). Для опциона на деньгах или вне денег внутренняя стоимость равна нулю, а вся его стоимость является внешней или временной. По мере приближения срока экспирации временная стоимость убывает до нуля, то есть график стоимости опциона постепенно приближается к ломаной, изображающей внутреннюю стоимость. Дополнительные тонкие линии изображают стоимость опциона в моменты, которые равномерно делят весь период действия опциона. Видно, что по мере приближения срока экспирации стоимость опциона на деньгах убывает быстрее за один и тот же промежуток времени.

Рис. 7.3 качественно поясняет происхождение временной составляющей премии по опциону. В предположении, что фьючерсная котировка равна 5000 и ожидается рост котировки, рассмотрим следующие варианты:

•покупку фьючерсного контракта;

•покупку опциона колл на страйке 4000.

Прямая, пересекающая горизонтальную ось в точке 5000, изображает прибыли/убытки по длинной фьючерсной позиции. Предположим, опцион может быть куплен за 1000, тогда прибыли/убытки по опциону изображаются ломаной XYZ. При цене базисного актива ST , большей 4000, прибыли/убытки по опциону

совпадают с прибылями/убытками по фьючерсной позиции, а при ST < 4000 убыток по опциону

ограничен уровнем 1000 и меньше убытка по фьючерсной позиции. Очевидно, что с точки зрения покупателя такой опцион выгоднее фьючерсной позиции. Однако продавать опцион с премией 1000 не имеет смысла, поскольку это означает одинаковые убытки и ограничение потенциальной прибыли по сравнению с фьючерсной позицией. Тем самым этот опцион будет продаваться дороже его внутренней стоимости, скажем, за 1100, а покупатель будет готов пожертвовать частью своих потенциальных прибылей ради «подстраховки» - ограничения возможных убытков размером уплаченной премии. Таким образом, реально ломаная прибылей/убытков может выглядеть как линия, помеченная на рисунке «4000 call». Точка B1 (breakeven point – точка безубыточности или, проще, «при своих») - лежит правее точки F.

43	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

Рис. 7.3. Прибыли/убытки по опционам колл на фьючерс на дату экспирации

Подобное же сравнение опциона на страйке 4000 и опциона на страйке 4500 показывает, что точка «при своих» B2 второго из них должна располагаться правее B1. Для опционов пут картина противоположная (рис. 7.4): чем меньше страйк, тем левее находится точка безубыточности.

Рис. 7.4. Прибыли/убытки по опционам пут на фьючерс на дату экспирации

Используя понятие временнόй стоимости, соотношение (6.4) можно сформулировать следующим образом: временные стоимости европейских опционов колл и пут на одном страйке равны, в частности, полные стоимости европейских опционов колл и пут строго на деньгах равны.

График стоимости опциона лежит тем выше, чем больше величина σT , то есть чем больше волатильность и срок действия опциона. Этот вывод подкрепляется следующими упрощенными соображениями качественного характера. Предположим, что фьючерсная котировка равна 5000, и продавец определяет цену, по которой он готов продать опцион колл на страйке 6000. Чем больше вероятность того, что цена базисного актива на день экспирации превысит 6000, тем выше будет предложение на продажу. И наоборот, чем спокойнее рынок и чем меньше шансов у покупателя опциона на рост котировки выше 6000, тем ниже будет его предложение на покупку опциона.

Наконец, стоит отметить, что стоимость опциона колл не может быть выше фьючерсной цены, так как подстраховка на таком уровне не имеет смысла. Для опциона пут стоимость не превышает страйковой цены.

44	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

7.2. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ С УПЛАТОЙ ПРЕМИИ

Эти графики (рис. 7.5, 7.6) отличаются от графиков рис. 7.1, 7.2 тем, что учитывают дисконтирующий множитель e−rT и расположены пропорционально ниже.

Рис. 7.5. Стоимость европейского опциона колл на фьючерс	Рис. 7.6. Стоимость европейского опциона пут на фьючерс
с уплатой премии	с уплатой премии

Отрезок XY называется издержками удержания позиции (carrying cost) и показывает:

•для покупателя - упущенную прибыль, которая могла бы быть получена от размещения уплаченной премии под безрисковый процент r;

•для продавца - реально возможную прибыль от размещения полученной премии.

Для опционов глубоко в деньгах временнáя стоимость отрицательна.

7.3. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Рис. 7.7. Стоимость европейского опциона колл на	Рис. 7.8. Стоимость европейского опциона пут на
бездивидендную акцию	бездивидендную акцию
Данные графики (рис. 7.7, 7.8) ближе к графикам	рис. 7.1, 7.2, однако сдвинуты влево так, что

асимптоты выходят не из страйковой цены E, а из точки Ee−rT . При этом стоимость опциона колл всегда выше внутренней стоимости опциона, что окажется существенным при рассмотрении американских опционов.

7.4. ЕВРОПЕЙСКИE ОПЦИОНЫ НА ДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Этот случай отличается от предыдущего тем, что вместо S в формуле стоит меньшая величина Sдив , то

есть графики сдвигаются вправо на S - Sдив (при той же текущей стоимости акции S опцион колл стоит дешевле, а опцион пут дороже, чем в случае бездивидендной акции).

7.5. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА ВАЛЮТУ

Эти графики объединяют в себе черты графиков 7.3, 7.4 и 7.5, 7.6: точка пересечения асимптот сдвинута и асимптоты расположены не под 45°, а более полого. Сдвиг точки пересечения асимптот происходит влево, если процентная ставка по рублевым вложениям больше, чем по валютным, и вправо в противном случае. Рисунки соответствуют второму варианту, когда ставка по 3-месячным рублевым вложениям R=100%

меньше валютной ставки Rвалюты =200%.

45	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

Рис. 7.9. Стоимость европейского опциона колл на валюту

Рис. 7.10. Стоимость европейского опциона пут на валюту

46	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

ГЛАВА 8. АМЕРИКАНСКИЕ ОПЦИОНЫ

8.1. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД

Американский опцион предоставляет владельцу дополнительные права по сравнению с европейским, и это должно отразится в увеличении премии. Очевидно, что стоимость американского опциона не может быть меньше его внутренней стоимости (см. замечание к рис. 2.1, 2.2). В тех случаях, когда график теоретической стоимости европейского опциона целиком лежит выше ломаной, изображающей внутреннюю стоимость опциона, дополнительные права по американскому опциону являются как бы излишними - раннее исполнение опциона приводит к потере временной стоимости. Тем самым стоимости американских опционов колл и пут на фьючерсы без уплаты премии, а также стоимость американского опциона колл на бездивидендную акцию совпадают со стоимостями соответствующих европейских опционов. В остальных случаях американские опционы требуют отдельного рассмотрения.

Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость не только европейских, но и американских опционов. Продолжая пример 5.1 (раздел 5.2), предположим, что r=360%. Для стоимости европейского

опциона в узле 5000 за день до экспирации было получено значение 50 e − rτ 49 .5 . Это значение необходимо сравнить с внутренней стоимостью опциона и в качестве стоимости американского опциона взять наибольшее из двух. Поскольку внутренняя стоимость опциона в узле 5000 равна нулю, то стоимость американского опциона совпадает со стоимостью европейского: 49.5. Однако в следующем узле 5200

ситуация меняется: стоимость европейского опциона равна 200 e − rτ 198 , а внутренняя стоимость 200, следовательно, американский опцион должен стоить 200. Продолжая расчеты, в исходной точке для стоимости американского опциона получаем 219, тогда как европейский опцион при тех же условиях стоил

214.

Графики стоимости американских опционов на фьючерс с уплатой премии Cфес , Pфес изображены на рис. 8.1, 8.2. Результаты получены биномиальным методом при количестве шагов в решетке n=50. На каждом из графиков выделяется критическая точка U, которая делит график на две части. Для опциона колл правая, а для опциона пут левая часть графика прямолинейны и совпадают с графиком внутренней стоимости. Для сравнения в том же масштабе изображены также кривые стоимости европейских опционов с уплатой и без уплаты премии.

Рис. 8.1. Стоимость американского опциона колл на фьючерс	Рис. 8.2. Стоимость американского опциона пут на фьючерс
с уплатой премии	с уплатой премии

8.2. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Наряду с биномиальным методом для определения стоимости американских опционов используется так называемая квадратичная аппроксимация (предложенная в работах Macmillan/ Barone-Adesi и Whaley). Это приближенные аналитические соотношения, которые получаются при некотором упрощении исходной задачи. Соответствующие формулы приведены в приложении Б.

Кривые, полученные этим методом, показаны на тех же рис. 8.1, 8.2. При этом для опциона колл результаты биномиального метода и квадратичной аппроксимации практически совпадают. Для опциона пут аппроксимация на некотором участке значительно отклоняется вниз от точного графика и лежит даже ниже внутренней стоимости опциона. Очевидно, что для улучшения результата на этом участке следует вместо аппроксимации брать внутреннюю стоимость.

Пример 8.1. Рассмотрим более подробно европейский и американский опционы колл на фьючерс с уплатой премии на страйке 5000 с экспирацией через 3 месяца в одной точке - при фьючерсной цене 5000 (по-прежнему 3-х месячная ставка R=100%, волатильность σ=20%).

47	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

Формула Блэка в этом случае дает для европейского опциона Cфес =168.3. Для стоимости американского опциона квадратичная аппроксимация равна Cфас =179.86 , а критическая точка

U= 5570 .

Втаблице 8.1 приведены стоимости европейского и американского опционов, полученные биномиальным методом. Параметр n обозначает количество шагов, на которое разбивается срок действия опциона при построении решетки.

n	10	20	30	40	50	100	200
Cфес	173.3	170.6	169.8	169.4	169.2	168.7	168.5
Cфас	181.7	179.5	178.7	178.4	178.2	177.8	177.6

Таблица 8.1. Стоимости опционов, рассчитанные биномиальным методом

Строка таблицы для Cфес в сопоставлении с точным значением Cфес подтверждает, что биномиальный метод в пределе дает такой же результат, как и соответствующая модификация формулы Блэка-Шоулса. Последняя строка показывает, что точное предельное значение стоимости американского опциона находится в районе 177.4, то есть ошибка квадратичной аппроксимации составляет 1.5%.

Рассчитанное биномиальным методом при n=200 значение Cфас в критической точке квадратичной аппроксимации 5570 равно 575 (вместо 570 - ошибка около 1%), а точная критическая точка 5650.

Практически, однако, погрешностями порядка нескольких процентов можно пренебречь, поскольку такой или большей является разность цен спроса и предложения. Считается, что в биномиальном методе достаточно разбить срок действия оцениваемого опциона на 20 - 30 шагов для получения удовлетворительного результата.■

8.3. АМЕРИКАНСКИЙ ОПЦИОН НА ДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Отдельно следует остановиться на особенностях американских опционов на дивидендную акцию. Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость опционов и в этом случае. Простейший вариант исходных условий состоит в том, что заранее известен день выплаты дивидендов, после которого цена акции скачкообразно уменьшается на заранее известную величину. При этом возникает сложность формального характера, связанная с тем, что в отличие от упрощенного примера 5.1 в точном методе узлы решетки расположены неравномерно по цене (см. (5.7)), и одинаковый сдвиг в определенный момент во всех узлах приводит к рассогласованию решетки и резкому нарастанию количества узлов в последующем. Один из путей возможного решения проблемы состоит в том, чтобы несколько модифицировать решетку и с этой целью представить цену акции в любой момент существования опциона как сумму двух компонентов: регулярной составляющей, отражающей приведенные к текущему моменту будущие дивиденды за время существования опциона, и остальной части цены акции (ср. с (4.2)). Предполагается, что изменение только этой остальной части носит случайный характер и описывается биномиальной моделью. Так, если до

экспирации опциона остается T = mτ (τ - шаг решетки по времени) и за этот период предполагается выплата одного дивиденда размера d в момент t , причем kτ < t < (k +1)τ , то значения цены акции в узлах решетки определяются по правилу:

•	в моменты iτ < t : [S0	− de −r (t −iτ) ]v j wi − j + de −r (t −iτ) ;
•	в моменты iτ > t : [ S 0	− d ]v j w i − j , где j = 0,1,..., i; v = e σ τ , w = e −σ τ .
	Для приближенного аналитического расчета стоимости опциона колл применяются также следующие

рассуждения: предполагается, что если и целесообразно проводить досрочное исполнение опциона, то только непосредственно перед выплатой дивидендов. Исходя из этого достаточно сравнить стоимость европейского опциона с исполнением в дату экспирации со стоимостями европейских опционов колл, сроки действия которых истекают непосредственно перед датами выплаты дивидендов, и выбрать наибольшую из получившихся величин в качестве стоимости американского опциона.

Еще один вариант анализа стоимости опциона состоит в том, чтобы изменить исходную посылку: считать, что вместо величины дивидендов заданы ставки дивидендов, то есть отношения размера дивиденда к цене акции на момент выплаты дивиденда. В этом случае после выплаты дивиденда узлы пропорционально смещаются вниз без нарушения решетки в последующем.

Для стоимости американского опциона колл на акцию, по которой за время существования опциона предполагается выплата одного дивиденда, в [10] приведено точное, хотя и довольно громоздкое, аналитическое выражение.

48	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»

Американский опцион пут с точки зрения досрочного исполнения обладает свойством, которое не присуще опциону колл. Предположим, что имеется длинная позиция по опциону пут на акцию с экспирацией через 6 месяцев, страйк равен 5000, процентная ставка r=24%. Если к этому моменту цена акции упала, скажем, до 500, то исполнить такой опцион досрочно заведомо выгоднее, чем ожидать дня экспирации. Купив акцию по 500, потребовав исполнения опциона и поставив ее по цене 5000, можно разместить полученную прибыль под проценты с результатом ко дню экспирации 4500erT = 4500e0.12 5074 , что больше максимально возможных 5000 на день экспирации. Естественно, не обязательно исполнять опцион, если есть основания предполагать, что цена акции снизится

еще сильнее, - необходимо выбрать момент, когда выражение ( E − S ) e rT окажется максимальным (T – время, оставшееся до экспирации).

49	А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы»