Отношения между множествами

Изобразим на диаграммах различные случаи взаимного расположения двух множеств А и В.

Множества А и В называются пересекающимися если они имеют хотя бы один общий элемент.

Множества А и В называются непересекающимися если они не имеют ни одного общего элемента.

Например, если А = {а, в, с, d, е}, В = {в, d, k, т}, С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы в и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов. На диаграммах пересекающиеся множества изображены на рисунках 1, 2, 4 и 5.

Множество В является подмножеством множества А если каждый элемент множества В является также и элементом множества А. В этом случае иногда говорят, что множество В включается в множество А или что множество В часть множества А и записывают В  А. Данный вид отношения между множествами изображен на рисунках 1 и 5.

Подумайте как можно охарактеризовать отношения между множествами, изображенные на четвертом рисунке?

Например, множества А ={ а, в, с, d, е} и В = {с, d, е} пе­ресекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. Таким образом, из того что В  А следует что эти множества пересекаются. Подумайте, верно ли обратное утверждение?

Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя и универсального множества. Таким образом справедливы следующие отношения:

  А; А  U;

А  А; U  U.

Как вы думаете, справедливо ли отношение    ?

Для каждого конечного множества можно найти все его подмножества. Среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А, их называют несобственными подмножествами.

Рассмотрим в качестве примера множество А = {1, 2, 3} и найдем все его подмножества. Среди них будут:

• два несобственных:  и само А;

• три одноэлементных подмножества: {1}, {2}, {3};

• три двухэлементных: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, а также само

Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Пусть дано множество А = {а ,в, с}. Найдите все его подмножества. Сколько их? От чего зависит количество всевозможных подмножеств у некоторого множества?

Доказано, что если множество А содержит п элементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Рассмотрим теперь множества А={а, в, с, d, е} и В={с, а, d, в, е}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А  В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В  А. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А = В. Итак, множества А и В называются равными, если А  В и В  А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов в множестве не важен.

Задача: Изобразите на диаграмме отношения между следующими множествами:

А – множество жителей города Шуи;

В – множество студентов ШГПУ;

С – множество учащихся школы №1 г.Шуя;

D– множество студентов Ивановской области;

Решение: Для построения диаграммы необходимо определить отношения между перечисленными множествами.

1

А

. Построим множествоА: