Кольца и модули / модули

любой свободный 6-модуль имеет порядок, кратный 6.

Предложение 15. Пусть R – кольцо главных идеалов. Тогда любой ненулевой подмодуль свободного R-модуля является свободным R-модулем. (Без доказательства)

Предложение 16. Свободные R-модули M и N изоморфны они содержат базисы одинаковой мощности.

Доказательство: « »: следует из того, что при изоморфизме модулей базис переходит в базис.

« »: пусть (ai)i I – базис модуля M, (bi)i I – базис модуля N. Тогда отображение : (ai)i I N, ai = bi, i I, продолжаемо по теореме 2 до изоморфизма модулей M и N. Предложение доказано.

Существует пример свободного R-модуля, в котором существуют два неравномощных базиса. С другой стороны, в линейном пространстве над полем любые два базиса равномощны.

Теорема 7. Пусть M – ненулевой правый R-модуль над телом R. Тогда любые два базиса модуля M равномощны.

Доказательство:

Лемма 1. Пусть (ai)i I – система элементов правого R-модуля M, J I, J . Тогда если система (ai)i I линейно независима, то и система (aj)j J линейно независима – упражнение 15.

1) Пусть в модуле M есть конечный базис a1, a2, …, an. Докажем, что любой базис M также будет конечен и содержит n элементов.

		kj
Пусть (bi)i I – базис модуля M. Тогда aj =	bixi = bji xi , j=1,…,n. Рассмотрим систему
п.все xi 0		i 1
	n	n kj
b11,...,b1k1 ,...,bn1,...,bnkn . Для любого a M: a =	aj	yj = bji (xi yj ),	xi, yj R, поэтому
	j 1	j 1i 1

b11,...,b1k1 ,...,bn1,...,bnkn – система порождающих модуля M. К тому же по лемме 1 эта система линейно независима, т.е. является базисом модуля M. Если (bi)i I {b11,...,b1k1 ,...,bn1,...,bnkn }, то

			n	ki
найдется	элемент bj {b11,...,b1k1 ,...,bn1,...,bnkn },		при этом bj = bij zij ,		zij R, т.е.
			i 1	j 1
n	ki
bj(–1)+ bij zij		= 0, что противоречит линейное независимости системы (bi)i I.
i 1	j 1

Т.о., в данном случае все остальные базисы модуля M также конечны.

Лемма 2. Пусть b1, …, bm – линейно независимая система элементов правого R-модуля M, a1, a2, …, an – базис модуля M. Тогда m n.

Доказательство леммы 2: Поскольку b1 = a1x1+…+anxn, xi R, i=1,…,n, и система b1 линейно

независима по лемме 1, то найдется xi 0, i=1,…,n. Тогда ai = b1(xi–1)+ aj ( xj xi 1). Поэтому для

j i

11

	n		xj xi 1yi ) b1(xi 1yi ), yj R, т.е. b1, a1, …., ai–1, ai+1, …, an –
любого a M: a =	aj yj = aj (yj
	j 1	j i
система порождающих		модуля	M.	При	этом	если aj yj b1yi = 0,	yj R, то
						j i
aj (yj xj yi ) a1(xi yi )= 0, т.е. xiyi = 0				yi	= 0 yj	= yj+xjyi = 0, j i. Т.о., система b1, a1, ….,
j i

ai–1, ai+1, …, an линейно независима и потому является базисом модуля M.

Пусть для некоторого 1 r<m построена система b1, b2, .., br, ar,1, …, ar,n-r, являющаяся базисом

модуля M. Тогда поскольку br+1 = b1z1+…+brzr+ar,1zr,1+…+ar,n–rzr,n–r, zi R, и система b1, …, br+1

линейно независима по лемме 1, то найдется zrj 0, j=1,…,n–r. Тогда аналогичными рассуждениями мы получим, что система b1, …, br+1, ar+1,1, …, ar+1,n–r–1 является базисом модуля M.

Повторяя эту процедуру m раз мы получим, что b1, …, bm, am,1, …, am,n–m – базис модуля M и
m n. Лемма 2 доказана.
Из леммы 2 мы теперь получаем, что если b1, …, bm – базис модуля M, то m n и n m, т.е.
n=m.
2) Пусть в модуле M нет конечного базиса и (ai)i I,			(bj)j J – базисы модуля M. Пусть |I|<|J|.
Для любого i I: ai =		bj xj . Обозначим через	Bi множество тех элементов bj в
	п.все xj	0

представлении элемента ai, коэффициенты при которых не равны 0. Тогда Bi – конечное

множество и потому | Bi | = |I|, поэтому Bi (bj)j J. Поэтому найдется bj Bi , j J. При этом

i I i I i I

bj =	ai yi = aj1yj1+…+ajkyjk, yi R, т.е. bj представим в виде линейной комбинации элементов
	п.все yi 0

множества Bj1 … Bjk, не содержащего элемент bj, что противоречит линейной независимости системы (bj)j J. Т.о., неравенство |I|<|J| невозможно. Аналогично доказывается невозможность неравенства |J|<|I|. Поэтому |I|=|J|. Теорема доказана.

5. Неприводимые модули. Максимальные и минимальные подмодули.

Правый R-модуль M {0} называется неприводимым, если в M нет подмодулей, отличных от

{0} и M.

Примеры: 1. Тело R как правый R-модуль является неприводимым R-модулем, поскольку не содержит ни правых, ни левых идеалов, отличных от {0} и R.

2. Линейное пространство V над полем P как правый P-модуль является неприводимым dimV=1 – упражнение 16.

3. Абелева группа (G,+) как правый -модуль неприводим (G,+) – простая группа.

12

Подмодуль N правого R-модуля M называется максимальным, если N M и N не содержится ни в каком другом подмодуле модуля M, отличном от M, т.е. если N L M и L – подмодуль модуля

M, то L=N или L=M.

В частности, если рассматривать кольцо R как правый R-модуль, то его максимальные подмодули называются максимальными правыми идеалами кольца R. Как и для двусторонних идеалов, справедливо утверждение о том, что в кольце R с 1 любой правый идеал, отличный от R,

содержится в некотором максимальном правом идеале кольца R.

Предложение 17. Пусть M – правый R-модуль, N – подмодуль модуля M. Тогда фактор-

модуль M/N неприводим N – максимальный подмодуль модуля M.

Доказательство: следует непосредственно из определения и теоремы 4.

Следствие. Неприводимые R-модули и только они изоморфны фактор-модулям свободных

R-модулей по их максимальным подмодулям.

Доказательство: следует из предложений 17 и 14.

Подмодуль N правого R-модуля M называется минимальным, если N {0} и N не содержит ни какой другой подмодуль модуля M, отличный от {0}, т.е. если {0} L N и L – подмодуль модуля

M, то L={0} или L=N.

Предложение 18. Пусть M – правый R-модуль, N – подмодуль модуля M. Тогда подмодуль N

является минимальным N – неприводимый R-модуль.

Доказательство – упражнение 17.

Предложение 19. Неприводимый правый R-модуль является циклическим.

Доказательство: пусть M – неприводимый правый R-модуль. Тогда a M\{0} (a) {0} и (a) – подмодуль модуля M (a) = M M – циклический. Предложение доказано.

Обратное утверждение неверно, поскольку = (1) – циклический -модуль, при этом не является неприводимым, поскольку содержит подмодуль 2 {0}, .

Предложение 20. Ненулевой правый R-модуль неприводим он – циклический и порождается любым своим ненулевым элементом.

Доказательство: пусть M – правый R-модуль, M {0}.

« »: M неприводим (предложение 19) M – циклический. a M\{0} (a) {0} и (a) –

подмодуль модуля M (a) = M.

« »: M = (a), a M\{0}. N – подмодуль модуля M и N {0} b N\{0} M = (b) N M = N M – неприводимый. Предложение доказано.

Предложение 21. Правый R-модуль M – циклический M изоморфен фактор-модулю R/J,

где J – некоторый правый идеал кольца R.

13

Доказательство: « »: Пусть M = (a). Отображение : {1} M, определенное по правилу

1 = a, по теореме 2 продолжаемо до гомоморфизма модулей : R M, причем x = ax, x R. При этом для любого b = ax M: b = a , т.е. – эпиморфизм. По теореме 3 тогда M = Im R/Ker , где

Ker – подмодуль модуля R, т.е. правый идеал кольца R.

« »: Т.к. R = (1), то для любого правого идеала J кольца R фактор-модуль R/J = (1+J) –

циклический, т.е. M (1+J) – циклический. Предложение доказано.

Предложение 22. Правый R-модуль M неприводим M изоморфен фактор-модулю R/J, где

J – некоторый максимальный правый идеал кольца R.

Доказательство: « »: M неприводим (предложение 19) M – циклический

(предложение 21) M R/J, где J – правый идеал кольца R R/J – неприводимый (предложение

17)J – максимальный подмодуль модуля R, т.е. максимальный правый идеал кольца R. « »:M R/J (предложение 17) M неприводим. Предложение доказано.

6. Кольцо эндоморфизмов модуля.

Пусть M – правый R-модуль. Обозначим через EndR(M) множество всех эндоморфизмов модуля M. На множестве EndR(M) можно рассматривать следующие операции:

1) сложение: если , EndR(M), то + : M M, определяемое правилом a( + ) = a +a , a M,

является эндоморфизмом модуля M – упражнение 18.

2) умножение (композиция): если , EndR(M), то : M M, определяемое правилом a( ) = (a ) , a M, является эндоморфизмом модуля M – упражнение 19.

Предложение 23. Множество эндоморфизмов правого R-модуля M относительно операций сложения и умножения является некоммутативным кольцом с 1.

Доказательство: некоммутативность и ассоциативность композиции на множестве EndR(M),

а также существование 1 следует из соответствующих свойств композиции на множестве всех отображений множества в себя и того, что M – эндоморфизм модуля M.

Пусть , EndR(M). Тогда a M a( + ) = a +a = a +a = a( + ), т.е. + = + .

Пусть , , EndR(M). Тогда a M a(( + )+ ) = a( + )+a = (a +a )+a = a +(a +a ) = = a +a( + ) = a( +( + )), т.е. ( + )+ = +( + ).

Отображение 0: M M, определяемое правилом a0=0, a M, является эндоморфизмом модуля

M. При этом если EndR(M), то a M: a( +0) = a +a0 = a +0 = a , т.е. +0 = .

Пусть EndR(M), тогда отображение : M M, определяемое правилом a = –(a ), a M,

является эндоморфизмом модуля M. Действительно, a,b M (a+b) = –(a+b) = –(a +b ) = – a +(–b ) = a +b ; x R a M (ax) = –(ax) = –(a )x = (–a )x = (a )x. При этом a M a( + ) = a +a = a +(–a ) = 0 = a0, т.е. + = 0.

14

Пусть , , EndR(M).	Тогда	a M a(( + ) ) = (a( + )) = ((a +a )) = (a ) +(a ) =
= a( )+a( ) = a( + ),	т.е.	( + ) = + . Также a M a( ( + )) = (a )( + ) =

= (a ) +(a ) = a( )+a( ) = a( + ), т.е. ( + ) = + . Предложение доказано.

Предложение 24. Пусть R – коммутативное кольцо с 1. Кольцо эндоморфизмов свободного

R-модуля ранга n изоморфно матричному кольцу Mn(R).

Доказательство: пусть M – свободный R-модуль ранга n и a1, …, an – базис модуля M.

Определим

отображение : EndR(M) Mn(R), которое

эндоморфизму

EndR(M) сопоставляет

n

матрицу A = (xij) Mn(R), где ai = aj xij , i=1,…,n.

j 1

n

n

Пусть

, EndR(M),

A = (xij),

A = (yij).

Тогда

ai( + ) = ai +ai = aj xij

+ aj yij

=

j 1

j 1

n

aj (xij yij ) ,

т.о., ( + ) = A + = (xij+yij) = A +A = + .

Также

ai( ) = (ai ) =

j 1

n

n

n

n

n

n

yjk ), т.о.,

n

= ( aj xij ) = (aj )xij = ( ak

y jk )xij = ak

( xij

( ) = A = (

xij yjk )

j 1

j 1

j 1 k 1

k 1

j 1

j 1

= A A = ( ) ( ). Т.о., – гомоморфизм колец.

Пусть

EndR(M).

Ker

A = = 0

i=1,…,n

ai = a10+…+an0 = 0

n

n

a= aixi M: a = (ai )xi

= 0 = 0. Т.о., Ker = {0} и – мономорфизм колец.

i 1

i 1

n

Пусть

A=(xij) Mn(R). Определим

отображение : ai = aj xij , i=1,…,n. По

теореме

2

j 1

существует эндоморфизм EndR(M) такой, что ai = ai , i=1,…,n. Т.о., = A = A и потому –

эпиморфизм колец. Предложение доказано.

Следствие. Кольцо эндоморфизмов коммутативного кольца R с 1 изоморфно кольцу R.

Доказательство. Кольцо R, рассматриваемое как правый R-модуль, является свободным модулем ранга 1 и потому кольцо его эндоморфизмов по предложению 24 изоморфно матричному кольцу M1(R), т.е. кольцу R. Следствие доказано.

Предложение 25 (лемма Шура). Пусть M1 и M2 – неприводимые правые R-модули. Тогда любой гомоморфизм модуля M1 в модуль M2 является либо изоморфизмом, либо нулевым гомоморфизмом.

Доказательство: пусть : M1 M2 – гомоморфизм модулей. Тогда Ker – подмодуль модуля

M1 Ker = {0} или Ker = M1.

Если Ker = {0}, то по теореме 1 – мономорфизм модулей. При этом поскольку M1 {0},

то Im {0} и Im – подмодуль модуля M2 Im = M2, т.е. – эпиморфизм и изоморфизм модулей.

15

Если Ker = M1, то a M1 a = 0 = a0, т.е. – нулевой гомоморфизм. Предложение доказано.

Предложение 26. Кольцо эндоморфизмов неприводимого правого R-модуля является телом.

Доказательство: согласно предложению 23 нам нужно доказать только, что все ненулевые элементы кольца EndR(M) обратимы. Пусть EndR(M) и 0. Тогда по лемме Шура –

изоморфизм модулей, т.е. существует обратное отображение –1: M M. Тогда

–1 EndR(M) – упражнение 20.

7. Представления колец. Модульные аннуляторы.

Пусть M – правый R-модуль. Тогда (M,+) – абелева группа и потому для любого x R можно

указать эндоморфизм x правого -модуля M, определяемый правилом ax= ax, a M.

Упражнение 21. Докажите, что x End (M).

Определим теперь отображение : R End (M) так, что x =

x. Тогда для любых x,y R и для

любого a M

a

= a(x+y) = ax+ay =a

+a

= a(

+

),

т.е.

(x+y) =

=

+

= x +y ;

x y

x

y

x

y

x y

x

y

a

= a(x y) = (ax)y = (a

)

= a(

), т.е. (x y) =

=

= x y . Т.о.,

– гомоморфизм

x y

x

y

x

y

x y

x

y

колец.

Поэтому с любым правым R-модулем мы можем связать отображение кольца R в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Представлением кольца R называется гомоморфизм кольца R в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы, при котором 1 кольца R переходит в тождественный эндоморфизм группы.

Наоборот, если : R End (M) – представление кольца R, то на группе M можно ввести новую операцию: если x R, a M, то ax = a(x ). Относительно введенной операции и операции сложения группа M превращается в правый R-модуль. Действительно,

1.x,y R a M a(x y) = a((x y) ) = a(x y ) = (a(x ))(y ) = (ax)y.

2.a M a1 = a(1 ) = a M = a.

3.x,y R a M a(x+y) = a((x+y) ) = a(x +y ) = a(x )+a(y ) = ax+ay.

4.x R a,b M (a+b)x = (a+b)(x ) = a(x )+b(x ) = ax+bx.

При этом ax = ax = a(x ), x R, a M, т.е. x = x и представление кольца R, связанное с правым R-модулем M, совпадает с .

Аннулятором правого R-модуля M называется множество Ann(M) = {x R: a M ax = 0}.

Предложение 27. Аннулятор правого R-модуля является двусторонним идеалом кольца R.

Доказательство: Лемма. Пусть M – правый R-модуль, : R End (M) – представление

кольца R, соответствующее модулю M. Тогда Ann(M) = Ker . 16

Доказательство леммы: x Ker x = 0 a M ax = a(x ) = 0 a Ann(M).

Поэтому Ann(M) = Ker является двусторонним идеалом в R. Предложение доказано.

Правый R-модуль M называется точным, если Ann(M) = {0}.

Предложение 28. Правый R-модуль M является точным соответствующее ему представление кольца R является вложением.

Доказательство – упражнение 22.

Рассмотрим несколько вспомогательных утверждений.

Предложение 29. Пусть J – правый идеал кольца R с 1. Тогда Ann(R/J) J.

Доказательство: J – правый идеал кольца R J – подмодуль правого R-модуля R R/J –

правый R-модуль. x Ann(R/J) a+J R/J (a+J)x = ax+J = 0 a R ax J. Поскольку 1 R, то x = 1x J. Предложение доказано.

Аннулятором элемента a правого R-модуля M называется множество Ann(a) = {x R: ax=0}.

Очевидно, что Ann(a) = Ann(M).

a M

Предложение 30 Пусть M – неприводимый правый R-модуль, a M. Тогда если a=0, то

Ann(a) = R, если a 0, то Ann(a) – максимальный правый идеал кольца R.

Доказательство: a=0 x R ax = 0 Ann(a) = R.

Пусть a 0. Тогда по предложению 20 M = (a). Пусть : R M – как в доказательстве предложения 21. Тогда x Ker ax = 0 x Ann(a), т.е. Ker = Ann(a) и из предложения 17

теперь следует, Ann(a) – максимальный правый идеал кольца R. Предложение доказано.

Теорема 8. Пересечение всех максимальных правых идеалов кольца R с 1 совпадает с пересечением аннуляторов всех неприводимых правых R-модулей.

Доказательство: пусть J1 – пересечение всех максимальных правых идеалов кольца R, J2 –

пересечение аннуляторов всех неприводимых правых R-модулей.

Пусть x J1. Если M – неприводимый правый R-модуль, a M, то по предложению 30

x Ann(a) x Ann(a) = Ann(M) x J2.

a M

Пусть x J2. Если J – максимальный правый идеал кольца R, то по предложению 17 R/J –

неприводимый правый R-модуль, по предложению 29 Ann(R/J) J x J x J1. Теорема доказана.

Аналогичное утверждение справедливо и для «левого» случая.

Следствие. Пересечение всех максимальных правых идеалов кольца R с 1 является двусторонним идеалом кольца R. Доказательство – упражнение 23.

17