Кольца и модули / кольца

замкнутым, если a,b S a b S. Пусть непустое подмножество S не содержит ноль кольца R,

является мультипликативно замкнутым и не содержит делителей нуля кольца R. Рассмотрим множество пар R S = {(a,s): a R, s S}. Введем на этом множестве отношение эквивалентности:

если (a,s), (b,t) R S, то (a,s) (b,t) a t = b s.

Предложение 12. Введенное отношение на множестве R S является отношением эквивалентности.

Доказательство: пусть (a,s), (b,t), (c,r) R S.

1.(a,s) (a,s), поскольку a s = a s.

2.(a,s) (b,t) a t = b s b s = a t (b,t) (a,s).

3.(a,s) (b,t), (b,t) (c,r) a t = b s, b r = c t (a t) r = (b r) s = (c t) s, т.е. (a r) t = (c s) t и

поскольку t S не является делителем нуля, то a r = c s (a,s) (c,r). Доказано.

Обозначим

класс

пар,

эквивалентных

паре

(a,s), через

a

,

а множество

всех

классов

s

эквивалентных пар –

R

.

S

Упражнение 27. Докажите, что

a

R

t S

a t

a

.

s

S

s t

s

Определим

на

множестве

R

две

операции:

если

a

,

b

R

,

то

a

b

a t b s

,

S

s

t

S

s

t

s t

a

b

a b

.

Докажем

корректность

введенных операций:

если

a

a

,

b

b

,

то a s = a s,

s

s t s t

s

t

t

b t = b t и

потому

(a t+b s) (s t ) = (a s ) t t +(b t ) s s = (a s) t t +(b t) s s = (a t +b s ) (s t), т.е.

a t b s

a t b s

; (a b) (s t ) = (a s ) (b t ) = (a s) (b t) = (a b ) (s t), т.е.

a b

a b

.

s t

s t

s t

s t

Предложение 13.

Множество

R

по

отношению

к введенным

операциям

является

S

коммутативным кольцом с 1.

Доказательство: проверим аксиомы из определения кольца.

1.

a

,

b

R

a

b

a t b s

b s a t

b

a

.

s

t

S s

t

s t

t s

t

s

a b c R

a

b

c

a t b s c

2.

,

,

=

=

s t r

S

s

t r

s t

r

a (t r) (b r c t) s

a

b

c

=

.

s (t r)

s

t

r

3. 0=

0

R

b

R

0

b

0 t b s

b s

s S

t

S s

t

s t

s t

(a t b s) r c (s t) = (s t) r

b . t

11

4. a R a R a a a s ( a) s 0 s 0 0. s S s S s s s s s s s

5. a ,b , c R s t r S

6. a ,b , c R s t r S

a c b c . s r t r

a b

c

(a b) c

a (b c)

a

b c

=

=

=

.

(s t) r

s (t r)

s

s

t r

t

r

a

b

c

(a t b s) c

(a t b s) c r

(a c) (t r) (b c) (s r)

=

=

=

=

s

t r

(s t) r

(s t) r r

(s r) (t r)

7. a , b R a b a b b a b a .

s

t

S s t

s t

t s

t s

8. 1=

s

R

b

R

s

b

s b

b

. Предложение доказано.

s

S

t S

s t

s t

t

Кольцо R называется кольцом частных кольца R относительно множества S.

S

Теорема 5. Пусть R – коммутативное кольцо, непустое подмножество S кольца R не содержит ноль кольца R, является мультипликативно замкнутым и не содержит делителей нуля кольца R.

Тогда кольцо R вложимо в свое кольцо частных R .

S

Доказательство: рассмотрим отображение : R

R

,

определяемое правилом

a =

a s

,

S

s

a R,

s S. Докажем корректность этого отображения: если

s,t S, то

(a s) t = (a t) s

и

потому

a s

=

a t

.

s

t

a,b R (a+b) =

(a b) s

=

(a b) s s

=

(a s) s (b s) s

=

a s

b s

= a +b ,

s

s s

s s

s

s

(a b) =

(a b) s

=

(a b) s s

=

(a s) (b s)

=

a s

b s

= a b . При этом если a = 0, то

a s

0

s

s s

s s

s

s

s

s

и потому a (s s) = 0, т.е. a = 0.

Т.о.,

– вложение кольца R в кольцо

R

. Теорема доказана.

S

Если теперь R – целостное кольцо и S = R\{0}, то S удовлетворяет условиям, указанным в

теореме 5, и кольцо частных

R

называют полем частных кольца R.

R \{0}

Предложение 14. Поле частных целостного кольца является полем.

Доказательство – упражнение 28.

Теорема 6. Любое целостное кольцо вложимо в свое поле частных. Поле частных целостного кольца R вложимо в любое поле P, содержащее R в качестве подкольца.

Доказательство: из теоремы 5 и предложения 14 мы получаем первое утверждение теоремы.

12

Пусть P – поле, содержащее R в качестве подкольца. Рассмотрим отображение :

R

P,

R \{0}

определяемое правилом

a

= a s–1,

a

R

. Докажем корректность этого отображения: если

R \{0}

s

s

a

a

, то a s = a s и потому a s–1 = a (s )–1.

s s

a

,

b

R

(

a

+

b

) = (a t+b s) (s t)–1 = a s–1+b t–1 =

a

+

b

, (

a

b

) = (a b) (s t)–1 = (a s–

s

t

R \{0}

s

t

s

t

s

t

1) (b t–1) =

a

b

.

При этом если

a

= 0, то a s–1 = 0,

т.е. a = 0. Т.о.,

– вложение кольца

R

в

s

t

s

S

поле P. Теорема доказана.

Примеры поля частных:

m

:m,n Z,n

1. поле частных кольца Z – поле Q =

0 .

n

2.

пусть

P

–

поле. Поле

частных

кольца

P[x]

– поле

рациональных

дробей

P(x) =

f (x)

: f ,g P[x],g 0 .

g(x)

7. Первообразные корни из 1. Теорема Ведденберна.

Рассмотрим поле рациональных чисел Q и его расширение E.

Пусть n – натуральное число. Элемент a E называется корнем n-й степени из 1, если он

является корнем многочлена xn–1 Q[x]. Т.о., a E – корень n-й степени из 1 an = 1.

В теории полей было доказано, что существует поле разложения E многочлена xn–1,

являющееся расширением поля Q. Пусть En – множество всех корней n-степени из 1, лежащих в расширении E. Хорошо известно, что их количество не может превышать степень многочлена xn– 1, т.е. быть больше n. Кроме того, поскольку (xn–1) = nxn–1 и (xn–1, nxn–1) = 1, то у многочлена xn–1

нет кратных корней, т.е. |En| = n.

Предложение 15. Множество корней n-й степени из 1 является относительно операции

умножения циклической группой порядка n.

Доказательство: En –

абелева группа, т.к. (En, )

является подгруппой абелевой

группы

(E\{0}, ): a,b En (a b–1)n = an (bn)–1 = 1 1 =1, т.е. a b–1 En.

Если n = 1, то E1 = {1} – циклическая группа.

Пусть n pk1

pk2 ...pkr

– разложение числа n на простые множители. Поскольку i=1,…,r

1

2

r

n/pi<n , то число корней n/pi–й степени из 1 меньше n,

т.е. ai En ain pi 1. Пусть bi =

ain piki

,

i=1,…,r. Тогда bpiki

an

1

и bpiki 1

an pi

1, т.е.

b

pki , i=1,…,r. Пусть b = b1 b2 … br. Тогда

i

i

i

i

i

i

13

	b		pk1	pk2	...pkr	n и потому b – порождающий элемент группы En. Предложение доказано.
			1	2	r

Любой порождающий группы En называется примитивным (первообразным) корнем n-й

степени из 1.

Поскольку поле разложения любого многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, то в дальнейшем мы можем считать, что En = Cn – группа комплексных корней n-й

степени из 1.

В расширении E многочлен xn–1, т.о., раскладывается на n линейных множителей,

соответствующих корням n-й степени из 1. Пусть n(x) E[x] – делитель многочлена xn–1, равный произведению линейных множителей, соответствующих примитивным корням n-й степени из 1.

Многочлен n(x) называется многочленом деления круга.

Предложение 16. Пусть n – натуральное число. Многочлен n(x) является целочисленным

унитарным многочленом, не зависящим от расширения E. При этом

n			xn 1
(1) x –1 =	d (x). (2) Для любого d|n, d<n, n (x)				(над Z).
			xd
d|n				1

Доказательство: докажем (1). Если a – корень многочлена d (x), то a является корнем

d|n

одного из многочленов d(x), где d|n, т.е. является корнем d-й степени из 1, а потому и корнем n-й

степени из 1, т.е. корнем многочлена xn–1. Если a – корень многочлена xn–1, то a En, т.е. a = bk где b – примитивный корень n-й степени из 1. Тогда |a| = d, где d|n, т.е. a является примитивным

корнем d-й степени из 1, т.е. является корнем многочлена d(x), а потому и d (x).

d|n

Из (1) мы получаем, что 1(x) = x–1 – целочисленный унитарный многочлен, не зависящий от расширения E. Пусть для всякого d, d<n, d(x) – целочисленный унитарный многочлен, не

зависящий от расширения E. Тогда поскольку из (1) n(x) xn 1 , то n(x) также является

d (x)

d|n,d n

целочисленным унитарным многочленом, не зависящим от расширения E.

При этом мы видим, что многочлен n(x) однозначным образом определяется многочленами

xn–1, d(x), d|n, и равенством (1).
Докажем (2). Из	(1) мы получаем, что		для любого d, d|n,	xn–1 = t (x)			t (x)=
					t|d		t|d,t|n
(xd 1) t (x)=(xd	1) n (x)	t (x),	т.е. (xd–1)|(xn–1)	и	xn 1	n (x) h(x),
t|d,t|n		t|d,t|n,t n			xd 1

h(x) Z[x]. Предложение доказано.

Применим полученные результаты для доказательства следующего утверждения.

Прежде всего, напомним, что центром кольца R называется множество Z(R) = {b R: a R

14

a b = b a}. Централизатором элемента a R называется множество CR(a) = {b R: a b = b a}.

Очевидно, что Z(R) CR (a). Кольцо R коммутативно Z(R) = R.

a R

Теорема 7. Каждое конечное тело коммутативно, т.е. является полем.

Доказательство: пусть R – конечное тело, не являющееся коммутативным. Тогда Z(R) R.

Лемма 1. Централизатор любого элемента a R является подкольцом тела R и сам является

телом относительно операций тела R. В частности, центр Z(R) является полем относительно операций тела R.

Доказательство леммы 1: пусть a R. Если b,c CR(a), то a (b–c) = a b–a c = b a–c a = (b–c) a,

т.е. b–c CR(a); a (b c) = (a b) c = b (a c) = (b c) a, т.е. b c CR(a). Т.о., CR(a) – подкольцо тела R.

Поскольку тогда относительно операций тела R подкольцо CR(a) является кольцом, то остается

проверить два условия: 1) 1 CR(a), т.к.	1 a = a 1 = a; 2)	если b CR(a)\{0}, то	b–1 CR(a), т.к.
a b = b a b–1 a = a b–1. Т.о., CR(a) – тело.

Т.к. Z(R) CR (a), то, очевидно, что Z(R) также является подкольцом кольца R и является

a R

телом. При этом умножение в теле Z(R) коммутативно, т.е. Z(R) – поле. Лемма доказана.

Поскольку Z(R) согласно лемме 1 является конечным полем, то charZ(R) = p, где p – простое

число, т.о., |Z(R)| = pm = q, m>0. Тело R можно рассматривать как линейное пространство над

полем Z(R). Поскольку R конечно, то пространство R конечномерно и потому |R| = qn, где n>1, т.к.

Z(R) R. При этом понятно, что |R | = qn–1, |(Z(R)) | = q–1.

Лемма 2. a R |CR(a)| = qd, где d|n.

Доказательство леммы 2: Поскольку для любого a R тело CR(a) содержит поле Z(R) и

содержится в теле R, то CR(a) можно рассматривать как подпространство пространства R над полем Z(R), т.е. |CR(a)| = qd, где d n.

Если a = 0, то CR(a) = R и потому d = n.

Пусть a 0 и n = dk+r, где k,r Z, 0 r<d. Тогда qn–1 = qdk+r–1 = qdkqr–qr+qr–1 = qr(qdk–1)+(qr–1)

(*). Рассмотрим группу (R , ): a R и b R b CR (a) (централизатор a в группе R ) b CR(a),

то CR (a)= CR(a)\{0}, т.е. |CR (a)| = qd–1. По теореме Лагранжа |CR (a)| | | R |, т.е. (qd–1)|(qn–1).

Тогда в равенстве (*) qd–1 делит сумму и слагаемое qr(qdk–1), поэтому (qd–1)|(qr–1), но qr–1<qd–1,

поэтому qr–1 = 0 и r = 0, т.е. d|n. Лемма доказана.

К группе R применима формула классов:

R

Z R

[R :CR (a)] (**). Последняя

a Z(R )

сумма в этой формуле содержит по крайней мере одно слагаемое, поскольку Z(R) R. Из леммы 2

qn

1

мы получаем, что [R

:CR (a)]

, где d|n. Поэтому (**) можно переписать следующим

qd

1

15

образом: qn 1 q 1	(qd	1) (***), где в последней сумме слагаемые могут повторяться и
	d|n,d n

сумма может браться не по всем делителям d. Из предложения 16 мы получаем, что для каждого

xn

1

qn

1

n

n

d|n, d<n, n (x)

, т.е.

n (q)

. При этом n(x)|(x

–1), т.е. n(q)|(q

–1) и потому из (***)

xd

qd

1

1

следует n(q)|(q–1).

С другой стороны,

n(q) (q a) ,

где произведение берется по всем примитивным

a Cn

корням n-й степени из 1. Тогда поскольку n>1, то ни один из этих корней a не равен 1 и потому

|q–a|>|q–1| (как расстояния от (q,0) до точки на окружности радиуса 1 с центром в начале координат и от (q,0) до (1,0)), поэтому n(q)>(q–1), причем q–1 0.

Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема доказана.

Следствие 4. Конечное кольцо является полем в нем нет делителей нуля.

Доказательство: из предложения 2 мы получаем, что в поле нет делителей нуля, а из предложения 3 и теоремы 7, что конечное кольцо без делителей нуля является телом, а потому полем. Следствие доказано.

8. Максимальные идеалы. Наибольшие идеалы. Минимальные идеалы..

Двусторонний идеал J кольца R называется максимальным, если J R и J не содержится строго ни в каком двустороннем идеале, отличном от R, т.е. если S – двусторонний идеал в R и J S R, то S = J или S = R.

Пример: в кольце Z идеал 2Z является максимальным, а идеал 6Z – нет, т.к. 6Z 3Z Z.

Предложение 17. Пусть R – коммутативное кольцо с 1. Двусторонний идеал J кольца R

является максимальным фактор-кольцо R/J – поле.

Доказательство: поскольку R – коммутативное кольцо с 1, то и фактор-кольцо R/J является коммутативным кольцом с 1.

J – максимальный идеал кольца R кольцо R не содержит двусторонних идеалов,

содержащих J, отличных от J и R (по теореме о соответствии) фактор-кольцо R/J не содержит двусторонних идеалов, а потому и левых и правых идеалов, отличных от J/J = {0} и R/J (по предложению 4) фактор-кольцо R/J является телом, т.е. полем. Предложение доказано.

Следствие 5. В кольце Z идеал nZ является максимальным n – простое число.

Доказательство – упражнение 29.

Упражнение 30. Пусть R – кольцо главных идеалов, a R, a 0, a R . Идеал aR является максимальным a – неразложимый элемент кольца R.

Примеры: 1. Из упражнения 30 мы получаем, что в кольце P[x] (P – поле) идеал J = f(x)P[x]

16

(f(x) 0, degf(x)>0) – максимальный f(x) – неприводимый многочлен.

2. В кольце C[a,b] множество Jc = {f(x) C[a,b]: f(c) = 0} (c [a,b]) является максимальным идеалом – упражнение 31.

В каких кольцах существуют максимальные идеалы?

Предложение 18. В произвольном кольце R с 1 0 существуют максимальные идеалы. Любой двусторонний идеал кольца R, отличный от R, содержится в некотором максимальном идеале кольца R.

Доказательство: рассмотрим множество M двусторонних идеалов кольца R, отличных от R.

Это множество не пусто, т.к. в нем содержится нулевой идеал. Рассмотрим на M отношение порядка – отношение включения одного идеала в другой.

Если J1 J2 … – идеалы из множества M, то их объединение Ji – двусторонний идеал

		i 1
кольца R и поскольку для каждого i=1,2,.. Ji R, то	1 Ji,	т.е. 1 Ji	и потому Ji R. Т.о.,
		i 1	i 1

Ji M.

i1

Поэтому по лемме Цорна множество M содержит максимальный элемент, т.е. такой двусторонний идеал J кольца R, что J R и если S M и S J, то J = S. Т.о., J – максимальный идеал кольца R.

2-е утверждение предложения доказывается аналогично. Предложение доказано.

Условие существования в кольце R единицы существенно, поскольку, например, если мы группу (Q,+) превратим в кольцо с нулевым умножением, то в этом кольце нет 1 и все его идеалы

– в точности подгруппы группы (Q,+). Тогда J – максимальный идеал этого кольца (J,+) –

максимальная подгруппа группы (Q,+). Из теории групп известно, что в группе (Q,+) нет максимальных подгрупп, поэтому в построенном кольце нет максимальных идеалов.

Двусторонний идеал J кольца R называется наибольшим, если J R и J содержит в себе все двусторонние идеалы кольца R, отличные от R.

Предложение 19. Любой наибольший идеал кольца является его максимальным идеалом.

Доказательство – упражнение 32.

Обратное утверждение неверно. Например, в кольце Z идеал 2Z является максимальным, но при этом он не является наибольшим, т.к. в Z нет наибольших идеалов (для любого идеала nZ Z

найдется идеал mZ Z, n m, что mZ nZ).

Предложение 20. Пусть R – кольцо с 1. Если множество всех необратимых элементов кольца

R является двусторонним идеалом, то этот идеал – наибольший.

Доказательство: пусть J0 – множество необратимых элементов кольца R – является

17

двусторонним идеалом. Пусть J – двусторонний идеал кольца R, отличный от R. J J0 a J\J0, т.е. a R a–1 R и 1 = a–1 a J J = R, что противоречит предположению. Т.о., J J0.

Предложение доказано.

Примеры:

1. Множество необратимых элементов кольца P[[x]] (P – поле) – наибольший идеал кольца,

т.к. множество необратимых элементов кольца P[[x]] – множество формальных степенных рядов

вида k xk , где 0 = 0, – двусторонний идеал кольца – упражнение 33.

k 0

2. Множество необратимых элементов кольца Z pk (p – простое число, k N) – наибольший

идеал кольца, т.к. множество необратимых элементов кольца Z pk – {0, p ,…, pk 1 } = pZpk –

двусторонний идеал кольца.

Двусторонний идеал J кольца R называется минимальным, если J {0} и J не содержит строго никакой ненулевой двусторонний идеал кольца R, т.е. если S – двусторонний идеал в R и

{0} S J, то S = {0} или S = J.

Предложение 21. Пусть R – коммутативное кольцо с 1 0. Двусторонний идеал J кольца R

является минимальным J {0} и a J, a 0, aR = J.

Доказательство: « »: пусть a J, a 0. Тогда aR {0}, поскольку aR содержит a 1 = a 0, и aR

– двусторонний идеал кольца R. Если b aR, то b = a r, r R, поэтому b J. Т.о., aR J и по определению минимального идеала aR = J.

« »: пусть S – двусторонний идеал кольца R, S {0} и S J. Тогда a S, a 0 и aR S.

Поскольку по условию aR = J, то получаем, что S = J. Предложение доказано.

Примеры: 1. в кольце Zn идеал J – минимальный, если |J| – простое число.

2. в кольце Z нет минимальных идеалов, т.к. для любого идеала nZ, n 0, nZ mZ, где n|m, m n,0.

9. Нетеровы и артиновы кольца. Теорема Гильберта о базисе.

Пусть R – кольцо с 1. Кольцо R называется нетеровым слева (справа), если в R выполняется условие обрыва возрастающих цепей левых (правых) идеалов, т.е. если J1 J2 … –

последовательность левых (правых) идеалов кольца R, то k N Jk = Jk+1 =… Для коммутативного кольца понятия «нетерово слева» и «нетерово справа» совпадают. В этом случае можно говорить просто о нетеровом кольце.

Левый (правый) идеал J кольца R с 1 называется конечно порожденным, если он совпадает с левым (правым) идеалом R, порожденным конечным набором элементов из J.

Предложение 22. Пусть R – кольцо с 1. Следующие три условия равносильны:

18

1.Кольцо R нетерово слева (справа).

2.В кольце R любой левый (правый) идеал конечно порожден.

3.В кольце R любое непустое подмножество левых (правых) идеалов обладает максимальным элементом относительно включения.

Доказательство: 2) 1): пусть J1 J2 … – последовательность левых идеалов кольца R.

Тогда J Ji – левый идеал кольца R, поэтому из 2) J – конечно порожденный идеал, т.е.

i 1

J = (a1,…,an)l для некоторых a1,…,an J. Тогда k N a1,…,an Jk, Jk – левый идеал кольца R,

поэтому J = (a1,…,an)l Jk, т.е. J = Jk = Jk+1 =… и R нетерово слева.

1) 2): пусть J– левый идеал в R. Пусть J не является конечно порожденным. Тогда a1 J и

(a1)l J. Поскольку (a1)l J, то a2 J\(a1)l и (a1)l (a1,a2)l J. И т.д. Мы получаем бесконечную возрастающую цепочку левых идеалов (a1)l (a1,a2)l …, что противоречит условию. Т.о., J –

конечно порожденный идеал.

3) 1): пусть J1 J2 … – последовательность левых идеалов кольца R. Рассмотрим множество M = {J1, J2, …}. По условию в множестве M есть максимальный элемент, т.е. k N Jk

не содержится строго ни в каком Jl, l N. Поэтому Jk = Jk+1 =… и кольцо R нетерово слева.

1) 3): пусть M – непустое множество левых идеалов кольца R. Пусть в множестве M не существует максимального элемента относительно включения множеств. Поскольку M , то

J1 M. Тогда J2 M J1 J2. Для идеала J2: J3 M J2 J3. И т.д. Мы получаем бесконечную возрастающую цепочку левых идеалов J1 J2 …, что противоречит условию. Т.о., в M есть максимальный элемент.

Для «правого случая» доказательство проводится аналогично. Предложение доказано.

Примеры: 1. Кольцо Z нетерово, поскольку любой идеал в Z имеет вид nZ = (n), т.е. является конечно порожденным.

2.Любое конечное кольцо является нетеровым слева и справа, поскольку любая возрастающая цепочка идеалов этого кольца конечна.

3.Любое тело R является нетеровым слева и справа, поскольку содержит только тривиальные идеалы {0} = (0) и R = (1).

4.Кольцо многочленов P[x1,x2,…] от бесконечного числа переменных над полем P не является нетеровым. Действительно, (x1) (x1,x2) (x1,x2,x3) … – бесконечная возрастающая цепочка идеалов этого кольца.

Пусть R – кольцо с 1. Кольцо R называется артиновым слева (справа), если в R выполняется условие обрыва убывающих цепей левых (правых) идеалов, т.е. если J1 J2 … –

последовательность левых (правых) идеалов кольца R, то k N Jk = Jk+1 =… Для коммутативного кольца понятия «артиново слева» и «артиново справа» совпадают. В этом случае можно говорить

19

просто о нетеровом кольце.

Предложение 23. Пусть R – кольцо с 1. Следующие два условия равносильны:

1.Кольцо R артиново слева (справа).

2.В кольце R любое непустое подмножество левых (правых) идеалов обладает минимальным элементом относительно включения.

Доказательство – упражнение 34.

Примеры: 1. Любое конечное кольцо является артиновым слева и справа.

2. Любое тело R является артиновым слева и справа, поскольку содержит только тривиальные идеалы {0} и R, т.е. любая убывающая цепочка левых (правых) идеалов кольца R

конечна.

3. Кольцо Z не является артиновым, поскольку Z 2Z 4Z … – бесконечная убывающая цепочка идеалов кольца Z.

Предложение 24. Если кольцо R нетерово или артиново слева (справа), то для любого двустороннего идеала J кольца R фактор-кольцо R/J также нетерово или артиново слева (справа)

соответственно.

Доказательство – упражнение 35.

Для подколец аналогичное утверждение неверно. Например,

1.Поле Q является артиновым кольцом, но его подкольцо Z не артиново.

2.Кольцо многочленов P[x1,x2,…] от бесконечного числа переменных над полем P является целостным, а потому вложимо в свое поле частных (теорема 6), которое является нетеровым кольцом, при этом его подкольцо P[x1,x2,…] не нетерово.

Свойство «быть нетеровым» сохраняется при переходе к кольцу многочленов.

Теорема 8 (Гильберта о базисе). Если R – коммутативное нетерово кольцо, то кольцо многочленов R[x] также является нетеровым.

Доказательство: 1) пусть J – идеал кольца R[x]. Если J = {0}, то J = (0) – конечно порожденный идеал. Пусть J ≠ {0}. Обозначим через J1 множество старших коэффициентов многочленов, лежащих в J, объединенное с нулем.

Докажем, что J1 – идеал кольца R.

Действительно, пусть a,b J1. Если a–b = 0, то a–b J1. Пусть a–b 0. Если a=0 или b=0, то либо a–b = a J1, либо a–b = –b J1, поскольку из того, что b – старший коэффициент многочлена f(x) J следует, что –b – старший коэффициент многочлена (–f(x)) J (J – идеал). Если теперь a 0 и b 0, то a и b являются старшими коэффициентами многочленов f(x) и g(x) из J степеней n и m

соответственно. Предполагая n m, мы получим, что a–b является старшим коэффициентом многочлена f(x)–xn–mg(x) J (J – идеал). Итак, в любом случае a–b J1.

Пусть a J1, r R. Если r a = 0, то r a J1. Пусть r a 0. Тогда поскольку a является старшим

коэффициентом некоторого многочлена f(x) из J, то r a является старшим коэффициентом

20