16_200-211

120. Найти области определения следующих функций:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

121. Найти частные производные функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

122. Найти полные дифференциалы функций:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

123. Найти значение полного дифференциала функции:

1) при , , , ;

2) при , , , .

124. Вычислить приближенно: при , .

125. Вычислить приближенно:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

126. Исследовать на экстремум следующие функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

127. Найти общее решение уравнений:

1)

2)

3)

128. Найти частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

1) , если .

2) , если .

3) , если .

129. Найти общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

1)

2)

130. Найти общее решение уравнения Бернулли:

131. Найти частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

1) , если .

2) , если .

3) , если .

132. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1)

2)

3)

4)

133. Найти частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

1) , если , .

2) , если , .

3) , если , .

Исследовать ряды на сходимость, применяя признаки сравнения:

2) 3) 4)

Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:

1) 2) 3) 4)

Исследовать ряды на сходимость, применяя признак интегральный признак Коши:

1) 2) 3) 4)

Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Лейбница:

1) 2) 3) 4)

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала:

1) 2) 3) 4)

Вычислить с точностью до 0,001:

1) 2) 3)

Теория вероятностей

140. Сколькими способами можно разместить на полке четыре книги?

Ответ: 24.

141. Сколькими способами 3 трактора могут быть распределены на 3 поля, если на каждом поле должен работать один трактор?

Ответ: 6.

142. Стадион имеет 4 входа. Сколькими способами можно войти в один вход и выйти через другой.

Ответ: 12.

143. В комнате 5 лампочек. Сколько всего различных способов освещения комнаты, при котором горит ровно 3 лампочки?

Ответ: 10.

144. Имеется 7 видов удобрений. При каждой обработке поля используется только 1 вид удобрений. Проводится 5 обработок. Сколькими способами можно обработать поле.

Ответ: 2520.

145. Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2,3,5,7, чтобы

а) каждая цифра встречалась только один раз.

б) цифры могут повторяться.

Ответ: а) 6; б) 64.

146. В урне 3 белых, 2 черных и 5 красных шаров. Чему равна вероятность того, что наугад вынутый шар окажется: 1) красным; 2) не черным.

Ответ:1) 0,5; 2) 0,8.

147. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения на верхней грани номера: 1) равного 3; 2) меньшего 3; 3) выпадет четное число очков?

Ответ: 1) 0,166; 2) 0,333; 3) 0,5.

148. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что

а) оба раза выпадет герб;

б) хотя бы один раз появится герб.

Ответ:1) 0,25; 2)0,75.

149. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры: 1) одинаковы; 2) различны?

Ответ:1) 0,1; 2)0,9.

150. Найти вероятность того, что наудачу выбранные 2 человека родились:

в марте; 2) в одном и том же месяце.

Ответ: 1) ; 2).

151. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется:

случайно названное двузначное число;

случайно названное двузначное число, если известно, что цифры его различны;

число, цифры которого различны.

Ответ: 1) ; 2) ; 3).

152. Слово «ПАПАХА» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешаны и из них извлекаются по очереди и раскладываются в ряд какие-то четыре карточки. Какова вероятность получить таким путем слово «ПАПА».

Ответ:.

153. Слово «БАБУШКА» разрезали на 7 карточек по одной букве на каждой и перемешали. Какова вероятность, что при переворачивании карточек вновь получится слово «БАБУШКА».

Ответ:.

154. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 учеников получили оценку «хорошо», 9 учеников получили оценку «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все 3 ученика, вызванные к доске, имеют «неудовлетворительные» оценки по контрольной работе.

Ответ:.

155. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажется два туза?

Ответ: 0,0269.

156. В стаде 40 коров, из которых 16 коров имеют среднесуточный удой более 18 л. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных коров с удоем более 18 л будет: 1) ровно две; 2) ни одной; 3) хотя бы одна?

Ответ:1) 0,2915; 2) 0, 2048; 3) 0,7952.

157. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов: 1) один выигрышный; 2) два выигрышных; 3) хотя бы один выигрышный.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

158. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает:

только один из стрелков; 2) оба стрелка; 3) хотя бы один стрелок.

Ответ: 1) 0,38; 2) 0, 56; 3) 0,94.

159. Три стрелка произвели по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8. Для второго и третьего стрелка эта вероятность соответственно равна 0,7 и 0,9. Найти вероятность следующих событий: 1) в цель попадут все три стрелка; 2) в цель попадет только один стрелок; 3) в цель попадут только два стрелка; 4) в цель попадет хотя бы один стрелок.

Ответ:1) 0,504; 2) 0,092; 3) 0,398; 4) 0,994.

160. В коробке 10 красных и 6 синих карандашей. Вынимаются наудачу 2 карандаша. Какова вероятность того, что карандаши будут одноцветные?

Ответ: 0,5.

161. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Ответ: 0,3053.

162. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Ответ: .

163. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10% – у второго, 15% - у третьего, 25% - у четвертого и 30% - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится: 1) у первого или у третьего станка; 2) у второго или у пятого; 3) у первого или у четвертого; 4) у первого или второго, или третьего; 5) у четвертого или пятого.

Ответ: 1) 0,35; 2) 0,4; 3) 0,45; 4) 0,45; 5) 0,55.

164. К вокзалу одновременно прибывают три электрички. Вероятности опоздания, для которых соответственно равны 0,1; 0, 3; 0,2. Найти вероятности того, что прибудут вовремя: 1) только одна электричка; 2) только две электрички; 3) все три; 4) хотя бы одна.

Ответ: 1)0,092; 2)0,398; 3) 0,504; 4) 0,994.

165. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопрос, соответственно, равна 0,9, а на третий вопрос – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: 1) только на один вопрос; 2) только на два вопроса; 3) на все вопросы; 4) хотя бы на два вопроса.

Ответ: 1) 0,648; 2) 0,954.

166. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Ответ:.

167. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,973. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Ответ: 0,7.

168. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «Герб» выпадет:

менее двух раз; 2) не менее двух раз.

Ответ: 1) ; 2) .

169. В куче картофеля имеется 20% клубней, пораженных болезнью. Каковы вероятности событий, состоящих в том, что среди пяти взятых наугад клубней: 1) не будет пораженных; 2) окажется только два клубня, пораженных болезнью; 3) будет хотя бы один клубень, пораженный болезнью; 4) только один клубень, пораженный болезнью?

Ответ: 1) 0,3277; 2) 0,2048; 3) 0,6723; 4) 0,4096.

170. В поле работает четыре трактора. Вероятность того, что в произвольный момент времени трактор работает, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент времени работают: 1) ровно три трактора; 2) хотя бы один трактор.

Ответ: 1) 0,2916; 2) 0,9999

171. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 5 случаев эта колония микроорганизмов появится: 1) не менее 4 раз; 2) хотя бы один раз.

Ответ: 1) 0,7373; 2) 0,9997.

172. В хлопке 10% коротких волокон. Найти вероятность того, что в наудачу взятом пучке из 5 волокон окажется: 1) не более 2 коротких волокон; 2) более 2 коротких волокон.

Ответ: 1) 0,9914; 2) 0,0086.

173. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность, что из четырех посеянных семян взойдет:

ровно три; 2) не менее трех; 3) ни одного; 4) менее двух.

Ответ: 1) 0,4116; 2) 0,6517; 3) 0,0081; 4) 0, 0837.

174. Вероятность электрической лампочке перегореть в течении часа равна 0,05. Зал освещен 100 лампочками. Какова вероятность того, что в течение часа перегорит: 1) 2 лампочки; 2) хотя бы одна лампочка?

Ответ: 1) 0,0842; 2) 0,993.

175. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: 1) ровно две; 2) менее двух; 3) более двух; 4) хотя бы одну.

Указание: принять: .

Ответ: 1) 0,224; 2) 0,1992; 3) 0,0,5768; 4) 0,95.

176. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить: 1) не менее трех семян сорняков; 2) ровно 6 семян сорняков?

Указание: принять: .

Ответ: 1) 0,938; 2) 0,16.

177. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Ответ: 0,0231.

178. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: 1) ровно 80 раз; 2) от 75 до 90 раз; 3) не менее 70 раз.

Ответ: 1)0,3989; 2) 0,8882; 3) 0,9938.

179. Было посажено 400 деревьев. Вероятность, что отдельное дерево приживается, равна 0,8. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев: 1) ровно 250; 2) больше 250.

Ответ: 1) 0; 2) 1.

180. Дан закон распределения случайной величины

А)	Х	2	4	5	6	Б)	Х	-1	1	2	4
	р	0,3	0,1	0,2	0,4		р	0,2	0,1	0,5	0,2

Построить многоугольник распределения.

181. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,75; второго – 0,95. Составить закон распределения случайной величины – числа вероятности поражения мишени двумя стрелками.

182. В крытом питомнике три терморегулятора работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы в течение смены первого терморегулятора равна 0,6. Для второго и третьего терморегуляторов эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти закон распределения случайной величины Х – числа терморегуляторов, бесперебойно работающих в течение смены.

183. Вероятность отказа каждой детали из трех в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины – числа вероятности отказа деталей при работе. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

184. В партии зерна 10% сорняков. Наудачу отобраны четыре зерна. Написать биномиальный закон распределения случайной величины Х – числа зерен сорняков среди отобранных. Построить многоугольник распределения.

185. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины – числа кустов земляники, зараженных вирусом, из пяти посаженных кустов.

186. Написать биномиальный закон распределения ДСВ Х – числа появлений герба при двух бросаниях монеты.

187. В стаде из шести коров имеется четыре черно-белых. Наудачу отобраны три. Составить закон распределения ДСВ Х – числа черно-белых коров среди отобранных.

188. Куплено 10 саженцев яблони из них 8 саженцев зимних сортов. Наудачу отобраны 3 саженца. Составить закон распределения числа саженцев зимнего сорта среди отобранных.

189. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) составить закон распределения ДСВ Х – числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.

190. Студенту на экзамене задают не более трех дополнительных вопросов. Вопросы прекращаются, если студент не отвечает (отвечает) на вопрос. Вероятность правильного ответа 0,9. Требуется: а) составить закон распределения ДСВ Х – числа дополнительных вопросов; б) найти наивероятнейшее число заданных вопросов.

191. В городе имеется 4 банка. Вероятность получить кредит в каждом из банков равна 0,7. Клиент поочередно обходит банки до тех пор, пока не получит кредит. Составить закон распределения числа посещенных банков.

192. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ Х

А)	Х	-4	0	6	Б)	Х	0,2	0,5	0,6
	р	0,2	0,5	0,3		р	0,1	0,5	0,7

193. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ Х:

А)	Х	0	1	2	Б)	Х	2	4	6	7
	р	0,2	0,3	0,5		р	0,05	0,1	0,25	0,6

194. ДСВ Х принимает значения и с соответствующими вероятностями и , и значение с вероятностью . Математическое ожидание . Найти и .

195. ДСВ Х принимает значения , , и с одинаковыми вероятностями. Математическое ожидание . Составить закон распределения ДСВ Х и найти .

196. НСВ Х распределена по равномерному закону на отрезке [-2; 10]. Записать дифференциальную и интегральную функции распределения. Найти М(Х), D(Х), σ(Х), Р(0 ≤ Х < 5), Р(8 < Х < 12).

197. НСВ Х распределена по равномерному закону на отрезке [1; 3]. Записать дифференциальную и интегральную функции распределения и построить их. Найти М(Х), D(Х), σ(Х), Р(2 ≤ Х < 2,5).

198. НСВ Х имеет показательное распределение с параметром λ = 0,5. Записать дифференциальную и интегральную функции распределения. Найти М(Х), D(Х), σ(Х), Р(1 < Х < 2), Р(Х > 10).

199. НСВ Х задана плотностью вероятностей:

Записать интегральную функцию распределения F(x). Найти М(Х), D(Х), σ(Х), Р(0 < Х < 5), Р(Х ≥ 10).