- •§ 2. Геометрический смысл производной
- •§ 3. Физический смысл производной
- •§ 4. Правила дифференцирования
- •§ 5. Таблица производных основных элементарных функций
- •§ 6. Производная сложной функции
- •§ 7. Дифференциал
- •§ 8. Геометрический смысл дифференциала
- •§ 9. Приложения производной
- •1. Возрастание и убывание функции
- •2. Точки экстремума
- •3. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •4. Направление выпуклости и точки перегиба кривой
- •5. Асимптоты кривой
- •6. Построение графиков функций
- •Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •§ 1. Первообразная. Неопределённый интеграл
§ 2. Геометрический смысл производной
На рисунке изображен график функции y = f(x). На оси Ох зафиксируем точку ; значением функции в этой точке будет. Пустьх – приращение независимой переменной в точке ;;– значение функции в точке. Обозначим на рис. 3 точкиА(;),В(х; ),С(х; ). Проведём секущую – прямуюАВ, пересекающую график функции в двух точках А и В, и рассмотрим треугольник АВС. В силу известных формул, определяющих соотношения в прямоугольном треугольнике, . Но по построениюАС = х, ВС = f; поэтому
.
В правой части последней формулы стоит то же выражение, что и под знаком предела в определении производной. Пусть , тогда; секущаяАВ в пределе превращается в касательную l, а , тогда.
Для случая, когда х или f являются отрицательными величинами, рассуждения проводятся аналогично.
Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной (к положительному направлению оси Ох), проведённой к графику функции в точке А(,).
где α – угол между касательной к кривой в точке М(х0, y0) и положительным направлением оси Ох.
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке М(х0, y0) имеет вид
Нормалью к кривой y = f(x) в данной её точке М(х0, y0) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку М(х0, y0).
Уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке М(х0, y0) имеет вид
Направление кривой в каждой её точке определяется направлением касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклона кривой в данной её точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью Ох.
Углом между пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке их пересечения.
Пример
Под какими углами парабола y = x2 + x пересекает ось Ох?
Решение:
Найдем точки пересечения параболы y = x2 + x с осью Ох. Для этого решим систему уравнений:
Решением данной системы являются две точки А(-1; 0) и О(0;0).
Значит, парабола пересекает ось Ох в точках А(-1; 0) и О(0;0). Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках:
.
Вычислим углы α1 и α 2, имеем tgα1 = –1 , тогда α1 = 135
tgα2 = 1, α2 = 45
Пример
Найти уравнение касательной и нормали к кривой y = x3 + 2x в точке М(1, 3).
Решение:
Для определения углового коэффициента касательной находим производную от заданной функции: .
Вычислим угловой коэффициент касательной, подставив в производную абсциссу точки М(1, 3), имеем .
Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
; или ,
а уравнение нормали:
, или .
§ 3. Физический смысл производной
Пусть с помощью закона s = s(t) задано прямолинейное неравномерное движение и t0 – время начала наблюдения. Средняя скорость движения за время движенияt, начиная с момента времени t0, определяется с помощью следующей формулы: .
Нетрудно увидеть, что, по определению производной . С другой стороны,, где– мгновенная скорость в момент времениt0, то есть .
Таким образом, при прямолинейном неравномерном движении производная от функции, выражающей закон изменения пути от времени, равна мгновенной скорости движения точки.
Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов с её помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.
Пример
Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение (единичный импульс) описывается уравнением . Найдите скорость и ускорение в зависимости отt.
Решение:
Значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Поэтому можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.
Скорость мышечного сокращения равна =
=.
Ускорение мышечного сокращения равно или
=.
При дальнейшем изложении всюду, где это необходимо, предполагается существование производных от рассматриваемых функций.
Вычисление производной называется дифференцированием функции.