4.3 Изгибаемые элементы
Изгибаемые элементы - настилы, обрешетки, обшивки, стропильные ноги, балки, прогоны - являются самыми распространенными элементами в деревянных зданиях и сооружениях. Так, например, в деревянных покрытиях зданий расход древесины на основные несущие конструкции (фермы) составляет 15 - 20% от общего расхода древесины на покрытие. Остальные 85 - 80% составляет объем элементов крыши, в основном - изгибаемых.
Поэтому рациональное проектирование изгибаемых элементов и полное использование их несущей способности ведут к экономии лесоматериала.
Деревянные изгибаемые элементы менее чувствительны и порокам древесины, чем растянутые, но более, чем сжатые. Балки цельного сечения разрешается выполнять из древесины второй категории. Особенно неблагоприятно отражаются на прочности балок сучки, выходящие на ребро растянутой кромки сечения. При установке балок рекомендуется ставить их той кромкой вниз, которая на ребрах имеет меньше сучков.
Расчет изгибаемых элементов состоит из проверки прочности (несущей способности) и проверки жесткости (прогиба). Различают два вида работы элементов на изгиб: простой изгиб, когда нагрузка действует в плоскости одной из главных осей инерции сечения изгибаемого элемента и косой изгиб, когда направление нагрузки не совпадает ни с одной из главных осей инерции.
Косой изгиб наблюдается в поставленных наклонно балках и прогонах покрытий, выполняемых из досок или брусьев. В элементах круглого сечения косого изгиба быть не может. Расчет на косой изгиб производится лишь в том случае, когда балки имеют возможность прогибаться в любом направлении. При прочном соединении балок с жесткой в своей плоскости крышей прогиб их в плоскости крыши становится невозможным, и они рассчитываются на простой изгиб в направлении, перпендикулярном к плоскости крыши.
Расчет изгибаемых элементов на прочность при простом изгибе производится по формуле:
M/Wрасч Rи (11)
а при косом изгибе, учитывая, что в наиболее напряженной точке
s = sx + sy = Mx /Wx + My/Wy
Mx /Wx + My/Wy Rи (12)
Здесь М - расчетный изгибающий момент;
Мx и Мy - составляющие расчетного изгибающего момента относительно главных осей х и у;
sx и sy - соответствующие моментам Мх и My напряжения изгиба;
Rи - расчетное сопротивление древесины изгибу;
Wрасч - расчетный момент сопротивления рассматриваемого поперечного сечения, определяемый для цельных элементов по площади сечения нетто; для составных стержней момент сопротивления нетто умножают на поправочный коэффициент kw;
Wx и Wу - расчетные моменты сопротивления рассматриваемого поперечного сечения для осей х и у.
Особенности работы изгибаемых элементов учитываются введением в расчетное сопротивление коэффициентов условий работы, которые отражают влияние различных факторов, повышающих или понижающих сопротивление древесины изгибу. За нормальный случай принимается работа на изгиб досок, брусков и брусьев с размерами сторон сечения менее 14 см, для которых mи = 1,0.
Крупные брусья, имеющие размеры сторон сечения 14 см и более при отношении высоты сечения к его ширине h/b< 3,5 показывают некоторое повышение прочности в работе на изгиб, вследствие уменьшения отрицательного влияния перерезанных пилой волокон древесины на прочность массивных деревянных элементов. Для этого случая принимается коэффициент условий работы mи = 1,15.
По той же причине для изгибаемых бревен, у которых отсутствуют врезки в расчетном сечении, в расчетное сопротивление введен коэффициент условий работы mи = 1,2. Прочность бревен, имеющих врезки, приравнивается к прочности брусьев соответствующих размеров.
Расчет сжато-изгибаемых элементов.
Краевое напряжение при сложном сопротивлении выражается формулой:
s = N/Fнт + M/Wнт (16)
Отсюда в предельном состоянии, с учетом различной прочности материала на сжатие и изгиб, получим
N/Fнт + M/Wнт * Rc/Rи £ Rc (17)
В этих формулах
Fнт, Wнт - площадь нетто и момент сопротивления нетто рассчитываемого сечения;
Rc, Rи - расчетные сопротивления сжатию вдоль волокон и изгибу;
N - расчетное продольное усилие в рассматриваемом сечении элемента;
М - расчетный изгибающий момент, в том же сечении, вычисляемый с учетом прогиба рассчитываемого стержня.
По расчетной схеме сжато-изгибаемого стержня (Рис. 42. ) найдем, что искомый момент М состоит из двух частей:
М = Мo + Nf (18)
где Мо - момент от поперечной нагрузки или внецентренного действия продольной силы, не зависящий от прогиба;
Nf - момент от продольного усилия N, зависящий от прогиба f.
Для определения, прогиба воспользуемся известными формулами сопротивления материалов:
f = fo * 1/(1 – N/Nкр) и fo = Mo/Nкр
где f - полный прогиб рассчитываемого элемента;
fo - прогиб только от поперечной нагрузки;
Nкр = p2EI/l2 - критическое усилие продольного изгиба по Эйлеру для рассчитываемого элемента. Подставив эти величины в формулу (18), получим:
M = Mo + Nf = Mo[ 1 + N/Nкр(1 – N/Nкр)] = Mo/(1 – N/Nкр) = Mo/x
где - коэффициент, учитывающий дополнительный момент от продольного усилия вследствие деформации стержня. Вычисление коэффициента:
x = 1 - l2 /3100 * N/(Rc*Fбр) (19)
Окончательно, формула для проверки прочности сечения при сложном сопротивлении сжатию и изгибу, принимает вид
N/Fнт + (Mo*Rc)/(x*Wрасч*Rи) Rc (20)
N/(Rc*Fнт) + Mo/(x*Wрасч*Rи) 1 (21)
Коэффициент является действительным в пределах от 1 до 0.
Рассмотрим, чему соответствуют предельные значения этого коэффициента: при = 1 из формулы (19) получим = 0, то есть элемент является избыточно жестким и деформации его могут не учитываться;
при = 0 из той же формулы следует, что N = (3100/l2)*Rc*Fбр, то есть несущая способность стержня исчерпывается действующим продольным усилием и никакого изгибающего момента он воспринять не может.
Полученное выше выражение (19) коэффициента является приближенным и для стержней с малыми гибкостями < 75 - недостаточно точным, так как при выводе было принято значение = 3100/l2, действительное лишь для 75.
Расчетные значения поперечной силы Q и сдвигающего усилия Т в сжато-изгибаемых элементах определяются по формулам:
Qo = Qo/x и T = To/x = (Qo*S)/(l*x)
Здесь Qo и То - поперечная сила и сдвигающее усилие только от поперечной нагрузки;
- коэффициент, определяемый по формуле (19).