lekciq_21

ЛЕКЦИЯ 21. Продольно-поперечный изгиб стержней. Приближённое решение. Динамическое нагружение стержней. Учёт сил инерции. Ударные нагрузки. Определение коэффициента динамичности. Расчёты на прочность и жёсткость при динамическом нагружении

Продольно-поперечный изгиб – это изгиб стержня при совместном действии продольной и поперечной нагрузки.

Для достаточно жёстких стержней прогибами от центральной нагрузки можно пренебречь в силу их малости. Рассмотрим гибкий стержень, находящийся под действием продольной и поперечной сил (рис. 21.1).

Рис. 21.1. Схема нагружения при продольно-поперечном изгибе

В произвольном сечении стержня возникают максимальные по модулю нормальные напряжения

(21.1)

Обозначим через момент и прогиб, вызванные поперечной нагрузкой, а через – момент и прогиб, вызванные продольной нагрузкой. Полный момент и прогиб произвольного сечения составят

(21.2)

Если вместо сжимающей приложить растягивающую силу, то это приведёт к уменьшению моментов и прогибов. На практике чаще встречается продольно-поперечный изгиб, вызванный поперечной нагрузкой и сжимающей силой.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учётом (21.2) можно записать

(21.3)

обозначив перепишем уравнение окончательно

(21.4)

Это уравнение имеет точное, которое здесь не будет рассмотрено. В рамках настоящей лекции рассмотрим часто применяемый на практике приближённый метод расчёта сжато-изогнутых стержней.

Подставим правую часть (21.2) в (21.3) получим

(21.5)

При действии только поперечной нагрузки справедливо соотношение С учётом этого уравнение (21.4) имеет вид

(21.6)

При решении этого уравнения можно задаться приближённым выражением для прогиба, вызванного продольной силой, и удовлетворяющего граничным условиям. В случае (рис. 21.1) можно принять

Продифференцируем это выражение и с учётом (21.6) получим

(21.7)

Здесь F_cr – критическая сила, вычисляемая по формуле Эйлера независимо от гибкости стержня и условий закрепления. Момент инерции в этой формул принимается относительно той главной оси, которая перпендикулярна линии действия поперечной нагрузки. Следует отметить, что при расположении нагрузок в плоскости наибольшей жёсткости следует проверять устойчивость стержня в плоскости наименьшей жёсткости.

Формула (21.7) даёт достаточную для инженерных расчётов точность при N < 0,8 F_cr.

Динамическое нагружение стержней. Учёт сил инерции. Особенность динамического воздействия связана с наличием ускорений материальных точек сооружения, вызванных либо движением последнего, либо быстрым изменением деформации. При динамическом действии нагрузок записываются уравнения движения, в которых участвуют силы инерции I.

(21.8)

Масса и ускорение материальной точки. Опираясь на принцип Даламбера возможно использовать статические уравнения равновесия при решении динамических задач.

В курсе сопротивления материалов изучают простейшие случаи динамического воздействия (инерционные нагрузки, ударные нагрузки). Более сложные виды динамических воздействий рассматриваются в разделе строительной механики «Динамика сооружений».

Рассмотрим расчёт элементов, движущихся с известными ускорениями.

Пусть груз весом G поднимается тросом с ускорением а. Площадь сечения троса А и его объёмный вес γ известны. Нужно определить в сечении троса на расстоянии x от груза динамическую продольную силу N_dyn и динамическое нормальное напряжение σ_dyn.

а) б)

Рис. 21.2.

Рассмотрим равновесие отсечённой части троса с грузом (рис. 21.2б). Эта часть троса подвергается действию следующих сил: весу груза и части троса , силам инерции груза и троса . Продольная сила в тросе

Из уравнения равновесия

В состоянии равновесия или при подъёме груза с постоянной скоростью ускорение а = 0. Тогда и выражение для динамической продольной силы примет вид Обозначим через динамический коэффициент выражение в скобках

(21.9)

Окончательно получим

(21.10)

Разделив обе части на площадь А, выразим динамическое напряжение

(21.11)

Связь между удлинением выражается сходной зависимостью.

Ударные нагрузки. Удар – механический процесс кратковременного соприкосновения двух тел. Для инженерных расчётов используется техническая теория удара, имеющая ряд допущений.

1. Ударяющее тело полностью лишено деформативных свойств.

2. Ударяемое тело обладает свойством линейной деформируемости и лишено массы.

3. После соприкосновения тел проявляется эффект «прилипания».

4. Жёсткость ударяемого тела считается постоянной. Или F_dyn/Δ_dyn = F_st/Δ_st. Здесь Δ – перемещение ударяемого сечения.

Рассмотрим один из видов удара – падение ударяющего тела с высоты h на деформируемое ударяемое тело (рис. 21.3). Будем решать задачу в рамках принятых допущений.

а) б) в)

Рис. 21.3

Рис. 21.3а соответствует состоянию до удара, 21.3б в момент после удара, когда ударяемое тело деформировано больше всего (а – ускорение движения, направленного вверх), 21.3в иллюстрирует статическое приложение груза. Все моменты, изображённые на рис. 21.3 соответствуют нулевой скорости движения. По принципу Даламбера

. (21.12)

Воспользуемся принятыми ранее обозначениями получим

(21.13)

Имеет место сходство с полученной ранее зависимостью (21.9), но в данном случае неизвестно ускорение а. Воспользуемся для нахождения динамического коэффициента законом сохранения энергии. Кинетическая энергия отсутствует (рис. 21.3а и 21.3б скорость v = 0). Полная энергия равна потенциальной. Уравнение баланса энергии имеет вид

В этом уравнении F_dyn и Δ_dyn неизвестны, выразим F_dyn = (Δ_dyn F_st)/Δ_st, затем подставим последнее в уравнение баланса и получим

Решая это квадратное уравнение, и исходя из того, что k_dyn > 0, найдём:

(21.14)

Тогда

(21.15)

Для определения динамической силы воспользуемся формулой (21.13).

Очевидно, что все параметры напряжённо-деформированного состояния ударяемого тела (σ_dyn, τ_dyn, ε_dyn) находятся аналогично.

В случае внезапного приложения нагрузки (h = 0), Таким образом, для рассмотренного случаю удара

Если выражение (21.13) переписать с учётом того, что в момент удара скорость ударяющего тела составила v, то формула примет вид

(21.16)

В случае внезапного торможения троса, поднимающего груз весом G с постоянной скоростью v можно получить зависимость

(21.17)

Для этого случая минимальный , тогда

В случае горизонтального удара телом весом G, движущимся горизонтально с постоянной скоростью, по препятствию используют зависимость

(21.18)

Минимальный для этого случая, тогда

При ударе, ударяемое тело испытывает качественно те же деформации, что и при статическом нагружении, но величина их в раз больше.

5