lekciq_20

ЛЕКЦИЯ 20. Расчёт центрально сжатого стержня на устойчивость за пределом пропорциональности. Понятие о коэффициенте φ. Практический метод расчёта на устойчивость

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что работа материала описывается прямо пропорциональной зависимостью между напряжением и деформацией. За пределом пропорциональности формулу для критической силы, полученную Эйлером нельзя использовать. Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид

(20.1)

Приравняем , выразим гибкость, соответствующую этому условию через предельную гибкость

(20.2)

В этом случае условие (20.1) можно представить в виде

(20.3)

Стержни, для которых выполняется условие (20.3), называют стержнями большой гибкости.

Очевидно, что предельная гибкость зависит от упругих свойств материала: модуля упругости и предела пропорциональности (20.2). Зная эти характеристики материала можно определить предельную гибкость, так для стали ВСт3 , для дерева , для чугуна .

Экспериментальные исследования устойчивости стержней показали, что критические нагрузки, найденные с помощью формулы Эйлера при соответствуют экспериментальным, а при формула Эйлера даёт завышенный результат.

На основе опытных данных различными учёными были предложены эмпирические зависимости для определения критических напряжений за пределом пропорциональности. Наиболее простой является линейная зависимость, полученная в начале 20 века немецким учёным Л. Тетмайером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинским.

(20.4)

Здесь а и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня, имеющие размерность напряжения.

Для некоторых материалов используют нелинейные зависимости.

Формулой Ясинского (20.4) можно пользоваться при условии, что критические напряжения не превосходят предел текучести для пластичного материала и ниже предела прочности при сжатии для хрупкого материала. Условие применимости формулы Ясинского можно записать как

(20.5)

Рис. 20.1 Зависимость критических напряжений от гибкости для стали ВСт3

Стержни, для которых выполняется условие (20.5) называются стержнями средней гибкости. Стержни, у которых гибкость ниже минимальной – стержни малой гибкости. Последние могут разрушаться не в результате потери устойчивости, а в результате потери прочности при центральном сжатии.

При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в поперечных сечениях достигают критического значения.

Допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость определяется как

(20.6)

Условие устойчивости можно записать следующим образом

(20.7)

Допускаемое напряжение можно принять при расчёте на устойчивость равным некоторой доле от допускаемого напряжения при центральном сжатии

(20.8)

φ – коэффициент продольного изгиба, всегда меньше единицы, зависит от материала и гибкости стержня.

При расчёте сжатых стержней на устойчивость решают три типа задач.

Практический метод расчёта сжатых стержней на устойчивость – это метод приближений.

2