Расчет балки на прочность и жесткость при прямом поперечном изгибе

а) б)

Рис. 1

Требуется: для балки, приведенной на рис.1 подобрать размеры поперечного сечения в двух вариантах (а и б), при R=200МПа, R_s=120МПа. Для варианта б также определить размеры сечения из расчета по предельной несущей способности при σ_s=240МПа. Выполнить расчет на жесткость для варианта а при [v]=(1/400)l, где l – длина пролета (расстояние между опорами).

Решение

1) Определение опорных реакций

Рис. 2

Назначим глобальную систему координат. Обозначим на чертеже вертикальные составляющие опорных реакций V, горизонтальные – H. Найдем опорные реакции, используя уравнения статики:

∑F_x=0 => H_А=0

∑m_A=0; -М + 2×F + 5×6q + М - 8×V_B =0

-20 + 80 + 600 + 20 - 8×V_B =0

680 - 8×V_B=0 => V_B=85кН

∑m_B=0; -М + 8×V_А - 6×F - 3×6q + М =0

-20 + 8×V_А – 240 – 360 + 20 =0

8×V_А - 600=0 => V_А=75кН

Проверка: ∑F_y=0; V_А + V_B - F - 6q =0

75 + 85 - 40 - 120 =0

160 - 160 =0

0 = 0 – верно.

Положительные значения опорных реакций подтверждают их верное направление. После выполнения проверки числовые значения опорных реакций выставляют на чертеж.

2) Построение эпюр внутренних усилий. Выделим грузовые участки. Грузовым участком называют часть стержня, в пределах которой внутреннее усилие подчиняется одному закону (описывается одним уравнением). Данную балку можно разбить на четыре грузовых участка (I, II, III, IV).

Определим значения

поперечных сил,

рассматривая равновесие

левой части балки:

Эп.Q_y[кН] Q_I=0

Q_II=75кН – const

Q_4-4=75-40=35кН

Q_7-7=75-40-6×20=-85кН

Определим значения

изгибающих моментов,

Эп.М_z[кНм] рассматривая левую

часть балки

М_I=-20кН – const

М_2-2=-20кН

М_3-3=-20+75×2=130кН

Рис. 3 М_4-4=М_3-3=130кН

Расстояние до сечения, в котором момент принимает экстремальное значение, находят с помощью уравнения поперечной силы для грузового участка, в пределах которого действует равномерно распределенная нагрузка: Q_III=35-20x=0=>x=35/20=1,75м.

М(1,75)=-20+75×3,75-40×1,75-20×1,75²/2=160,6кН.

Рассмотрим равновесие правой части: график функции изгибающих моментов на IV грузовом участке парабола, поэтому определим значение момента в начале М_7-7=0, середине М(1)=85×1-20×1²/2=75кН, и в конце участка М_6-6=85×2-20×2²/2=130кН; М_5-5=85×2-20×2²/2-20=110кН.

3) Выбор опасных сечений. Первое опасное сечение - то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент, второе – с наибольшим по модулю значением поперечной силы, третье – неблагоприятное сочетание изгибающего момента и поперечной силы.

Опасное сечение I-I =160,6кНм;

Опасное сечение II-II =85кН;

Опасное сечение III-III Q_y=75кН, М_z=130кНм.

4) Расчет на прочность

Запишем для опасного сечения I-I условие прочности по нормальным напряжениям (4): . Затем приравняем максимальное по модулю нормальное напряжение к расчетному сопротивлению и выразим из условия прочности требуемый для его выполнения момент сопротивления сечения . Для того, чтобы обеспечивалось выполнение условия прочности, независимо от геометрии сечения, момент сопротивления этого сечения должен быть равен 803см³. Необходимо помнить о том, что геометрическая характеристика сечения используется только для определения максимального по модулю значения напряжения и связана с осевым моментом инерции сечения зависимостью , где - расстояние до наиболее удаленной от нейтральной оси точки (опасная точка 1), в которой и возникает наибольшее напряжение.

а) Подбор сечения из прокатного профиля (швеллер)

Необходимо подобрать по сортаменту поперечное сечение, состоящее из двух швеллеров, тогда для одного швеллера требуемый момент сопротивления сечения составит