ЛАБ_ПРАК_MathCad
.pdf1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|||
9 |
∑ |
|
3i |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
∫1 + |
dx |
[-1/4;0] |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10 |
∑i |
4i |
−3 |
|
|
|
|
∫4 +dx3 x2 |
[-1;0] |
|||||||||||||||
|
6i3 |
+5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
11 |
∑ |
|
2i |
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
xdx |
[0;4] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x |
|
|||||
12 |
∑ln |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x −3dx |
[3;6] |
||||||||
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(x2 |
+ |
1 + x)dx |
[0;3] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
− |
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
||||||||
|
∑ e |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14 |
∑i |
|
|
|
|
|
1+i |
|
|
|
x − 2dx |
[2;3] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 + x − 2 |
|
||||||||||
|
|
i3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
xdx |
[25;49] |
|||
|
∑i * arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
+ 4 |
|
|
x −6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
∑i |
1 −cos |
|
|
|
|
|
i |
|
|
∫ |
|
xdx |
[0;1] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
i2 +i +1 |
|
|
2x + 7 |
|
|||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
[0;4] |
||||
|
∑ln 1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x +5 |
|
|||||||||
|
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
18 |
|
∑ |
e−1/ i3 |
|
−1 |
|
|
∫33 |
x22 dx |
|
[-8;0] |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+3 |
|
|
||||||||
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
[4;9] |
||||||||||
|
|
∑sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x(x −1) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
20 |
∑ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
[1;2] |
||||||||
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
i |
|
|
|
1 |
2 |
+ |
4 |
−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
21 |
|
∑1−cos(2i) |
|
|
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
[0;1] |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
3i + 4 |
|
|
|
|
|
|
7 + x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
22 |
∑ |
(−1)i (i2 |
−6) |
∫ x cos( x )dx |
[0;π/2] |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23 |
|
|
|
|
∑ |
i2 |
− |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
∫xe−7 x dx |
|
[0;1] |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24 |
|
|
|
|
∑i2 |
+i |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
[0;1] |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x +3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
[0;2] |
||||
|
|
∑ |
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
i(i +1) |
|
|
|
|
|
∫7 + 4x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
26 |
|
|
|
|
∑ |
i2 |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
[1;3] |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (2x + |
1) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
27 |
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
[-1;1] |
|||
|
∑i |
0.2 |
|
|
|
∫x 3 − x2 dx |
|
||||||
|
ln(4i + 2) |
|
|||||||||||
28 |
∑ |
(−1)i |
|
|
x2 dx |
|
[0;2] |
||||||
|
4 |
i |
|
|
∫8 + x |
3 |
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
29 |
∑i |
|
0.3i |
∫x sin(2x)dx |
[0;π/4] |
||||||||
|
ln(i + 2) |
|
|
|
|
|
|
||||||
30 |
∑ |
2i |
∫arcsin(x)dx |
[0;1] |
|||||||||
|
i 3 |
i4 + 2 |
|
|
|
|
|
Пример выполнения задания:
Задание:
Координаты |
Матрица |
|
|
|
|
|
точек |
|
|
|
|
|
|
A=(-1, 2, 9) |
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
B=(7, -2, -4) |
|
0 |
3 |
|
|
|
C=(-1, -5, -1) |
M = 2 |
|
|
|
||
1 |
3 |
2 |
|
|
||
D=(-3, -1, 4) |
|
|
||||
Ряд |
Неопределенный |
|
Пределы |
|||
|
интеграл |
|
|
|
интегр. |
|
−i |
∫ex x2 dx |
|
|
(-∞; 0] |
||
∑e 2 |
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
13
1. Для выполнения задания 1 используем известную формулу из курса линейной алгебры, которая гласит, что координаты вектора численно равняются разности координат точек конца и начала вектора:
ar = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) . |
(1) |
Для этого в MathCad точки A, B, C и D набираются в следующем виде:
−1 |
7 |
|
−1 |
−3 |
|
||||
A := |
2 |
|
B := −2 |
|
C := |
−5 |
D := |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
−4 |
|
|
−1 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее задаем параметр i меняющийся от 0 до 2.
Примечание: Отметим, что в пакете MathCad нумерация компонент векторов и элементов матриц начинается с 0.
i := 0.. 2
Для нахождения координат наших векторов используем формулу (1), которая в MathCad имеет вид:
ai := Bi − Ai bi := Di − Ci .
Для просмотра координат векторов достаточно набрать: a= и b=. В данной задаче
14
|
8 |
|
|
−2 |
|
|
a = |
−4 |
|
b = |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−13 |
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендация: |
|
|
предлагаем |
|
|
читателю |
самостоятельно вычислить в MathCad длину полученных векторов.
2. Вычислим скалярное и векторное произведение полученных векторов.
Примечание: Обращаем внимание читателя на то, что вычисления скалярного произведения в MathCad осуществляется согласно правилу умножения матриц.
В связи с этим вектора следует задавать следующим образом:
−2
aT = ( 8 −4 −13 ) b = 4
5 .
Примечание: Верхний индекс Т у вектора а означает операцию транспонирования.
Вычислим скалярное произведение: aT b = ( −97 ) .
Проверим результат, воспользовавшись определением скалярного произведения:
15
a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 = −97
или в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(aT) |
0 |
,0 |
b0 |
+ (aT) |
0 |
,1 |
b1 |
+ (aT) |
0 |
,2 |
b2 |
= −97 |
|
|
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
Примечание: Если вектор задан в строчку, то MathCad воспринимает его не как вектор, а как матрицу с одной строкой и n столбцами.
Для вычисления векторного произведения вектора следует задавать в виде столбцов.
В качестве примера, продемонстрируем проверку антикоммутативности векторного произведения
|
32 |
|
|
−32 |
|
|
a × b = |
−14 |
|
b × a = |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
−24 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
3. Рассмотрим произведение матрицы на вектор. Матрица задается с помощью встроенных функций пользователя, а произведение ее на вектор в MathCad имеет вид:
−1
M b = 11
20 .
Умножение вектора на матрицу осуществляется следующим образом:
aT M = ( −13 −47 −30 ) .
16
4. Вычисление определителя матрицы выполняется с помощью встроенной символьной операции M =−2 .
5. Частичные суммы рядов вычисляются с помощью определенных символьных операций, представленных на рисунке 1.
|
|
Рис. 1. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Результаты вычислений имеют вид: |
|
|
|
|||
S(i) := ∑e |
−i |
1 |
|
−1 |
|
|
2 |
|
|||||
|
S(i) → |
|
|
exp 2 |
i |
|
|
−1 |
|
||||
i |
|
|
exp 2 |
− 1 |
|
. |
Примечание: Из курса математического анализа известно, что частичные суммы в теории рядов представляют собой отправную точку в исследовании их сходимости. Средства MathCad, позволяют, используя фундаментальное определение сходимости числового ряда, рассмотреть этот вопрос для различных числовых рядов.
17
Здесь в качестве примера мы рассматриваем заданный выше ряд.
Если предел S(i) при i→∞ существует и конечен, то ряд сходится. Рассмотрим такой предел для нашего ряда. В среде MathCad для вычисления пределов используются встроенные символьные операции, представленные на рисунке 1. Результаты вычислений выглядят следующим образом:
lim S(i) → 0
i→∞ .
6. Ряд сходится, следовательно, можно вычислить его сумму:
∞ |
|
− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
2 → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
exp |
|
− |
1 |
|
− |
1 |
|
||||||
i = 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
7. Для вычисления неопределенных интегралов также используются встроенные символьные вычисления (см.
рис.1).
⌠
F ( x) := ex x2 dx
⌡
F ( x) → exp ( x) x2 − 2 x exp ( x) + 2 exp ( x) .
Примечание: Отметим, что в полученном результате отсутствует аддитивная постоянная.
Согласно основному свойству интегралов, производная от первообразной должна быть равна
18
подынтегральной функции. Часто это свойство используется в качестве проверки полученных первообразных.
Для вычисления производных снова используем встроенные символьные вычисления (см. рис.1).
В нашем случае получаем:
|
|
d |
F ( x ) |
→ exp ( x ) |
x 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Для |
вычисления |
определенного |
интеграла, |
|||
используя символьные операции, получаем |
|
|
||||
|
|
⌠ 0 |
e x x 2 dx → |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
⌡− ∞ |
|
. |
|
Примечание: Возможности пакета позволяют с помощью указанных символьных операций проводить исследования сходимости несобственных интегралов и изучение поведения разрывных функций на заданном интервале. В чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно, рассмотрев следующие два примера:
2 |
x |
|
|
|
|
|
cos(x) |
|
|
1. ∫0 |
dx |
|
y(x) |
= |
при x |
− |
|||
x2 −1 |
|
||||||||
|
x |
||||||||
|
2. |
|
|
[ 1;1]. |
19
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «Работа с файлами данных.
Сплайн-аппроксимация. Графика»
Цель работы: Научиться записывать данные в файл и читать их из файла. По заданной таблице данных построить сплайн-аппроксимацию. Освоить работу с графическим модулем MathCad.
Рекомендуемая литература: [1-3, 7, 10].
Задание:
1.Создать файл x.txt, в который записать столбиком значения x- координат. В файл y.txt записать значения y- координат.
2.Прочитать значения x и y из файлов.
3.Из этих значений сформировать матрицу M размера
9x2.
4.Отсортировать матрицу M по первому столбцу.
5.Записать полученную матрицу в файл m.txt.
6.Вычислить коэффициенты и построить линейный сплайн по таблице данных.
7.Вычислить коэффициенты и построить квадратичный сплайн по таблице данных.
8.Вычислить коэффициенты и построить кубический сплайн по таблице данных.
20