МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.В. Ершов

Лабораторный практикум

ПО СОВРЕМЕННЫМ

КОМПЬЮТЕРНЫМ ТЕХНОЛОГИЯМ

Учебное пособие

(для студентов строительных специальностей)

НОВОСИБИРСК 2003

УДК 681.3.068(075)

Ершов И.В.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО СОВРЕМЕН-НЫМ КОМПЬЮТЕРНЫМ ТЕХНОЛОГИЯМ: Учебное пособие (для студентов строительных специальностей). – Новосибирск: НГАСУ, 2003.

Учебное пособие содержит лабораторные работы, охватывающие основные возможности системы MathCad, используемые в решении различных математических задач. Каждая лабораторная работа снабжена подробными рекомендациями для ее успешного выполнения.

Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Современные компьютерные технологии в строительстве». Оно будет полезно для студентов и преподавателей в качестве практического руководства в изучении системы MathCad 2001Professional.

Печатается по решению издательско-библиотечного совета НГАСУ

Рецензенты:

• Ю.Н. Григорьев, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник (ИВТ СО РАН)

• А.Ф. Задорожный, к.т.н., доцент, зав. кафедрой ИСТ НГАСУ

Оглавление

Введение 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 18

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 30

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 44

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 51

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 65

Заключение 82

Библиографический список 82

Введение

Система MathCad пользуется большой популярностью во всем мире, позволяя готовить достаточно профессиональные документы, имеющие вид обычных статей и книг по математике. Последние версии систем MathCad 2001 Professional и MathCad 2001 Premium содержит сбалансированные средства численных и символьных (аналитических) вычислений совместимых с хорошей графической визуализацией результатов.

Данное учебное пособие содержит в себе ряд лабораторных работ, охватывающих основные возможности системы компьютерной математики MathCad 2001 Professional и предлагавшихся автором на лабораторном практикуме по современным компьютерным технологиям. Каждая лабораторная работа снабжена подробными комментариями и списком литературы необходимым для ее эффективного выполнения. В каждой работе автором проводится параллель между полученными результатами и их приложениями.

Отметим, что описанные примеры могут быть положены в основу разработки компьютерных курсов по математическому моделированию, физике и обработке экспериментальных данных.

В заключении автор выражает благодарность рецензентам за внимание к работе и полезные советы.

Лабораторная работа № 1 «Символьные вычисления»

Цель работы:Освоить работу с процессом символьных вычислений на примере вычисления интегралов, производных, сумм, пределов. Изучить работу с векторами и матрицами.

Рекомендуемая литература: [1-5].

Задание:

1. По заданным координатам точек A, B, C, Dнайти координаты векторовa=ABиb=CD.

2. Вычислить скалярное и векторное произведения найденных векторов.

3. Найти следующие произведения векторов на заданную матрицу M:a*MиM*b.

4. Вычислить определитель матрицы M.

5. Для заданного ряда вычислить i– частичную сумму и исследовать сходимость ряда.

6. Вычислить сумму ряда.

7. Найти первообразную неопределенного интеграла и выполнить проверку, полученного результата.

8. Вычислить значения определенного интеграла.

Таблица № 1.1: Варианты для лабораторной работы «Символьные вычисления»

№ варианта	Координаты точек	Матрица
1	2	3
1	A=(-1, 2, 1) B=(-2, 2, 5) C=(-3, 3, 1) D=(-1, 4, 3)
2	A=(-2, 1, -1) B=(-3, 1, 3) C=(-4, 2, -1) D=(-2, 3, 1)
3	A=(1, 1, 2) B=(0, 1, 6) C=(-1, 2, 2) D=(1, 3, 4)
4	A=(-1, -2, 1) B=(-2, -2, 5) C=(-3, -1, 1) D=(-1, 0, 3)
5	A=(2, -1, 1) B=(1, -1, 5) C=(0, 0, 1) D=(2, 1, 3)
6	A=(-1, 1, -2) B=(-2, 1, 2) C=(-3, 2, -2) D=(-1, 3, 0)
7	A=(1, 2, 1) B=(0, 2, 5) C=(-1, 3, 1) D=(1, 4, 3)
1	2	3
8	A=(-2, -1, 1) B=(-3, -1, 5) C=(-4, 0, 1) D=(-2, 1, 3)
9	A=(1, -1, 2) B=(0, -1, 6) C=(-1, 0, 2) D=(1, 1, 4)
10	A=(1, -2, 1) B=(0, -2, 5) C=(-1, -1, 1) D=(1, 0, 3)
11	A=(0, 3, 2) B=(-1, 3, 6) C=(-2, 4, 2) D=(0, 5, 4)
12	A=(-1, 2, 0) B=(-2, 2, 4) C=(-3, 3, 0) D=(-1, 4, 2)
13	A=(2, 2, 3) B=(1, 2, 7) C=(0, 3, 3) D=(2, 4, 5)
14	A=(0, -1, 2) B=(-1, -1, 6) C=(-2, 0, 2) D=(0, 1, 4)
15	A=(3, 0, 2) B=(2, 0, 6) C=(1, 1, 2) D=(3, 2, 4)
1	2	3
16	A=(0, 2, -1) B=(-1, 2, 3) C=(-2, 3, 7) D=(0, 4, 1)
17	A=(2, 3, 2) B=(1, 3, 6) C=(0, 4, 2) D=(2, 5, 4)
18	A=(-1, 0, 2) B=(-2, 0, 6) C=(-3, 1, 2) D=(-1, 2, 4)
19	A=(2, 0, 3) B=(1, 0, 7) C=(0, 1, 3) D=(2, 2, 5)
20	A=(2, -1, 2) B=(1, -1, 6) C=(0, 0, 2) D=(2, -1, 4)
21	A=(-1, 2, 1) B=(-2, 2, 5) C=(-4, 2, -1) D=(-2, 3, 1)
22	A=(-2, 1, -1) B=(-3, 1, 3) C=(-1, 2, 2) D=(1, 3, 4)
23	A=(1, 1, 2) B=(0, 1, 6) C=(-3, -1, 1) D=(-1, 0, 3)
1	2	3
24	A=(-1, -2, 1) B=(-2, -2, 5) C=(0, 0, 1) D=(2, 1, 3)
25	A=(2, -1, 1) B=(1, -1, 5) C=(-3, 2, -2) D=(-1, 3, 0)
26	A=(-1, 1, -2) B=(-2, 1, 2) C=(-1, 3, 1) D=(1, 4, 3)
27	A=(1, 2, 1) B=(0, 2, 5) C=(-4, 0, 1) D=(-2, 1, 3)
28	A=(-2, -1, 1) B=(-3, -1, 5) C=(-1, 0, 2) D=(1, 1, 4)
29	A=(1, -1, 2) B=(0, -1, 6) C=(-1, -1, 1) D=(1, 0, 3)
30	A=(0, 3, 2) B=(-2, 2, 4) C=(-3, 3, 0) D=(3, 2, 4)

Таблица № 1.2: Варианты для лабораторной работы «Символьные вычисления»

№	Ряд	Неопределен. интеграл	Пределы интегр.
1	2	3	4
1			[2;7]
2			[-3/4;0]
3			[0;1]
4			[0;4]
5			[-8;0]
6			[-4;1]
7			[-3/4;0]
8			[-1;1]
1	2	3	4
9			[-1/4;0]
10			[-1;0]
11			[0;4]
12			[3;6]
13			[0;3]
14			[2;3]
15			[25;49]
16			[0;1]
17			[0;4]
1	2	3	4
18			[-8;0]
19			[4;9]
20			[1;2]
21			[0;1]
22			[0;/2]
23			[0;1]
24			[0;1]
25			[0;2]
26			[1;3]
1	2	3	4
27			[-1;1]
28			[0;2]
29			[0;/4]
30			[0;1]

Пример выполнения задания:

Задание:

Координаты точек	Матрица
A=(-1, 2, 9) B=(7, -2, -4) C=(-1, -5, -1) D=(-3, -1, 4)
Ряд	Неопределенный интеграл		Пределы интегр.
			(-; 0]

1. Для выполнения задания 1 используем известную формулу из курса линейной алгебры, которая гласит, что координаты вектора численно равняются разности координат точек конца и начала вектора:

. (1)

Для этого в MathCadточкиA, B, CиDнабираются в следующем виде:

.

Далее задаем параметр iменяющийся от 0 до 2.

Примечание: Отметим, что в пакете MathCad нумерация компонент векторов и элементов матриц начинается с 0.

Для нахождения координат наших векторов используем формулу (1), которая в MathCadимеет вид:

.

Для просмотра координат векторов достаточно набрать: a=иb=. В данной задаче

.

Рекомендация: предлагаем читателю самостоятельно вычислить в MathCad длину полученных векторов.

2. Вычислим скалярное и векторное произведение полученных векторов.

Примечание: Обращаем внимание читателя на то, что вычисления скалярного произведения в MathCad осуществляется согласно правилу умножения матриц.

В связи с этим вектора следует задавать следующим образом:

.

Примечание: Верхний индекс Т у вектора а означает операцию транспонирования.

Вычислим скалярное произведение:

.

Проверим результат, воспользовавшись определением скалярного произведения:

или в виде

.

Примечание: Если вектор задан в строчку, то MathCad воспринимает его не как вектор, а как матрицу с одной строкой и n столбцами.

Для вычисления векторного произведения вектора следует задавать в виде столбцов.

В качестве примера, продемонстрируем проверку антикоммутативности векторного произведения

.

3. Рассмотрим произведение матрицы на вектор. Матрица задается с помощью встроенных функций пользователя, а произведение ее на вектор в MathCadимеет вид:

.

Умножение вектора на матрицу осуществляется следующим образом:

.

4. Вычисление определителя матрицы выполняется с помощью встроенной символьной операции .

5. Частичные суммы рядов вычисляются с помощью определенных символьных операций, представленных на рисунке 1.

.

Рис. 1.

Результаты вычислений имеют вид:

.

Примечание: Из курса математического анализа известно, что частичные суммы в теории рядов представляют собой отправную точку в исследовании их сходимости. Средства MathCad, позволяют, используя фундаментальное определение сходимости числового ряда, рассмотреть этот вопрос для различных числовых рядов. Здесь в качестве примера мы рассматриваем заданный выше ряд.

Если предел S(i)приiсуществует и конечен, то ряд сходится. Рассмотрим такой предел для нашего ряда. В средеMathCadдля вычисления пределов используются встроенные символьные операции, представленные на рисунке 1. Результаты вычислений выглядят следующим образом:

.

6. Ряд сходится, следовательно, можно вычислить его сумму:

.

7. Для вычисления неопределенных интегралов также используются встроенные символьные вычисления (см. рис.1).

.

Примечание: Отметим, что в полученном результате отсутствует аддитивная постоянная.

Согласно основному свойству интегралов, производная от первообразной должна быть равна подынтегральной функции. Часто это свойство используется в качестве проверки полученных первообразных.

Для вычисления производных снова используем встроенные символьные вычисления (см. рис.1).

В нашем случае получаем:

.

8. Для вычисления определенного интеграла, используя символьные операции, получаем

.

Примечание: Возможности пакета позволяют с помощью указанных символьных операций проводить исследования сходимости несобственных интегралов и изучение поведения разрывных функций на заданном интервале. В чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно, рассмотрев следующие два примера:

1. 2. при .