Неизбежность золотого сечения

На чем основано такое единство в поведении самых разных рынков? Обычное объяснение пропорций Фибоначчи в книгах по техническому анализу основано на туманных рассуждениях об Универсальном Законе Природы, на привлечении аналогий из области биологии, архитектуры, изобразительных искусств. Несмотря на выразительность подобных сравнений, в логическом отношении они ничего не объясняют.

Конечно, само по себе формирование уровней консолидации есть неизбежное проявление психологических движущих сил на спекулятивных рынках. Наличие устойчивых, регулярно повторяющихся пропорций в размерах ходов и откатов на графиках – несомненный эмпирический факт. Но почему именно золотое сечение? Чем хуже, скажем, предлагавшиеся Дж. Доу пропорции, кратные 1/3, или кратные степеням ½ пропорции У.Ганна?

Попробуем вывести золотое сечение логическим путем. Вот несколько несомненных, хорошо известных в техническом анализе свойств рыночных графиков, которые можно принять в качестве своего рода аксиом:

• каждый подъем рынка сопровождается последующим падением (коррекцией);

• существуют некоторые устойчивые (типичные, регулярно повторяющиеся) пропорции в отношениях размеров ходов и последующих коррекций;

• подобное поведение характерно для всех рынков и оно проявляется на разных временных масштабах.

Последнее свойство можно охарактеризовать как фрактальность рыночной динамики: поведение графика, рассматриваемого в малом масштабе времени (скажем, 5-минутном), вполне подобно его поведению в более крупном масштабе (например, часовом или дневном).

Рисунок 2. Пропорции ход/откат в движениях рыночных графиков

Предположим теперь, что действительно существует некоторая универсальная пропорция (типичная величина отношения хода рыночного графика к величине его коррекции), свойственная всем рыночным движениям. Если такая универсальная пропорция существует, то как ее найти?

Обозначим r эту неизвестную универсальную пропорцию (0<r<1). Тогда каждый подъем величины H графика P(t), изображающего цену P как функцию времени t, будет сопровождаться откатом величины rН (рисунок 2).

Добавим теперь к нашим аксиомам еще одну: если график P(t) изображает некоторый рынок, то график 1/P(t) также соответствует некоторому рынку. Иначе говоря, все основные свойства рыночных графиков сохраняются при операции инверсии цены P(t)  1/P(t).

Насколько правомочно подобное предположение в общем случае, обсудим чуть позже, пока же можно отметить, что для валютного рынка это совершенно очевидно: если P(t) – цена валюты, выраженная в единицах другой валюты (прямая котировка, скажем, USDJPY = yen/$), то 1/P(t) есть просто косвенная котировка (JPYUSD = $/yen). Здесь по обе стороны котировки находятся деньги, и столь незначительное изменение, как смена формы записи котировки, не может сказаться существенно на поведении участников рынка.

Но если это справедливо, то картина “ход/откат” на графике обратного рынка должна выглядеть точно также, как и на исходном, а значит, типичные пропорции должны формировать симметричные уровни консолидации: если при ходе вверх на величину Н типичный откат составляет снижение на rН, то при ходе вниз типичным откатом будет подъем на rН, поскольку подъем на обратном рынке 1/P(t) соответствует падению на исходном (рисунок 2).

Далее, согласно фрактальному свойству рынков, каждое движение рынка может быть в свою очередь представлено как ход и откат. Ведь часть рыночного движения (малый отрезок, вынесенный вправо на рисунке 2) также представляет собой рыночное движение, а потому состоит из хода и отката, связанных той же пропорциейr. Отсюда следует, что отрезки на рисунке 2 являются подобными и их величины связаны между собой соотношением

Отсюда получается квадратное уравнение

имеющее единственное приемлемое решение (r < 1):

Следовательно, дополнительная часть отрезка имеет длину

А это есть ни что иное, как знаменитое золотое сечение! Итак, мы доказали, что если справедливы сделанные предположения о свойствах рыночных графиков, то универсальная пропорция (если она существует) является с неизбежностью золотым сечением.

Хорошо известна тесная математическая связь между золотым сечением и последовательностью чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…, называемой последовательностью Фибоначчи (каждое число в ней является суммой двух предыдущих). В техническом анализе на золотом сечении и последовательности Фибоначчи основана концепция волн Эллиотта: основной рыночный цикл (ход-откат) в ней представляется состоящим из стандартного набора 8 волн (5 импульсных волн основного хода + 3 корректирующие волны), которые в свою очередь могут быть разложены на волны меньшего порядка, число которых подчиняется закономерности Фибоначчи. Отношения величин хода цены и коррекций в волнах Эллиотта подчиняются золотой пропорции.

Известна также основная сложность в практическом применении концепции волн Эллиотта: очень часто разложение движений рынка по волнам не совпадает со стандартным правилом Эллиотта. Например, вместо пяти импульсных волн главное движение составляется из семи или девяти, вместо трех корректирующих волн возникают различные непредсказуемые “растяжения”, составленные из нескольких волн и т.д. Гипотеза инвариантности рыночных графиков дает естественное объяснение этим явлениям. Действительно, если пропорция золотого сечения связана с последовательностью Фибоначчи в волновом разложении графика, то отклонение поведения рынка от инверсионной инвариантности (а такие отклонения от идеальной модели неизбежны в реальной жизни каждого рынка) приведет к тому, что вместо идеальной эллиоттовской системы волн возникнет какая-то иная волновая картина, геометрические пропорции в которой будут отличаться от золотого сечения.

Например, интересным проявлением иного вида симметрии является другое известное "гармоническое" число:

которое называется пластическим числом; оно возникает при решении уравнения . Подобно тому как с золотым сечением связана последовательность Фибоначчи, так и с пластическим числом связана последовательность Падована (названная в честь итальянского архитектора, применявшего эти числа в своих проектах):1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21,…. Рисунок 3 дает геометрическую иллюстрацию соотношений чисел Фибоначчи и Падована.

Рисунок 3. Золотая спираль и пластическая спираль

На рисунке 4представлен пример графика, который соответствует пропорциям пластического числа лучше, чем пропорциям Фибоначчи. Синие линии здесь показывают уровни Фибоначчи, а желтые линии – уровни, соответствующие пропорциям пластического числа

Видно, что удовлетворительный вариант разложения этого графика по классическим волнам Эллиотта подобрать трудно. Использование чисел Падована могло бы подсказать иные варианты.

Рисунок 4. Пропорции золотого сечения и пластического числа

на дневном графике швейцарского франка

С этой точки зрения, отклонение графика от идеальной модели эллиоттовских волн следует рассматривать как сигнал о некоторых происходящих внутри рынка переходных процессах. Возможно, развитие соответствующих математических методов позволит использовать такие сигналы как информацию для принятия полезных торговых решений.