3.2.3. Анализ оптимального решения

Жизнь, как правило, не стоит на месте. Как говорится, все течет, все изменяется. В том числе и исходные данные, для которых находилось оптимальное решение. Изменится ли при этом полученное оптимальное решение? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к нашей модели (8). Посмотрим, как влияет на оптимальное решение изменение двух элементов математической модели:

c_j — прибыли, получаемой при продаже единицы продукции x_j;

b_i— количества располагаемого ресурса.

Анализ влияния изменения cj

В математической модели (8) целевая функция равна

F= 60х₁+70х₂+120х₃+130х₄mах.

Допустим, прибыль от продажи Прод1 c₁= 60 изменится на величинуc₁и станет

(11)

Рис. 9

При этом строка целевой функции в исходной симплекс-таблице (рис. 7) примет такой вид, как на рис. 9.

В результате поиска опти­мального решения фраг­мент последней симплекс-таблицы будет иметь вид, представленный на рис. 10. Отсюда можно сделать вывод, что к величинам, находящимся в таблице рис. 8, добавляются величины в строкех_j (ячейкиB3:F3),умноженные на c₁.

Рис. 10

Согласно признаку 2а, сформулированному ранее, при максимизации целевой функции решение будет оптимальным в том случае, когда в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, будут неотрицательны.

Значит, решение будет оптимальным при условии

(12)

Преобразуя (3.2.12), запишем:

и окончательно

12<c₁<40.

Условие (12) определяет пределы изменения До при которых сохраняется структура оптимального плана, т. е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию x₁.

В отчетах Excelнижний предел (в примере равный 12) называетсядопустимое уменьшение,верхний предел, равный 40, —допустимое увеличение.

Если от пределов приращений c₁ перейти к пределам значения величиныc₁, то можно записать

(13)

Таким образом, при изменении c₁в пределах

(14)

будет по-прежнему выгодно выпускать продукцию x₁.При этом значение целевой функции будет

F= 1320 +10с₁.

Если выполнить аналогичные преобразования с с₂, с₃,с₄, то получим-

(15)

И далее по зависимостям, аналогичным (13), не трудно перейти к пределам значений c₂,с₃,с₄.

Анализ влияния изменения bi

Рассмотрим влияние изменения ресурсов на примере изменения имеющегося количества сырья. При изменении трудовых ресурсов на b₁ограничение для них будет иметь вид:

x₁+x₂+x₃+x₄< 16+b₁,

что запишем в виде

y₁= (16+b₁)(x₁+x₂+x_З+x₄).

При этом столбец свободных членов в симплекс-таблице будет иметь вид, показанный на рис.11, а фрагмент симплекс-таблицы с оптимальным решением — на рис.12, из которого видно правило формирования свободных членов, аналогичное правилу формирования строки целевой функции.

Рис.11 Рис. 12

В соответствии с признаком 1 решение будет допустимым в том случае, если все элементы в столбце свободных членов бу­дут неотрицательными. Значит, из рис. 12следует

откуда

Тогда для сохранения структуры оптимального плана изменение трудовых ресурсов должно быть в пределах

Аналогично можно получить значения для b₂,b₃ и записать

(16)

Переход от b_i к пределам b_iпроизводится по зависимостям

(3.2.17)

и в результате получим

(18)

Найденные пределы показывают границы, в которых могут изменяться ресурсы, чтобы структура оптимального решения, т. е. номенклатура выпускаемой продукции, остались без изменений. А это означает, что при изменении трудовых ресурсов в найденных пределах оптимальным, т. е. обеспечивающим наибольшую прибыль, является выпуск той же продукции x₁их₃, но в других количествах. При этом необходимо будет выпускать