ФЭФ заочн. ТеорВер и МатСтат / Краткий конспект лекций по ТВ и МС

Распределение Вейбулла. Это распределение с плотностью

p(x)	0,							x < 0
	=		β −1				−α x	β
					e			, x ³ 0 (α > 0, β > 0)
	αβx
и функцией распределения
F (x)	0,							x < 0
	=			−α x		β		.
		- e					,	x ³ 0
	1
Если β = 1 , то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, а при β = 2

- в распределение Релея.

Достаточно близкую к распределению Вейбулла плотность имеет гамма –

распределение:
	0,				x < 0
p(x) =		λγ xγ −1		e−λx , x ³ 0 (λ > 0,γ > 0)		.
		G(γ )
			+∞
Здесь G(γ ) = ∫ xγ −1e− x dx - гамма-функция.
	γ = k		0
Если			-	целое число, то гамма-распределение превращается в распределение
Эрланга порядка				k.	Если k – нечетное число, γ =		k	, λ =	1	, то	гамма-распределение
						2		2
превращается в распределение À2 (хи-квадрат) распределение с k											степенями свободы.
При γ = 1	(так		как		G(γ +1) = γG(γ ), G(n) = (n -1)!) гамма-распределение переходит в

экспоненциальное. Для всех рассмотренных распределений составлены таблицы, по которым можно определять значения функций распределения.

Лекция 6.

Двумерные случайные величины

Совокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве (W, B, R), называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором, X,Y называют координатами случайного вектора.

Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин.

Функцией распределения случайного вектора (X,Y) или совместной функцией

распределения случайных величин X,Y называется

F (x, y) = P{X < x,Y < y}.

Свойства функции распределения.

1 0 £ F (x, y) £ 1 (Это – свойство вероятности, а F (x, y) - вероятность).

2 F (x, y) - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле,

если x1 < x2 , то событие (X < x1 ,Y <y) включено в событие (X < x2 ,Y <y), следовательно, его вероятность меньше)

3F (- ¥,y) = F (x,- ¥) = 0 (события (X < -¥,Y <y), (X < x,Y <- ¥) - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4F (+ ¥,+¥) = 1 (событие (X < +¥,Y <+ ¥) достоверно).

5P(a £ X £ b, c £ Y £ d )= F (b, d )- F (b, c) - F (a, d )+ F (a, c)

21

Геометрически, F (b, d )- площадь полосы левее и ниже точки (b, d ),

Вычитая из нее F (b, c) и F (a, d ),

d

мы два раза вычтем площадь

полосы левее и ниже точки (a, c).

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

c

вычитать эту площадь один раз,

поэтому надо добавить ее, т.е.

F (a, c) в правую часть равенства.

a

b

6.

F (x,y)непрерывна слева по каждому из аргументов

7.

F (x,+ ∞) = FX (x), F (+ ∞, y) = FY (y).

Так

как событие

(X < +∞) достоверно, то

пересечение событий (X < +∞)

и (Y <y) есть событие (Y <y).

Поэтому первое равенство

справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если

X, Y

-

дискретные случайные

величины. Для нее составляется таблица распределения –

аналог ряда распределения для

одномерной случайной величины.

Y

X

y1

y2

…..

y

m

PX

x1

p11

p12

…

p

1m

pX1

x2

p21

p22

…

p

2m

pX2

……. …

…

…

…

…

xn

pn1

pn2

…

p

nm

pXn

pnm = P(X

PY

pY1

pY2

…

p

Ym

= xn , Y

= ym ),

pYm = P(Y = ym )= p1m+ p2m +…+p nm, pXn = pn1 + pn2 + … +p nm.

График функции

распределения

для

двумерной случайной

величины напоминает

«лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на pij при переходе через точку (xi , yj) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = xi, то при увеличении y эти скачки будут на pi1, pi2, … p im (от нуля до pXi ). Если зафиксировать y = yj, то при увеличении x скачки будут на p1j, p2j, … p nj (от нуля до pYj). Нижние ступени (при x ≤ x1 и y ≤ y1) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>xn, y>ym) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > xn то при увеличении y эти скачки будут на pY1, pY2, … p Ym (от нуля до 1). Если зафиксировать y > ym, то при увеличении x скачки будут на pX1, pX2, … p Xn (от нуля до 1).

Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина Xi – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X1, X2)= (X ,Y ).

				Y
	X
		y1=0	y2=1	PX
	x1=0	q2	qp	pX1=q
	x2=1	pq	p2	pX2=p
	PY	pY1=q	pY2=p
				22

Построим функцию распределения

0,		x £ 0, y £ 0
q 2	,	(0 < x £ 1, 0 < y £ 1)
		(0 < x £ 1, y > 1)		событие{X<x,Y<y}
F (x) = q,			. В самом деле, при (x ≤ 0, y ≤ 0) –
q,		(x > 1, 0 < y £ 1)
		(x > 1, y > 1)
1,

- невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.

При	(0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1)	событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}.
Поэтому при (0 < x ≤ 1, 0 < y ≤ 1) (0 < x ≤ 1, y > 1) F(x) = P{X=0,Y=0}= q2.
При	(0 < x ≤ 1, y > 1)	событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение

несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=1,Y=0}. Поэтому при (0 < x ≤ 1, y > 1) F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q2 + pq = q(p+q)=q. Аналогично, в случае (x > 1, 0 < y ≤ 1) F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q2 + pq = q(p+q)=q.

Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

x y

F (X ,Y ) = P(X < x,Y < y) = ∫ ∫ p(x, y)dxdy .

−∞−∞

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

p(x, y) = ¶2 F (x, y) = ¶2 F (x, y)

¶x¶y ¶y¶x

Свойства плотности.

1.p(x, y) ³ 0 (функция распределения – неубывающая функция).

b d

2. P(a < X < b, c < Y < d ) = ∫ ∫ p(x, y)dxdy (по свойству 5 функции распределения)

a c

Справедливо обобщение P(X Î D) = ∫∫ p(x, y)dxdy .

D

3.P(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) » P(x, y)DxDy

+∞+∞

4.∫ ∫ p(x, y)dxdy = 1 (по свойству 4 функции распределения)

−∞−∞

5.P(X = x,Y = y) = 0

+∞

+∞

6.pX (x) = ∫ p(x, y)dy , pY (y) = ∫ p(x, y)dx (Свойство 7 функции распределения)

−∞ −∞

Независимость случайных величин.

Случайные величины X, Y называются независимыми, если F (x, y) = FX (x)FY (y), где

FX (x), FY (y) - функции распределения случайных величин X, Y.

23

Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y,

получим p(x, y) =	∂ 2 F (x, y) = F '		(x)F ' (y) = p		(x)p		(y).
	∂x∂y	X	Y	X		Y

Соотношение p(x, y) = p X (x)pY (y) поэтому можно считать определением

независимости непрерывных случайных величин.

Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в виде pij = P(X = xi ,Y = y j ) = P(X = xi )P(Y = y j ) = pX i pY j .

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется

M ( f (X ,Y )) = ∑ f (xi , y j )pij в дискретном случае,

i, j

+∞+∞

M ( f (X ,Y )) = ∫ ∫ f (x, y)p(x, y)dxdy в непрерывном случае.

−∞−∞

Свойства математического ожидания

+∞+∞

+∞+∞

1.MC = C ( MC = ∫ ∫Cp(x, y)dxdy = C ∫ ∫ p(x, y)dxdy = C по условию нормировки)

−∞−∞

−∞−∞

2.M (X + Y ) = M (X ) + M (Y )

	+∞+∞	+∞		+∞		+∞		+∞
M (X + Y ) = ∫ ∫ (x + y)p(x, y)dxdy = ∫ x				∫ p(x, y)dy dx +		∫ y		∫ p(x, y)dx dy =
	−∞−∞	−∞		−∞		−∞		−∞
+∞	+∞
∫ xp X	(x)dx + ∫ ypY	(y)dy = M (X ) + M (Y )
−∞	−∞

3 M (XY ) = M (X )M (Y ) для независимых случайных величин.

+∞+∞	+∞+∞	(x)pY (y)dxdy =	+∞	+∞
M (XY ) = ∫ ∫ (xy)p(x, y)dxdy = ∫ ∫ (xy)p X			∫ xp X	(x)dx ∫ ypY	(y)dy = M (X )M (Y ) .
−∞−∞	−∞−∞		−∞	−∞

Ковариация (корреляционный момент).

Ковариацией случайных величин называют cov(X ,Y ) = M ((X − MX )(Y − MY )).

Свойства ковариации.

1.cov(X ,Y ) = M (XY ) − M (X )M (Y )

cov(X ,Y ) = M ((X − M ( X ))(Y − M (Y )) = M (XY − M (X )Y − XM (Y ) + M (X )M (Y )) = M (XY ) − M (X )M (Y ) − M (X )M (Y )+ M (X )M (Y ) = M (XY )− M (X )M (Y )

2.cov(X , X ) = D(X )

По свойству 1 cov( X , X ) = M (X 2 )− (M (X )) 2 = D( X )

3. Если X, Y независимы, то cov(X ,Y ) = 0 , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то M (XY ) = M (X )M (Y ), тогда по свойству 1 cov(X ,Y ) = 0 .

Случайные величины называются некоррелированными, если cov(X ,Y ) = 0 , из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует

некоррелированность.

24

4. cov((aX + b), (cY + d )) = ac cov(X , Y )

По свойству 1

cov((aX + b), (cY + d ))= M ((aX + b)(cY + d )) − M (aX + b)M (cY + d )=

acM (XY ) + bcM (Y ) + adM (X ) + bd − acM (X )M (Y )− bcM (Y )− daM (X ) − bd = = ac(M (XY ) − M (X )M (Y )) = ac cov(X ,Y )

5.cov(X ,Y ) ≤ D(X )D(Y )

Рассмотрим случайную величину z = aX + Y . D(z) = D(aX + Y ) =

M [(aX + Y ) − M (aX + Y )]2 = M [a( X − M ( X )) + (Y − M (Y ))]2 =

M [a 2 ( X − M ( X ))2 + 2a( X − M ( X ))(Y − M (Y )) + (Y − M (Y ))2 ]= a 2 D( X ) + 2a cov( X ,Y ) + D(Y ) .

Заметим, что отсюда следует свойство дисперсии (при a =1)

D( X + Y ) = D( X ) + 2 cov( X ,Y ) + D(Y ) .

Так как D(z) ³ 0 , то a 2 D( X ) + 2a cov( X ,Y ) + D(Y ) ³ 0 . Это возможно только, если дискриминант этого квадратного трехчлена относительно a меньше или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:

4a 2 (cov( X ,Y ))2 − 4a 2 D( X )D(Y ) ≤ 0 . Отсюда следует свойство 5.

6.Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы (Y = aX +b),

необходимо и достаточно, чтобы cov(X ,Y ) = D( X )D(Y )

Необходимость.

Пусть

Y

=

aX

+

b.

Тогда

D(Y ) = M (((aX + b) − (aM ( X ) + b))2 ) = M (a 2 ( X − M ( X ))2 ) = a 2 D( X )

cov( X ,Y ) = M (( X - M ( X ))(Y - M (Y ))) = M (( X - M ( X ))(aX + b - aM ( X ) - b) =

aM (( X − M ( X ))2 ) = aD( X ) =

=

a 2 D( X )

D( X )

D( X )

D(Y )

cov(X ,Y )

=

Достаточность. Пусть

D( X )D(Y ) . Тогда

(доказательство свойства 5)

D(z) = D(aX + Y ) = 0,

следовательно,

z -

детерминированная

величина,

т.е.

aX + Y = const , поэтому величины X, Y – линейно зависимы.

Коэффициентом корреляции называется ρ =		cov(X ,Y )		.
		D( X )D(Y )

Свойства коэффициента корреляции.

1.ρ (X , X ) = 1

2.Если X, Y – независимы, то ρ (X ,Y ) = 0

3.ρ (aX + b, cY + d ) = sign(ac)ρ (X ,Y )

4.− 1 ≤ ρ (X ,Y ) ≤ 1

5.ρ (X ,Y ) = 1 тогда и только тогда, когда X,Y линейно зависимы.

Двумерное равномерное распределение

Случайный вектор (X, Y) равномерно распределен в области D (площадь D равна S), если его плотность распределения задана так: p(x,y) = 0, если x D, p(x,y) = 1/S, если x D.

Пример. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в прямоугольнике 0≤x≤a, 0≤x≤b.

		1	a	b	a		b
	M ( X ) =		∫ dx∫ xdy =			, аналогично M (Y ) =		.
		ab			2
			0	0		2
						25

	1			a	b		a	2															b	2
M ( X 2 ) =				∫ dx∫ x 2 dy =						, аналогично M (Y 2 ) =															.
		ab					3
			0		0																	3
D( X ) = M ( X 2 ) − (M ( X ))2 =											a 2				−		a 2		=		a 2	, аналогично D(Y ) =				b2	.
																	4
												3							12					12
		1		a	b		1			a		2		b		2		ab
M ( XY ) =				∫ dx∫ xydy =													=
		ab					ab		2					2
			0		0														4

cov(X ,Y ) = M (( X − a )(Y − b )) = M ( XY ) − a M (Y ) − b M ( X ) + ab = ab − a b − b a + ab = 0

2

2

2

2

4

4

2 2

2 2

4

Следовательно, случайные величины X, Y не коррелированны.

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними

значениями m, m2, дисперсиями

σ 12 ,σ 22

и коэффициентом корреляции

ρ ,

если ее

плотность задана:

− 1

(x − m )

(x − m )(y − m )

(y − m )

1

2

2

p(x, y) =

exp

1

+ 2ρ

1

2

+

2

σ 2

σ σ

σ 2

2πσ σ

1 − ρ

2

2(1 − ρ

2 )

2

2

1

1

2

1

Задача линейного прогноза.

Заданы характеристики

m1 , m2 , σ 1 , σ 2 , ρ

случайного вектора

( X 1 , X 2 ) . Вводится

–

~

= aX 1+b -

прогноз.

a, b , чтобы

случайная величина

оценка

X

линейный

Вычислить

линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности

~

− X 2 )

2

) → min ).

оценки: M (( X

~

2

~

~

− X

2 ))

2

~

~

~

2

=

M ((X

− X 2 )

) = D(X

− X 2 ) + (M (X

= D(X ) − 2cov(X , X 2 ) + D(X

2 ) + ((M (X ) − M (X 2 ))

a 2σ 2

− 2aρσ σ

2

+ σ

2

+ (am + b − m

2

)2 .

1

1

2

1

За счет выбора b можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: b = m2 − am1 .Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от a (найти

вершину параболы): a = − − 2ρσ 1σ 2

= ρ

σ 2 . Подставляя это значение, найдем

2σ 12

σ 1

b = m − ρ

σ 2 m

оценки при этих значениях параметров

. Вычислим погрешность

2

σ

1

1

σ

σ

~

− X )

2 ) = (ρ

2 )2 σ 2 − 2

ρ 2

2 σ σ

+ σ 2 = σ 2 (1 − ρ 2 ) .

M (( X

2

σ 1

σ 1

2

2

2

1

1

При линейной зависимости X 1 , X 2

(

ρ

= 1) оценка точна, погрешность равна нулю.

Чем меньше коэффициент корреляции,

тем грубее оценка. В крайнем случае, при

отсутствии корреляции ( ρ = 0 ) a =

0, b = m2 ,

~

~

2

) = σ

2

X = m2 ,

M (( X − X 2 )

2 .

Лекция 7.

Законы больших чисел и центральная предельная теорема.

Неравенства Чебышева.

26

Первое неравенство Чебышева. Пусть случайная величина X³0 и существует ее

математическое ожидание M(X). Тогда для любого e>0

выполнено первое неравенство

Чебышева

P(X ³ ε ) £

M ( X )

.

ε

n

∑ xk Pk ³ε ∑Pk =ε P(X ³ε) .

Доказательство. В дискретном случае M(X) = ∑xk P(X = xk ) ³

k=1

(xk ³ε )

(xk ³ε

+¥

В непрерывном случае

M(X) = ∫xp(x)dx³ ∫xp(x)dx³ε ∫xp(x)dx³ε P(x ³ε) .

-¥

(x³ε)

(x³ε)

Второе неравенство Чебышева. Пусть существуют математическое ожидание и

дисперсия случайной величины

M ( X ) = m, D( X ) = D . Тогда для любого α > 0 выполнено

второе неравенство Чебышева

P(

X - m

³ α ) £

D

α 2

Доказательство проведем для непрерывного случая, для дискретного случая оно

доказывается аналогично.

+¥

+¥

D = ∫(x - m)2 p(x)dx = ∫

x - m

2 p(x)dx ³ ∫

x - m

2 p(x)dx ³α 2

∫ p(x)dx ³α 2 P(

X - m

³α)

-¥

-¥

x-m

³α

x-m

³α

вероятности к числу a

Последовательность случайных

величин

сходится

по

({X n }¾¾® a), если "ε > 0,δ > 0

$N (ε ,δ ) : "n > N P(

X n - a

< ε ) > 1 - δ .

P

Законы больших чисел.

Законы больших чисел могут быть записаны в разных формах, но суть их состоит в том, что при большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным.

Теорема Чебышева

(Закон больших чисел в форме Чебышева)

При достаточно большом количестве независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

n

∑ X k

¾¾® m .

k =1

P

n

n®¥

n

Доказательство. Рассмотрим Y =

∑ X k

M (Y ) =

mn

= m, D(Y ) =

nD( X )

=

D

k =1

,

.

n

n

n 2

n

Тогда по второму неравенству Чебышева P(

Y - m

³ ε ) £

D(Y )

=

D

.

ε 2

nε 2

Если выбрать N = E(

D

) , ( E( ) -

целая часть),

то при n>N

будет

D

<

D

= δ ,

nε 2

Nε

δε 2

2

следовательно, при n>N будет выполнено неравенство

P{

Y - m

³ ε}< δ , поэтому при тех же

значениях n будет P{Y - m < ε}³ 1 - δ .

27

n

∑ X k

		k =1	P
	Следовательно,		¾¾® m . Теорема Чебышева доказана.
		n
			n→∞
			Обобщенная теорема Чебышева.

Пусть X1, Xn – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1,…m n и дисперсиями D1…, D n. Пусть дисперсии ограничены в совокупности (Dk < L, k- 1,2…n). Тогда среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

∑ X k

∑ mk

k

¾¾®

k

P

n

n

n

n

∑ X k

∑ mk

Доказательство.

Рассмотрим, как в предыдущей теореме Y =

k =1

.

M (Y ) =

k =1

,

n

n

n

D ∑ X k

(

))2

M (

))2 £

D(Y ) =

k =1

=

1

M

X

- M (

∑

X

=

1

(X

- M ( X

2

k

k

2

k

k

n

n

2

∑

n

∑

1

M (

(X

- M ( X

))2 )+

2

∑

( X

- M ( X

))( X

- M ( X

))) =

2

k

k

2

p

p

k

k

n

∑

n

p<k

(случайные величины независимы, следовательно, и не коррелированны)

1

∑

M (X

- M (X

))2

=

1

∑

D

£

Ln

=

L

¾¾¾®0 . Отсюда по второму неравенству

2

k

k

2

k

2

n

n

n

n

n→∞

Чебышева следует утверждение теоремы (доказательство сходимости по вероятности проводится как в предыдущей теореме).

Теорема Маркова.

Пусть X1, Xn – зависимые случайные величины с математическими ожиданиями

	n
	D ∑ X k
m1,…m n и дисперсиями D1…, D n. Пусть	k =1		¾¾¾®0 . Тогда среднее арифметическое
	n2
			n→∞

наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Доказательство сходимости по вероятности проводится как в теореме Чебышева.

Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа опытов – независимых испытаний частота события сходится по вероятности к вероятности события.

Доказательство проводится аналогично теореме Чебышева.

Предельные теоремы.

Центральная предельная теорема – это любая теорема, ставящая условия, при которых функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.

28

Центральная предельная теорема подтверждает следующее: если исход случайного эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с параметрами m, D. , подобранными соответствующим образом.

Теорема Ляпунова.

Пусть Xk – независимые случайные величины, имеющие математические ожидания

M(Xk) = mk и дисперсии D(Xk) = Dk. Обозначим I =

	n							2+δ
	∑ M			X k	- mk
такое δ > 0 , что	k =1								¾¾¾®0 , то при
						2+δ			n→∞
				n
		∑ Dk
		k =1

равномерно по x.

n
∑( X k - mk )
k =1			. Если можно подобрать
	n
	∑ Dk
	k =1
					1	x		−	1	t 2
n → ∞ F (x) ® F(x) =
							e 2 dt
		I			2π −∞∫

Теорема Леви – Линдеберга.

Пусть Xk –

независимые одинаково распределенные случайные величины,

имеющие

n

математические ожидания M(Xk) = m и дисперсии D(Xk) = σ 2 . Обозначим I =

∑(X k - m)

k =1

.

σ n

1

x

−

1

t 2

Тогда при n → ∞ F (x) ® F(x) =

e 2 dt равномерно по x.

I

2π −∞∫

Замечание.

В теореме Леви –

Линдеберга (ее чаще всего и называют центральной

n

2+δ

∑ M

X k - mk

n

предельной

теоремой)

∑ Dk

=

nσ 2 = σ

n

,

условие

k =1

¾¾¾®0

k =1

2+δ

n→∞

n

∑ Dk

k =1

выполнено,

оно

превращается

в

1

¾¾¾®0

(проверьте

сами)

из-за

требования

δ

n→∞

n 2

«одинаковости распределений», т.е. равенства вкладов случайных величин в случайную величину I .

Если рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Леви – Линдеберга следует интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p может появиться событие А. Обозначим X k - число появлений события в k – ом испытании

n

( M (X k ) = p, D(X k ) = pq ). Обозначим X = ∑ X k - общее число появлений события в n

k =1

29

испытаниях ( M ( X ) = np, D( X ) = npq ). Обозначим I = X − np . Тогда при n → ∞ npq

F (x) → Φ(x) =		1		x −	1	t 2
				e 2 dt равномерно по x.
I		2π −∞∫

Отсюда следует практическое правило вычисления

n

∑ X k

k =1

n

− np

∑ X k

P a <

k =1

< b

≈ Φ(b) − Φ(a) = Φ 0 (b) − Φ 0 (a) , где a, b,

npq

1

x

−

1

t 2

k1

− np

k2

− np

Φ0

(x) =

∫0

e 2

dt .

Так

как a, b, то

заменим a

на

, b на

,

2π

npq

npq

= m. Получим

формулу для

вероятности

нахождения

числа

успехов в

заданном

интервале:

	n
P k1	< ∑ X k
	k =1

		k		1	− np
< k	2	= P
					npq

m − np

k

2

− np

k

2

− np

k − np

<

<

≈ Φ

- Φ

1

.

npq

npq

0

npq

0

npq

Заменим a на a

n

,

b на b

n

.

pq

pq

m − np

n

n

n

n

Тогда P a

<

< b

≈ Φ

0

b

− Φ

0

a

.

pq

npq

pq

pq

pq

m − np

m − np

m

n

n

pq

Но P a

<

< b

= P a <

< b

=

P a <

− p

< b .

pq

npq

pq

npq

n

n

Поэтому справедлива формула для вычисления отклонения частоты от вероятности

m

n

n

P a <

− p

< b

≈ Φ

b

− Φ

0

a

,

n

0

pq

pq

Если интервал симметричный, т.е. a = −ε , b = ε , то по нечетности функции Лапласа

получим

m

n

P

− p

<

ε

≈ 2Φ

0

ε

.

n

pq

Пример. Вероятность появления события p = 0,8. Сделано n = 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 75 и не более 90 раз.

														75 − 100 0,8
P(75 < X < 90) = Φ							90 − 100 0,8					− Φ								= Φ				(2,5) − Φ				(−1,25)
					0			100 0,8 0,2					0	100 0,8 0,2									0				0
= 0,4938 + 0,3944 = 0,9882
Пример. Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб 2048 раз. Найти вероятность
отклонения частоты появления герба от вероятности.
	m			2048				1												4040
		− p	=			−					≈ 0,007 = ε P		≈	2Φ		0	0,007							= 2Φ	0	(0,89) = 0,626
	n			4040				2												0,25
																	30