Методы анализа предметных областей / справочные материалы / Математические методы (Элементы нечеткой логики)

Элементы нечеткой логики

При анализе структуры и поведения сложных систем, как правило, присутствуют различные факторы неопределенности, которые могут быть учтены и адекватно представлены в процессе построения информационно-логических моделей в рамках нового направления системного моделирования – нечеткого моделирования.

Нечеткое моделирование ориентировано на построение моделей, учитывающих неполноту и неточность исходных данных, неопределенность в представлении структуры или поведения системы-оригинала. Как, например, определить состав элементов системы, если для их описания использовать дихотомические признаки «высокий-низкий», «быстрый-медленный», «большой-маленький»? Подобная неопределенность часто затрудняет или даже исключает применение точных количественных методов и подходов.

Диапазон применения нечетких методов с каждым годом расширяется, охватывая такие области, как проектирование промышленных роботов и бытовых электроприборов, управление доменными печами и движением поездов метро, автоматическое распознавание речи и изображений. Методы построения нечетких моделей основаны на теории нечетких множеств и нечеткой логике. Нечеткая логика более естественно описывает характер человеческого мышления и ход его рассуждений, чем традиционные формально-логические методы. Теория нечетких множеств позволяет описывать качественные, неточные понятия и наши знания об окружающем мире, а также оперировать этими знаниями с целью получения новой информации.

Первой публикацией по теории нечетких множеств принято считать работу профессора из Университета Беркли (шт. Калифорния, США) Лофти Заде, которая относится к 1965 году. Л. Заде отмечал, что одной из предпосылок возникновения идеи нечетких множеств является принцип несовместимости. С увеличением размеров и сложности системы существенно усложняется ее моделирование с помощью известных математических выражений. Другими словами, при использовании формул существенно возрастает число переменных и параметров, измерение отдельных переменных и определение параметров сильно затрудняется, и создание полностью адекватной модели становится практически невозможным.

За сравнительно короткий срок после этого были предложены нечеткие обобщения всех основных теоретико-множественных и формально-логических понятий. Однако, несмотря на большое количество теоретических работ, прикладное значение нечетких моделей долгое время ставилось под сомнение.

Первые реализации нечетких моделей в промышленности относятся к середине 1970-х гг. Именно в этот период в Великобритании Эбрахим Мамдани использовал нечеткую логику для управления парогенератором. Решение этой задачи обычными методами было сопряжено с целым рядом трудностей вычислительного характера. Предложенный Э. Мамдани алгоритм, основанный на нечетком логическом выводе, позволил избежать чрезмерно большого объема вычислений. В этот же период нечеткие модели были применены при управлении печью для обжига цемента.

В начале 1980 гг. нечеткая логика и теория нечетких множеств получили свое дальнейшее развитие в целом ряде программных средств поддержки принятия решений и в экспертных системах анализа данных.

После первых промышленных приложений в Европе Япония за короткий период времени вышла на первое место в мире по количеству устройств и механизмов, в которых были реализованы нечеткие технологии. Появление микропроцессоров и микроконтроллеров инициировало резкое увеличение бытовых приборов и промышленных установок с алгоритмами управления на основе нечеткой логики. В настоящее время в Японии запатентовано более 3000 соответствующих устройств в этой области. Слово «фаззи» (fuzzy) стало символом популярности и коммерческого успеха новых промышленных изделий в этой стране.

Фотоаппараты и видеокамеры используют нечеткую логику, чтобы реализовать опыт фотографа в управлении этими устройствами. Например, компании Fisher и Sanyo производят нечеткие логические видеокамеры, в которых применяется нечеткая фокусировка и стабилизация изображения.

Компания Matsushita выпускает стиральную машину, в которой используются датчики и микропроцессоры с нечеткими алгоритмами управления. Датчики определяют цвет и вид одежды, степень загрязнения, а нечеткий микропроцессор выбирает наиболее подходящую программу стирки из 600 доступных комбинаций температуры воды, количества стирального порошка и времени стирки.

Компания Mitsubishi выпустила первый в мире автомобиль, где управление каждой системой основано на нечеткой логике. Эта же компания производит «нечеткий» кондиционер, который управляет изменением температуры и влажности в помещении согласно человеческому восприятию степени комфорта. Компания Nissan разработала «нечеткую» автоматическую трансмиссию и «нечеткую» противоскользящую тормозную систему и реализовала их в одном из своих автомобилей повышенной комфортности.

Японский город Сендай имеет метрополитен с 16 станциями, который управляется нечетким компьютером. При этом нечеткий компьютер регулирует процессы ускорения и торможения поездов метро, делая на 70 % меньше ошибок, чем соответствующий человек-оператор.

Особо следует отметить разработку в Японии нечетких компьютеров и нечеткого программного обеспечения.

На фондовом рынке Токио используется несколько трейдерных систем, основанных на нечеткой логике, которые превосходят по скоростным и динамическим характеристикам традиционные информационные системы. В Японии имеются также «нечеткие» системы управления уличным движением, «нечеткие» тостеры, «нечеткие» рисовые печи, «нечеткие» пылесосы и многие другие бытовые технические устройства.

Только в начале 1990-х гг. ведущие европейские корпорации поняли, что они практически уступили Японии одну из ключевых современных технологий. С этого времени были предприняты серьезные усилия наверстать упущенные возможности в этой области. Именно в это время в Европе появилось более 200 видов промышленных изделий и устройств, в которых были реализованы нечеткие модели. Это были, главным образом, бытовые приборы, которые характеризовались более эффективной экономией электроэнергии и водопотребления без дополнительного увеличения цены изделия. Другие промышленные приложения относились к автоматизации производства, включая управление химическими и биологическими процессами, управление станками и сборочными конвейерами, а также различные интеллектуальные датчики. Нечеткая логика оказалась превосходным инструментом для разработки систем управления внутренними компонентами персональных компьютеров, а также алгоритмов компрессии речи и видео. Так, например, в системной плате MSI K7T Pro 266 Master-R используется система интеллектуального разгона микропроцессора Fuzzy Logic^TM3, которая автоматически выбирает частоту системной шины и процессора в зависимости от температуры и рабочей нагрузки базовых компонентов персонального компьютера.

Известны приложения из области теле- и радиосвязи, направленные на устранение влияния отраженных ТВ-сигналов и радиосигналов. Предложены и реализованы программные алгоритмы для сетевой маршрутизации и распознавания речи на основе нечеткой логики.

Национальное управление по аэронавтике и космонавтике (НАСА) предполагает использовать нечеткие модели для решения специальных задач в космосе. В настоящее время в США развернуты серьезные исследования по нейро-сетевым технологиям. Комбинация нейронных сетей и нечеткой логики будет следующим серьезным шагом в дальнейшем прогрессе высоких технологий.

Таким образом, область приложений теории нечетких множеств и нечеткой логики с каждым годом продолжает неуклонно расширяться. Прежде, чем изложить методы нечеткого моделирования, рассмотрим основные понятия теории нечетких множеств и нечеткой логики.

Отметим, что хотя теория нечетких множеств имеет дело с нечеткими объектами, методы их обработки основаны на строгой теории. В математическом смысле теория нечетких множеств является строго формализованной. К настоящему времени предложены самые разнообразные определения теоретико-множественных и формально-логических понятий: нечеткой меры, нечеткого интеграла, нечеткой кластеризации, нечеткой регрессии и т. п.

Для формализации нечетких понятий в теории нечетких множеств вводят нечеткое множество, лингвистическую переменную, нечеткое высказывание, нечеткое отношение.

Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать – принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Формально нечеткое множество А определяется как множество упорядоченных пар или кортежей вида (x, μ_A(х)), где х является элементом некоторого универсального множества или универсума Х, а μ_A(х) – функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементов х Х некоторое действительное число из интервала [0,1], т. е. данная функция определяется в форме отображения:

μ_A : Х →[0,1].

При этом значение μ_A(х)=1 для некоторого х Х означает, что элемент х определенно принадлежит нечеткому множеству А, а значение μ_A(х)=0 означает, что элемент х определенно не принадлежит нечеткому множеству А. Формально конечное нечеткое множество записывается в виде:

А={(x₁, μ_A(х₁)), (x₂, μ_A(х₂)),…, (x_n, μ_A(х_n))}, или

А={x₁/μ_A(х₁)+x₂ /μ_A(х₂)+…+x_n /μ_A(х_n)}, или

А={x₁/μ_A(х₁), x₂ /μ_A(х₂),…,x_n /μ_A(х_n)}, или

А={μ_A(х₁)/x₁+μ_A(х₂)/x₂+…+μ_A(х_n)/x_n}.

При этом косая черта служит просто разделителем, а знак «+» обозначает не арифметическую сумму, а теоретико-множественное объединение отдельных элементов.

Подмножество SХ, S={х Х│‌‌μ_A(х)>0}, содержащее элементы с ‌‌μ_A(х)>0, называется носителем нечеткого множества.

Пример. Нечеткое понятие «небольшой запас деталей на складе» характеризуется носителем S={10, 11,…,40}, на котором определено нечеткое множество

А= {10/0,05+11/0,1+…+20/1,0+…+33/1,0+34/0,9+…+40/0,1}.

Здесь понятию «небольшой запас» соответствует объем деталей от 10 до 40, причем полное соответствие соблюдается для объема от 20 до 33 деталей. Остальные объемы соответствуют понятию «небольшой запас» в меньшей степени.

Рассмотрим операции над нечеткими множествами.

1. Объединением нечетких множеств A и B называется нечеткое множество С= A B с функцией принадлежности μ_С(х)=max(μ_A(х), μ_B(х))= μ_A(х) μ_B(х), хХ.

2. Операцию объединения нечетких множеств иногда называют max-объединением или -объединением. Последнее обозначение связано с определением логической операции «ИЛИ» (неисключающего ИЛИ), которая в математической логике обозначается знаком «».

3. Пересечением нечетких множеств называется нечеткое множество С= A B с функцией принадлежности μ_С(х)=min(μ_A(х), μ_B(х))= μ_A(х) μ_B(х), хХ. Операцию пересечения нечетких множеств иногда называют min-пересечением или -пересечением. Последнее обозначение связано с определением логической операции «И», которая в математической логике обозначается знаком «».

4. Дополнение нечеткого множества A определяется как нечеткое множество c функцией принадлежности μ (х)=1−μ_A(х), хХ.

5. Нечеткие множества равны, если равны их функции принадлежности μ_A(х)=μ_B(х), хХ.

6. Нечеткое множество A является подмножеством нечеткого множества B (A B – операция включения), если μ_A(х) ≤ μ_B(х), хХ.

Лингвистической переменной называется переменная, заданная на количественной (базовой) шкале некоторого признака – фактора, значениями которой являются слова и словосочетания естественного языка. Значения лингвистической переменной называются лингвистическими значениями (термами). Например, лингвистической переменной может быть понятие «интенсивность цвета». Эта переменная определена на шкале целых чисел от 0 до 100 и может иметь следующие лингвистические значения: «темный», «яркий», «светлый» и т. п.

Каждому значению лингвистической переменной на соответствующей базовой шкале сопоставляется нечеткое множество с некоторой функцией принадлежности, часто называемой функцией принадлежности соответствующего значения лингвистической переменной.

Нечетким высказыванием называется предложение, степень истинности или ложности которого принимает значения из интервала [0,1]. Пример нечеткого высказывания: «три – маленькое число». Степень истинности этого высказывания может быть оценена числом 0,8.

Нечеткой логической формулой называется выражение, полученное из нечетких высказываний путем применения к ним конечного числа логических операций.

Бинарное нечеткое отношение R представляет собой подмножество декартова произведения ХХ, в котором каждая пара х_iRx_j, где х_i,x_j Х, охарактеризована численно функцией принадлежности μ_R(х_i,x_j). Примерами нечетких отношений являются «примерно равен», «значительно больше», «предпочтительнее» и т. д.

Пример. Пусть Х - множество пунктов перевозки грузов. Нечеткое отношение предпочтения ЛПР между маршрутами может иметь вид:

R={( х₁,x₁)/1,0; ( х₁,x₂)/0,5; ( х₁,x₃)/0,6; ( х₂,x₁)/0,9; ( х₂,x₂)/1,0; ( х₂,x₃)/0,3;

( х₃,x₁)/0,8; ( х₃,x₂)/0,4; ( х₃,x₃)/1,0}.

Нечеткое отношение может быть представлено в виде графа или в матричной форме.

В общем случае нечетким k-арным отношением, заданным на множествах (универсумах) Х₁, Х₂, …, Х_k, называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов.

Значения функций принадлежности выбираются, как правило, субъективно и могут меняться в зависимости от смысла задачи, принимая различные значения из интервала [0,1]. Однако на практике удобно использовать те из них, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Необходимость типизации отдельных функций принадлежности также обусловлена наличием реализаций соответствующих функций в программном обеспечении нечеткого моделирования. Наиболее характерным примером таких функций являются «треугольная» (рис. П.1, а), «трапециевидная» (рис. П.1, б), S-образная (рис. П.1, в) и П-образная (рис. П.1, г).

а)	б)
в)	г)

Рис. П.1 Графики функций принадлежности

При построении функции принадлежности следует учитывать то обстоятельство, что теория нечетких множеств не требует абсолютно точного задания функций принадлежности. Зачастую бывает достаточно зафиксировать лишь наиболее характерные значения и вид (тип) функции принадлежности. Процесс построения или задания нечеткого множества на основе некоторого известного заранее количественного значения измеримого признака получил название фаззификация или приведение к нечеткости.

Пример. Построение функции принадлежности на основе экспертных оценок.

Пусть на шкале Х=(1,2,3,4,5) классов точности некоторого изделия определена лингвистическая переменная «Класс точности» со своими значениями «высокий», «средний», «низкий». Предположим, что пять экспертов оценивают лингвистическое значение «высокий». Допустим, все пять из них отнесли первый класс к значению «высокий». Четыре эксперта отнесли второй класс к значению «высокий». Лишь один эксперт оценил третий класс как «высокий», и ни один из экспертов не отнес четвертый и пятый классы к значению «высокий». Тогда в соответствии с описанной процедурой находим следующие значения функции принадлежности для лингвистического значения «высокий»:

μ (1)=1; μ (1)=4/5=0,8; μ (1)=1/5=0,2; μ (1)=0; μ (1)=0.

Пример. Нечеткая классификационная модель.

Известно, что высокие и низкие люди имеют собственные представления о том, каких людей следует считать высокими. Таким образом, понятия «низкий», «средний» и «высокий» рост являются нечеткими.

Для лингвистической переменной РОСТ построим функции принадлежности, соответствующие ее значениям «низкий», «средний», «высокий» - μ₁(h), μ₂(h), μ₃(h) (рис. П.2). Исходя из предложенного представления градаций роста, требуется определить, к какому классу относится рост 175 см?

По графикам определим:

μ₁(175)=0 – степень принадлежности h=175 см значению «низкий» рост;

μ₂(175)=0,3– степень принадлежности h=175 см значению «средний» рост;

μ₃(175)=0,7– степень принадлежности h=175 см значению «высокий» рост.

По максимальному значению функции принадлежности определяем, что человек ростом 175 см является высоким.

Р ис. П.2 Функции принадлежности значений лингвистической переменной H

Пример. Определение уровня подготовленности аудитории к восприятию информации на основе нечеткого профиля обобщенной оценки.

Среди различных способов анализа первичной информации, применяемых в социологических исследованиях, значительное место занимает изучение разного рода текстовых материалов – данных интервью, документов и т. д. В том случае, когда материалы представляют собой массовую информацию, их подвергают качественно-количественному анализу.

Одним из способов качественно-количественного изучения текстового материала является анализ «понятийного словаря». «Понятийный словарь» выявляет степень готовности аудитории к восприятию информации, дает представление об ориентации в тех или иных проблемах, определяет основную тенденцию аудитории в овладении некоторым кругом понятий.

Однако, «понятийный словарь» не является средством точной оценки знаний аудитории о проблемной области. При использовании метода «понятийный словарь» сравнительная легкость опроса аудитории сочетается с большими трудностями при последующей обработке. Эти трудности связаны, прежде всего, с отсутствием некоего идеального «образца» правильного ответа.

Поскольку все ответы по существу только приближаются к правильному осмыслению понятия, их невозможно разбить на две группы – правильные и неправильные. Строго говоря, все ответы только отчасти верны. Снизить субъективность оценки уровня подготовленности аудитории к восприятию информации позволяет подход, основанный на использовании аппарата нечеткой логики.

Уровень подготовленности аудитории может характеризоваться обобщенными оценками:

• неготовность;

• плохая подготовленность;

• средняя подготовленность;

• хорошая подготовленность.

Введем профиль обобщенной оценки – нечеткое подмножество оценок по шкале, на основе которых может быть охарактеризовано определение понятия, данное испытуемым.

Заметим, что при этом может проверяться (оцениваться) как «активное знание», то есть испытуемый сам дает определение понятий, так и «пассивное знание», то есть испытуемый из совокупности определений понятия выбирает верное с его точки зрения.

В нашем случае в качестве шкалы оценок для формирования профиля обобщенной оценки может быть выбрана, например, такая:

S₁ - отсутствие ответа;

S₂ - тавтология;

S₃ - порочный круг;

S₄ - афоризм;

S₅ - подмена понятий;

S₆ - определение через примеры;

S₇ - определение через перечисление объектов;

S₈ - выделение некоторых существенных свойств;

S₉ - выделение только существенных свойств;

S₁₀ - наиболее полный и четкий ответ.

Тогда нечеткий профиль обобщенной оценки представляет собой вектор размерности 10, элементами которого являются степени принадлежности оценок S_i обобщенной оценке.

Так, профиль обобщенной оценки «неготовность» можно представить в виде:

P¹ = (1, 1, 1, 1, 1, 0.75, 0.50, 0.25, 0, 0);

обобщенной оценки «плохая подготовленность» -

Р² = (0, 0.25, 0.50, 0.75, 1, 1, 1, 0.66, 0.33, 0);

обобщенной оценки «средняя подготовленность» -

Р³ = (0, 0.16, 0.33, 0.5, 0.66, 0.84, 1, 1, 1, 0);

обобщенной оценки «хорошая подготовленность» -

Р⁴ = (0, 0, 0, 0, 0, 0.25, 0.50, 0.75, 1, 1).

Определение понятия, данное испытуемым, также можно представить в виде нечеткого множества. Так ответ, четко трактуемый как афоризм, можно представить в виде вектора (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0).

Гораздо больший интерес представляют нечетко трактуемые ответы, например, такой: «Искусство – это литература, музыка, живопись и т. д.».

В этом случае невозможно однозначно оценить ответ по принятой нами 10 – балльной шкале: это и определение через примеры, и через перечисление объектов. Для ответа также характерна неполнота выделения существенных свойств. Таким образом, данный ответ можно представить в виде вектора Х = (0, 0, 0, 0, 0, 0.75, 1, 0.25, 0, 0).

Рассчитаем коэффициенты невязки полученного ответа с профилями понятий «неготовность», «плохая подготовленность» и т. д. по формуле:

К^j =  (S_i - x_i)² ,

где x_i - компоненты вектора Х; i = 1,…, 10; j = 1,…,4.

По минимальному значению коэффициента невязки ответ можно связать с одним из уровней подготовки.

Рассчитаем коэффициенты невязки:

К¹ = 5.25;

К² = 2.21;

К³ = 2.39;

К⁴ = 2.75.

Таким образом, данный ответ можно отнести к группе ответов с оценкой «плохая подготовленность».