2.6. Интерпретация уравнения регрессии

Проанализируем, какую информацию дает нам оцененное уравнение регрессии (2.6), т.е. поставим вопрос об интерпретации (содержательном объяснении) коэффициентов уравнения.

Во-первых, можно сказать, что увеличение X на одну единицу (в единицах измерения переменной X) приведет к увеличению/уменьшению (в зависимости от знака коэффициента ) значенияY на единиц (в единицах измерения переменнойY).

Во-вторых, необходимо проверить, в каких единицах измерены переменные X и Y и можно ли заменить слово "единица" фактическим количеством (рубли, тонны и т.п.).

В-третьих, константа дает прогнозируемое значениеY, если положить X=0. Это может иметь или не иметь экономического смысла в зависимости от конкретной ситуации.

Часто рассчитывают средний коэффициент эластичности , который показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результатY от своей средней величины при изменении фактора X на 1% от своего среднего значения.

Пример. Продолжая рассмотрение примера п. 2.1, проинтерпретируем уравнение регрессии между индивидуальным потреблением и личными доходами в США: =-2,91+0,9276X.

Поскольку обе переменные измерены в $, то интерпретация облегчается.

Смысл коэффициента : при увеличении личных доходов граждан США на 1$ расходы на индивидуальное потребление возрастут на 0,9$. Другими словами, из каждого дополнительного доллара дохода 90 центов будут израсходованы на потребление.

Константа в данном случае не имеет никакого смысла применительно к совокупности, поскольку мы не можем сказать, что при нулевых доходах потребление граждан США составит -2,91 млрд. долларов.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности:

=0,9276350/351,75=0,923.

Т.е. при изменении личных доходов на 1% от своего среднего значения в среднем по совокупности индивидуальное потребление изменится на 0,923% от своей средней величины. 

При интерпретации уравнения регрессии важно помнить о следующих фактах:

• величины иявляются только оценкамии, а следовательно, и вся интерпретация представляет собой тоже оценку;

• уравнение регрессии отражает общую тенденцию для выборки, а каждое отдельное наблюдение при этом подвержено воздействию случайностей;

• верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения, то есть включения/исключения соответствующих объясняющих переменных и выбора вида функции регрессии.

3. Классическая линейная модель множественной регрессии

Рассмотрим обобщение линейной регрессионной модели для случая более двух переменных.

Всякий раз, когда изучаемый процесс или явление является результатом совместного действия нескольких факторов, у исследователя возникает потребность в оценке влияния каждого фактора в отдельности. Один из стандартных методов³, позволяющий успешно решить эту задачу, суть множественная регрессия.

3.1. Предположения модели

Пусть мы располагаем выборочными наблюдениями над k переменными Y_i и ,j=1,..., k, i=1,2,…,n, где n – количество наблюдений:

1	2	…	i	…	n
Y1,	Y2,	…	Yi,	…	Yn
X11,	X12,	…	X1i,	…	X1n
…	…	…	…	…	…
Xk1,	Xk2,	…	Xki,	…	Xkn

Предположим, что существует линейное соотношение между результирующей переменной Y иkобъясняющими переменнымиX₁,X₃, ...,X_k. Тогда с учетом случайной ошибкиu_iзапишем уравнение:

(3.1)

В (3.1) неизвестны коэффициенты ,j=0,2,…,k и параметры распределенияu_i. Задача состоит в оценивании этих неизвестных величин. Модель (3.1) называетсяклассической линейной моделью множественной регрессии(КЛММР). Заметим, что часто имеют в виду, что переменнаяX₀при₀равна единице для всех наблюденийi=1,2,…,n.

Относительно переменных модели в уравнении (3.1) примем следующие основные гипотезы:

E(u_i)=0; (3.2)

(3.3)

X₁, X₃, ..., X_k – неслучайные переменные; (3.4)

Не должно существовать строгой линейной

зависимости между переменными X₁, X₃, ..., X_k. (3.5)

Первая гипотеза (3.2) означает, что переменные u_iимеют нулевую среднюю.

Суть гипотезы (3.3) в том, что все случайные ошибки u_iимеют постоянную дисперсию, то есть выполняется условиегомоскедастичностидисперсии (см. подробнее раздел 4).

Согласно (3.4) в повторяющихся выборочных наблюдениях источником возмущений Yявляются случайные колебанияu_i, а значит, свойства оценок и критериев обусловлены объясняющими переменнымиX₁,X₃, ...,X_k.

Последняя гипотеза (3.5) означает, в частности, что не существует линейной зависимостимежду объясняющими переменными, включая переменнуюX₀, которая всегда равна 1.

Понятно, что условия (3.2)-(3.4) соответствуют своим аналогам для случая двух переменных в п.2.2.