- •Предисловие
- •Общие методические указания
- •Литература
- •Рабочая программа
- •Введение
- •Физические основы механики
- •Основы молекулярной физики и термодинамики.
- •Электростатика
- •Постоянный электрический ток
- •Электромагнетизм
- •Колебания и волны
- •Волновая оптика
- •Квантовая природа излучения
- •Элементы атомной физики и квантовой механики
- •Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц
- •Элементы физики твердого тела
- •Сведения о приближенных вычислениях
- •Примерная схема решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам для самостоятельного решения
- •Учебные материалы по разделам курса физики
- •1.Физические основы механики пояснения к рабочей программе
- •Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Контрольная работа № 1
- •II. Основы молекулярной физики и термодинамики пояснения к рабочей программе
- •Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •III. Электростатика. Постоянный ток пояснения к рабочей программе
- •Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Контрольная работа №.3 (2)
- •IV. Электромагнетизм. Колебания и волны
- •V. Волновая оптика. Квантовая природа излучения
- •VI. Элементы атомной и ядерной физики и физики
Основные законы и формулы
Скорость мгновенная
υ= или υ=
Ускорение:
мгновенное
a= =
тангенциальное
aτ= =
нормальное
an=
полное
a=
Скорость угловая
То же, для равномерного вращательного движения
ω =const; ω =φ/t; 2π/T=2πυ
Ускорение угловое
Уравнения равнопеременного вращательного движения
/2
Связь между линейными и угловыми величинами,
характеризующими движение точки по окружности
s=φr; υ=ωr; aτ=εr
an=ω2r
Второй закон Ньютона для поступательного движения
Сила, действующая на тело массы m (m=const)
Количество движения материальной точки массы т,
движущейся со скоростью v
p=mv
Сила, действующая на тело,
движущееся по окружности радиуса r
Закон сохранения количества движения
для изолированной системы
Сила трения (скольжения)
Fтр=fFn (здесь Fn-сила нормального давления)
Скорости шаров массами m1 и m2
после абсолютно упругого центрального удара
Скорость шаров массами m1 m2
после абсолютного неупругого удара
Работа переменной силы на пути s
Мощность
;
Сила упругости
А= -kx
Сила гравитационного взаимодействия
F=Gm1m2/r2
Потенциальная энергия:
упругодеформированного тела (работа упругой силы)
П=A=kx2/2
гравитационного взаимодействия тела,
находящегося в однородном поле тяжести
П=-Gm1m2/r
П=mgh
(g-ускорение свободного падения)
Кинетическая энергия тела
;
Закон сохранения механической энергии
E=T+П=const
Напряженность гравитационного поля Земли
Потенциал гравитационного поля Земли
Момент инерции материальной точки
J=mr2
Моменты инерции некоторых тел массой т:
полого и сплошного цилиндров (или диска)
радиуса R относительно оси вращения,
совпадающей с осью цилиндра
Jп.ц=mR2; Jспл=mR2/2
шара радиуса R относительно оси вращения,
проходящей через центр масс шара
J0=0,4mR2
тонкого стержня длиной l,
если ось вращения перпендикулярна стержня
и проходит через центр масс стержня
то же, но ось вращения проходит через
один из концов стержня
тела относительно
произвольной оси (теорема Штейнера)
Момент силы относительно оси вращения
M=Fr
Основное уравнение динамики вращательного движения
То же, при J = const
Закон сохранения момента количества
движения для изолированной системы
Кинетическая энергия вращающегося тела
/2
Работа при вращательном движении
Энергия покоя частицы
Теорема сложения скоростей в теории относительности
Зависимость массы частицы от скорости V,
сравнимой со скоростью света
Полная энергия частицы, движущейся со скоростью υ,
сравнимой со скоростью света
Кинетическая энергия релятивистской частицы
Зависимость длины тела и
времени от скорости в реляти-
вистской механике
Примеры решения задач
1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6t3 + 3t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.
Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:
;
Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:
; a=36t.
Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma, где а согласно условию задачи - ускорение в конце второй секунды. Тогда
F=m*36t F= 1 кг*36*2 м/с2 = 72 Н.
Ответ: v=18t2+3; а = 36t; F = 72 Н.
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с. Какой покажется наблюдателю его длина?
Дано: l0 = 1 м, v = 0,8 с.
Найти I.
Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой,(1) где l0 — длина покоящегося стержня; v — скорость его движения; с — скорость света в вакууме.
Подставляя в формулу (1) числовые значения, имеем
Ответ: l=0,6 м.
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) v=0,5 с и u= 0,75 с;
2) v =с и u=0,75 с. Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.
Дано: 1v и = 0,5 с, u = 0,75 с; 2) v = c, u=0,75 с. Найти:
Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности
где v, и — скорости соответственно первой и второй частиц; и' — их относительная скорость; с— скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:
Это значит: во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света; во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна. Ответ: =0,91 с; = с.
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг (рис. 1). Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Дано:m1=0.5кг, m2=1кг ,α=600, l=0.8м.
Найти: ∆EД
Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид (1)
Здесь v1 и v2— скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю (v2 = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α (см. рис. 1) ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: m1gh=m1v12/2
Из рисунка видно, что h1=(1-cosα)=2lsin2 (α/2) поэтому
(2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
. (3)
Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную: (4) где h — высота поднятия шаров после столкновения.
Из формулы (4) находимh=v2/(2g), или с учетом (3)
При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара: ∆ЕД=0,5м1v12-0.5(m1+m2)v2
Используя уравнения (2) и (3), получаем
∆EД=
∆EД=2*9.81 м/с2*0,8 м*0,5 кг(1-0,5кг 1,5кг)*0,25=1,3Дж.
Ответ: h=0,044 м, ∆EД = 1,3 Дж.
5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот-изделие-наковальня считать замкнутой.
Дано: m1, = 70 кг, h = 5 м, m2=1330 кг.
Найти EД
Решение. По условию задачи система молот-изделие-наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.
Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем
(1)
где v — скорость молота в конце падения с высоты h; v' — общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле (2)
Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения (3)
Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид откуда(4)
Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим
;
Ответ: EД = 325,85 Дж.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2t2 + 4t+l. Определить работу силы за 10 c, с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Дано: т= 1 кг, s=2t2+4t + 1.
Найти: A, T=f(t).
Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл
(1). Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна F=ma или F=(2). Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим
; (3)(4)
Тогда . (5) Из выражения (3) определимds: ds =(4t+4)dt
(6) Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим.
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с
с начала ее действия:
Кинетическая энергия определяется по формуле T=mv2/2. (7)
Подставляя (3) в (7), имеем
Т = m (4t + 4)2/2 = m (16t2 + 32t + 16)/2 = m (8t2 + 16t + 8).
Ответ: А = 960 Дж, T = m(8t2+16t+8).
7. Протон движется со скоростью 0,7 с (с-скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона:
Дано: v=0,7 с.
Найти: р, Т.
Решение. Количество движения протона определяется по формуле p=mv. (1) Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:
(2)
где m- масса движущегося протона; m0= 1,67*10-27 кг - масса покоя протона; v-скорость движения протона; c = 3*108 м/с — скорость света в вакууме; v/c=ß - скорость протона, выраженная в долях скорости света.
Подставляя уравнение (2) в (1) и учитывая, что, получаем
;
р= 1,67*10 кг*3*108 м/с*0,7/= 4.91*10-19 кг*м/с.
В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя E0 этой частицы: T = E-E0 (3) где E; Е0=m0c2. Вычислим энергию покоя протона
E0=1,67*10-27 кг*3*108 м/с)2 = 1,5* 10-10 Дж.
Тогда [см. (3)]
T =
T= 1,5*10-10 Дж (l/—l) =0,6*10-10 Дж.
Ответ: р = 4,91*10 -19 кг*м/с, T = 0,6*10 -10 Дж.
8.Какую скорость нужно сообщить ракете, чтобы она, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.
Дано: RЗ=6,37*106 м; g=9,8 м/с2; R→∞.
Найти v0.
Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии,
GM /RЗ — GM/R), (1)
где m – масса ракеты; М – масса Земли; G – гравитационная постоянная; v0 и v – скорости ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; R3 и R— расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты; GM/R — потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии R от ее центра.
После преобразования уравнения (1) имеем v- v 2 =2 GM (1 /R3 -1). Ракета не вернется на Землю, если ее скорость v будет в бесконечности равна нулю, т. е. v = 0 при R→∞. В этом случае v =2GM/R3. (2)
Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли GmM/R = mg, откуда GM=gR , (3) где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Подставляя формулу (2) в (3), находим
v = 2g RЗ, или v0 = .
Считая, что ракета приобретает нужную скорость v0 уже вблизи поверхности Земли, находим
v0 = 11,2*103 м/с = 11,2 км/с.
Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.
Ответ: v0 =11,2 км/с.
9. Тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до точек А и В (рис. 2), максимальную высоту, на которую поднимается тело, и дальность полета тела. Сопротивление воздуха
не учитывать.
Дано: Н=12 м, φ = 30°, v0 =12 м/с.
Найти: tА, tB, ymax, хmax.
Решение. В обозначенной на рис. 2 системе координат проекции начальной скорости будут
v0х = v0 cos φ, (1) v0y = v0 sin φ. (2)
Координаты тела с течением времени изменяются в соответствии с уравнением для равнопеременного движения:
y = Н + v0 t sin φ-gt2/2; (3) x = v0 t cos φ (4)
Время подъема тела найдем из условия, что в наивысшей точке подъема тела его скорость vy = v0 sin φ – gt =0. (2')
Тогда t под = v0 sin φ/g (5). Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъема, поэтому продолжительность полета тела от точки О1 до точки А равна
tА = 2: tпод =2v 0sin φ/g. (6)
Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (3), подставив в него время подъема из уравнения (5):
ymax =Н + vsin2 φ/ (2g). (7)
Время полета тела до точки В найдем из уравнения (3), приравняв координату у нулю (у = 0);
tB = v0 sin φ/g +. (8)
Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время движения из уравнения (8):
хmax = v0 tB cos φ (9)
Тогда [см. (6) —(9)]
tА = ;
tB =
ymax = 12 м + ;
хmax =12 м/с *2,29 с*0,867 = 23,8 м.
Ответ: tА =1,22 с, tB = 2,29 с, ymax = 13,84 м, хmax = 23,8 м
10. По условию задачи 9 найти в момент приземления тела следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорения тела, радиус кривизны траектории.
Дано:H=12 м, φ=30°, υ0= 12 м/с.
Найти: vB, β, аτ, аn, R.
Решение. Результирующая, или мгновенная, скорость в точке В (рис. 2, 3)
. Проекцию скорости в точкеВ найдем из уравнения (2') задачи (9), подставив в него время движения tB [см. (8)]:
;
;
Из рис. 3 определим угол β, образуемый вектором скорости vB с осью Ох:
=0.85;β=arcsin0.85=
Построим в точке В «треугольник ускорений». Вектор тангенциального ускорения аτ направлен вдоль вектора мгновенной скорости в данной точке, т. е. по касательной к траектории; вектор нормального ускорения аn перпендикулярен вектору мгновенной скорости vB. Из рис. 3 видно, что
аτ = 9,81 м/с2*0.85=8.3m/c2
an=12 м/с*0,867/ = 5,25 м/с2.
Радиус кривизны траектории в точке приземления определяем
из уравнения an =.Имеем ; R= 19,52м2/с2/5,25 м/с2 = 72,5 м.
Ответ: =19,5 м/с, β=57°аτ=8,3 м/с2, аn = 5,25 м/с2, R= 72,5 м.
11. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.
Дано: m = 300 г = 0,3 кг, =50 см=0,5 м, ωi = 10 с-1.
Найти ω2.
Решение. Используем закон сохранения момента количества движения =const, (1) где Ji момент инерции стержня относительно оси вращения.
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов количества движения остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем (2)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен . (3) По теореме Штейнера,
J = J0 +md2,
где J-момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J0 - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.
Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню: J2=Jo+md2, J2=.(4)
Подставим формулы (3) и (4) в (2);
откуда
= 2,5с-1.
Ответ: ω2 = 2,5 с-1.
12. Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 мин-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Дано: ω = 0, m = 4 кг, n = 720 мин-1=12 с-1; ∆t= 30 с, R = 0,4 м.
Найти: М,N.
Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения: J∆ω=M∆t, (1),
где J- момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс;
∆ω- изменение угловой скорости за промежуток времени ∆t.
По условию задачи, ∆ω=-ω0, где ω0- начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω=0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда ω0=2πn и ∆ω =2πn Момент инерции маховика J = mR2, где m- масса маховика;
R - его радиус. Тогда формула (1) примет вид mR22πn = M∆t откуда
M = 2πnmR2/∆t,
М = 2*3,14.12с-1*4кг*0,16 м2/30с = 1,61 Н*м.
Угол поворота, т. е. угловой путьφ, за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:,(2)
где -угловое ускорение. По условию задачи,. Тогда выражение(2) может быть записано так:
Так как φ = 2πN, ω0=2πn, то число полных оборотов n = n∆t/2 n = 12 с-1*30 с/2 = 180. Ответ: M= 1,61 Н·м, N= 180.