2.1 Вычисление напряжения на выходе цепи u2(t)

На вход цепи, изображенной на рис. 1 подается импульсный сигнал U₁(t), приведенный на рис. 2. Вычисляется переходная характеристика цепи, как реакция на входное воздействие в виде единичной функции 1(t). Численно она равна напряжению на выходе цепи

g(t) = U₂(t)

Рисунок 3. Анализируемая схема

В момент коммутации при t→0

B

т.к. напряжение в конденсаторе скачком не меняется.

Рисунок 4. Анализируемая схема в момент коммутации

В принужденном режиме при t→∞

Рисунок 5. Анализируемая схема в принужденном режиме

B

Переходная характеристика цепи

(1)

Запишем операторное сопротивление и приравняем 0

Весь отрезок времени 0≤t<∞ разбивается на три интервала. Границы интервалов приходятся на моменты времени t₀ = 0, t₁ = 2 мс, t₂ = 4 мс

Значения функции входного сигнала U₁(t) и его производной на каждом из интервалов

1. интервал 0≤t<t₁:

В момент t = 0 входной сигнал изменяется скачком от 0 до 10, следовательно,

U₁(0) = 10, В

U₁(t) = 10, В

U^’₁(t) = 0, В/С.

2) интервал t₁≤t<t₂:

U₁(t) = 0 В, а в пределах самого интервала U₁(t) = 20-2500t, В; U^’₁(t) = -2500, В/С.

3) интервал t₂≤t

U₁(t) = 0 В, и в пределах самого интервала сигнал отсутствует U₁(t) = 0, U^’₁(t) = 0.

Реакция пассивной цепи на заданное воздействие определяется при помощи интеграла Дюамеля

Интеграл Дюамеля

1)0<t<2

(3)

(4)

2) интервал 2≤t<4:

(5)

3) интервал 4≤t:

(6)

С помощью программы DML вычисляются значения U₂(t).

Результаты расчета приведены в табл. 1 и по ним построен график U₂(t) на рис. 6

Таблица 1. Значения U₂(t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля

t, мс	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5
U, В	0	0,929	1,427	1,693	1,836	1,912	1,953	1,975	1,987	1,964	1,898
t, мс	2,75	3	3,25	3,5	3,75	4	5	6
U, В	1,809	1,706	1,597	1,484	1,369	1,252	0,103	0,008

Рисунок 6. График зависимости выходного сигнала от времени

Для проверки правильности нахождения интеграла Дюамеля подставляем t в формулы полученные выше и сверяем с результатами, полученными компьютерным путем:

(на первом отрезке)

(на первом отрезке)

(на втором отрезке)

( на третьем отрезке)

Результаты практически сходятся. Это позволяет сделать вывод о правильности расчетов.

2.2 Вычисление спектра сигнала на входе и на выходе цепи

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция U₁(t) представляется в виде суммы «четырех» простейших функций:

Рисунок 7. Представление входного сигнала U1(t) в виде суммы четырех функций времени

(t>0мс)

(t<0мс) изображение (7)

мс t>2

мс t<2 изображение (8)

мс t>2

мс t<2 изображение (9)

мс t>4

мс t<4 изображение (10)

Изображение входного сигнала записывается как сумма изображений «простейших» функции.

(11)

Заменяя в последнем выражении p на jω, получаем спектральную плотность входного сигнала

(12)

Обозначим действительную часть как A, а мнимую как В. Тогда получим амплитудная характеристика спектральной плотности входного сигнала

(13)

Фазовая характеристика его

(14)

Передаточная функция по напряжению цепи, изображенной на рис. 1

(15)

где -общий ток

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) этой цепи

Фазо-частотная характеристика ФЧХ

Амплитудная характеристика спектральной плотности сигнала на выходе цепи записывается в виде

(16)

Вычисление моделей и аргументов спектральных плотностей на входе и выходе цепи, а также АЧХ и ФЧХ ее производится с помощью программы «FREAN».

Результаты расчетов приведены в таблице 2, а графики функций, построенные по этим данным – на рисунках

Таблица 2. Результаты расчеов

F,кГц	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
U1(w),мВс	35	27,32	10,73	3,81	5,5	1,59	3,91	2,46	1,73	2,5	0,8
Ф1(w),˚	0	64,5	121,2	63	97,5	90,4	75,4	120	61,3	99,8	90,7
H(w)	0,2	0,194	0,1787	0,1597	0,141	0,1246	0,111	0,0989	0,0891	0,0809	0,074
Фн(w), ˚	0	-14,1	-26,67	-37	-45,1	-51,47	-56,44	-60,37	-63,54	-66,14	-68,29
U2(w),мВс	7,00	5,30	1,92	0,61	0,78	0,20	0,43	0,24	0,15	0,20	0,06
Ф2(w), ˚	0	50,4	94,5	26,0	52,4	38,9	19,0	59,6	-2,2	33,7	22,4

F,кГц	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
U1(w),мВс	2,1	1,38	1,11	1,62	0,53	1,44	0,96	0,81	1,2
Ф1(w),˚	76,5	119,7	61	100,3	91,1	76,8	119,5	60,8	100,5
H(w)	0,0681	0,063	0,0586	0,0547	0,051	0,0483	0,046	0,0432	0,041
Фн(w), ˚	-70,1	-71,65	-72,97	-74,13	-75,1	-76,03	-76,82	-77,53	-78,17
U2(w),мВс	0,14	0,09	0,07	0,09	0,03	0,07	0,04	0,03	0,05
Ф2(w), ˚	6,4	48,1	-12,0	26,2	16,0	0,8	42,7	-16,7	22,3

Рисунок 7. Амплитудные характеристики спектров сигналов на входе и выходе цепи

Рисунок 8. Фазовые характеристики спектров сигналов на входе и выходе цепи и ее частотные свойства

2.3 Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией

цепи

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1 переходной характеристике вычисляется импульсная характеристика цепи (рисунок 1)

(17)

Результат вычислений совпадает с формулой H(jω), полученной в п. 2.2