Таким образом, оба варианта убыточны в среднем, но менее убыточны вложения в изделие в

Для восстановления оптимизма решим исходную задачу без дисконтирования. Аналогичные подсчеты по тому же дереву вариантов показывают

0,5*(-2)+0,15*(-3)+0,15*2+0,2*7= 0,25 млн.$ для изделия А

0,2*(-3)+0,8*2= 1 млн. $ для изделия В. Оба варианта в среднем прибыльны, причем В более прибыльный.

Задача 2.3.6

Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана–Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства х вида u(х), причем u имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40 000 и может потерять в случае аварии судна $10 000.

(A) Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9 000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.

Решение:

Если страхуется при цене 0,002, то ожидаемая полезность (страховая премия -$180) Если не страхуется, . При цене страхования 0.02 и элементарной функции полезности, приблизительно равной размеру богатства, первая величина немного выше. Поэтому умный судовладелец застрахуется. Конкретный пример элементарной функции полезности

Проведем расчеты

X	30000	38820	39820	40000
U(x)	29999,91	38819,8493	39819,84144	39999,84
Х0,02	599,9982	776,396986
Х0,98			39023,44461	39199,8432
			39799,84159	39799,8414
		U1-U0=	0,00019404

(Увеличение функции ожидаемой полезности на 2 сотых цента)

Ответ: возможно.

(B) Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.

Решение:

Если страхуется при вероятности аварии 0,02 на 11000, то ожидаемая полезность (страховая премия -$220). Иначе, как и в задаче А), . Проверим ту же, что и в задаче А), элементарную функцию полезности , расчеты показывают, что страхование опять немного выгоднее:

X	30000	40780	39780	40000
U(x)	29999,91	40779,8337	39779,84176	39999,84
Х0,02	599,9982	815,596674
Х0,98			38984,24492	39199,8432
			39799,84159	39799,8414
		U1-U0	0,00019404

Еще более очевидные примеры выгодности страхования можно получить с функцией полезности, до $37000 растущей линейно, а после - почти постоянной. Таким образом, все, что есть сверх 37000 , судовладельцу, предположим, почти безразлично (точный размер страховой суммы, ставка, уплата страховой премии безразличны в частности), а вот опуститься ниже $37000 - для него трагедия. Понятно, что он предпочтет действия, при которых этого произойти не может.

(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10 000? Если нет, то больше или меньше, чем $10 000? Объясните.

Решение:

Если страхуется при вероятности аварии 0,01 на 10000, то ожидаемая полезность (страховая премия -$200). Иначе, ожидаемая полезность .

Реализуя высказанное в конце задачи B), подправим прежнюю функцию u(x) при x>39800 так, чтобы она возрастала, но очень мало. Получим пример

X	30000	39800	39800	40000
u(x)	29999,91	39799,8416	39799,8416	39800
X0,01	299,9991	397,998416
X0,99			39401,84318	39402
			39799,8416	39701,9991
		U1-U0	97,842496

Ответ: все случаи А,B,C возможны.