- •Глава I. Электростатика
- •§1. Электрическое поле в вакууме
- •1.1. Электрический заряд и его свойства. Закон сохранения электрического заряда
- •1.2. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона
- •1.3. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Поле точечного заряда
- •1.4. Принцип суперпозиции электрических полей. Электрический диполь
- •1.5. Метод силовых линий. Понятие потока вектора напряженности
- •1.6. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора
- •1.7. Расчет полей с помощью теоремы Гаусса-Остроградского
- •1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости
- •1.7.2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей
- •1.7.3. Поле бесконечного заряженного цилиндра (нити)
- •1.7.4. Поле заряженной сферы
- •1.7.5. Поле объемно-заряженного шара
- •1.8. Работа сил электрического поля. Потенциальная энергия. Потенциал. Разность потенциалов
- •1.9. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом
- •1.9.1. Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля
- •С учетом формул (1.69)-(1.71) ротор вектора может быть записан в разложении по осям декартовой системы координат в виде
- •В теории векторных полей доказано, что зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхностиS, можно вычислить циркуляцию вектора по контуруL, ограничивающему поверхность s:
- •1.9.2 Градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности
- •На рис. 1.34 в соответствии с выражениями (1.8), (1.87) показаны эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля точечного заряда.
- •§ 2. Электрическое поле в веществе
- •2.1. Полярные и неполярные диэлектрики
- •2.2. Поляризация диэлектриков
- •2.3. Расчет поля внутри плоской диэлектрической пластины
- •2.4. Электрическое смещение (электрическая индукция)
- •§ 3 Электреты. Сегнетоэлектрики. Пьезоэлектрики
- •3.1. Электреты
- •3.2. Сегнетоэлектрики
- •3.3. Сегнетоэлектрические домены
- •3.4. Точка Кюри
- •В большинстве сегнетоэлектриков выше точки Кюри зависимость от температуры описывается законом Кюри-Вейса:
- •3.5. Типы сегнетоэлектриков
- •3.6. Сегнетоэлектрический гистерезис
- •3.7. Пьезоэлектрики
- •3.8. Практическое применение сегнетоэлектриков и пьезоэлектриков
- •3.9. Пьезоэлектрические свойства сегнетоэлектриков
- •3.10. Электроакустические преобразователи
- •§ 4. Проводники в электрическом поле. Электроемкость. Конденсаторы
- •4.1 Равновесие зарядов на проводнике
- •4.2. Проводник во внешнем электрическом поле. Электростатическая защита приборов
- •4.3. Электроемкость уединенных проводников
- •4.4. Конденсаторы
- •4.4.1. Расчет емкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
- •4.4.2. Соединение конденсаторов в электрических цепях
- •4.5. Энергия заряженного проводника и конденсатора
- •4.6. Энергия электрического поля
1.9. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом
Электрическое поле можно количественно описывать либо с помощью вектора напряженности , либо с помощью скалярной величины. Эти величины должны быть однозначно связаны друг с другом. Покажем как по известной функции (х, у, z) можно найти разность потенциалов между двумя любыми точками поля. Воспользуемся выражением для работы, совершаемой полем по перемещению зарядаq из точки 1 в точку 2:
.(1.56)
Выразив силу через напряженность поля (формула 1.12), получим
.(1.57)
Согласно формуле (1.54) эта же работа может быть представлена выражением
. (1.58)
Сравнивая эти две формулы, получаем
(1.59)
Таким образом, найдена связь между основными характеристиками электрического поля. Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, т.к. работа сил электрического поля не зависит от формы пути.
Применим формулу (1.59) для расчета разности потенциалов между двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Возьмем точки 1 и 2 произвольно на разных плоскостях и соединим их линией 1-1-2, как показано на рисунке 1.26.
Согласно формуле (1.59)
, (1.60)
где Еl- проекция векторана направление перемещения (рис.1.26 а).
На участке 1-Еl= 0, поэтому первое слагаемое в правой части (1.60) равно нулю. На участке-2 для напряженности поля справедлива формула (1.39)
следовательно:
, (1.61)
где d - расстояние между плоскостями.
Этот результат справедлив для разности потенциалов между любыми двумя точками, взятыми в однородном поле, причемd в этом случае равно проекции отрезкаl12между этими точками на направление вектора(рис. 1.26 б).
1.9.1. Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля
При обходе в любом направлении по замкнутому контуру L (рис. 1.27)1 = 2,следовательно, выражение (1.59) приобретает вид
.(1.62)
Скалярное произведение, стоящее под интегралом, указывает, что при расчете (1.62) надо учитывать уголмежду вектороми элементарным перемещением(рис 1.27), т.е. необходимо учитывать только составляющую вектора, касательную к элементам контураL.
Рассчитанный таким образом интеграл (1.51) называют циркуляцией вектора по любому замкнутому контуру L.
Из (1.62) следует, чтодля электростатического поля циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нулю. Такие поляназывают безвихревыми или потенциальными. У векторных полей, для которых циркуляция не равна нулю, ее знак зависит от выбранного направления обхода контура при интегрировании.
Соотношение (1.62) установлено Максвеллом, его называют теоремой о циркуляции вектора и применяют для анализа свойств векторных полей. Например, из него следует,что существованиеэлектростатического поля такого вида как изображено на рис. 1.28 невозможно. Докажем это. Для этого рассчитаем циркуляцию вектора напряженности вдоль контура 1-2-3-4-1, представив контурный интеграл в виде суммы четырех интегралов:
. (1.63)
Второй и четвертый интегралы обращаются в нуль, т.к. на этих участках , следовательно,= 90 и, соответственно,cos=0. Таким образом, получаем
,
здесь учтено, что на участке 1-2 угол = 0, соответственно,cos= 1; на участке 3-4cos= -1, т. к. = 1800.
По густоте линий напряженности на рис. 1.28 можно заключить, что >. Поскольку участки 1-2 и 3-4 одинаковой длины, то значение интеграла на участке 1-2 больше, чем значение интеграла на участке 3-4. Следовательно,
,
т.е. 0, что противоречит теореме (1.62).
Циркуляция вектора характеризует свойства поля, усредненные по области, ограниченной контуромL. Чтобы получить характеристику свойств поля в некоторой точкеРэтой области, необходимо площадьS,ограниченную контуром, стягивать к точкеР. Однако, при этом сама циркуляция обратится в нуль, так как длина контура в пределе обращается в нуль. Поэтому в качестве характеристики электрического поля в точкеР принимают предел отношения
(1.64)
При вычислении предела (1.64) обнаружено, что еговеличина зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве,которую задают с помощью положительной нормали, к плоскости контура.Положительная нормальсвязана с направлением обхода контура при интегрировании правилом правого винта (рис. 1.29).Изменяя положение контура в пространстве, можно обнаружить такую ориентацию нормали, при которой величина предела (1.64) окажется максимальной. Таким образом,величина (1.64)ведет себя какпроекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция.
Очевидно, максимальное значение величины (1.64) равно модулю этого вектора, а положительная нормаль, которая обеспечивает достижение максимума, задает его направление (рис. 1.29).
Этот вектор называется ротором(вихрем) вектораи обозначается символомrot . Таким образом выражение (1.64) можно записать в виде
. (1.65)
Выберем в плоскости, параллельной координатной плоскости YZ, прямоугольный контурL со сторонамиYиZ(рис. 1.30).
При указанном стрелками направлении обхода положительная нормальк плоскости контура параллельна оси Х. Следовательно, вычислив предел в выражении (1.65), можно найти проекцию ротора на ось Х (rot )х.
При стягивании площади контура к точке Р, длины отрезковYиZ будут стремиться к нулю, поэтому изменениемЕY на сторонах 2 и 4 контура и изменением ЕZ на сторонах 1 и 3 можно пренебречь. Учтем также, что на стороне 1 контура направление обхода противоположно осиZ, а на стороне 4 оно противоположно осиY. В итоге циркуляция вектора по контуруLопределяется выражением
(1.66)
Представим приращения (ЕZ3-EZ1) и(ЕY4-ЕY2)в виде
и (1.67)
Из (1.66) и (1.67) получим
(1.68)
где S=Y Z – площадь, охватываемая контуром.
Подставив (1.68) в (1.65), находим
(1.69)
Расположив контур в плоскостях, параллельных координатным плоскостям х, уих, zи проведя аналогичные рассуждения, можно для проекций вектораrot на осиу иzполучить выражения:
(1.70)
(1.71)