§7. Законы постоянного тока

В 1826 году немецкий физик Г.Ом эмпирическим путем установил зависимость между силой тока в i проводнике и разностью потенциалов (напряжением) между двумя фиксированными точками (сечениями) этого проводника. Эта зависимость носит название закона Ома. Рассмотрим подробнее этот закон, а так же закон Джоуля-Ленца, тепловое действие тока.

7.1. Закон Ома в дифференциальной и интегральной формах

В большинстве случаев постоянный электрический ток передается по проводам, которые в данном случае являются направляющей проводящей средой с пространственно определенными параметрами и могут рассматриваться как трубка тока.

Рассмотрим цилиндрический проводник сечениемS, обладающий однородными и изотропными электрическими свойствами (рис. 7.1). Под действием электрического поля в проводнике возникает направленное движение свободных зарядов (электронов) в направлении, противоположном электрическому полю (дрейфовый ток). Выделим в проводнике два сечения, соответствующих потенциалам поля ₁ и ₂ (₂ > ₁). Будем считать среднюю скорость дрейфа (V_др.) постоянной. Плотность тока в таком проводнике в соответствии с формулой (6.4) для абсолютных величин определится следующим образом:

. (7.1)

На практике для металлов и их сплавов в неограниченном интервале значений зависимость между скоростью дрейфа и напряженностью электрического поля имеет линейный характер

(7.2)

где _е - подвижность свободных электронов.

Подвижность зависит от природы проводника и для конкретного проводника величина постоянная. Подставив (7.2) в (7.1), получим следующее соотношение:

(7.3)

где - величина, носящая название удельной проводимости проводника. С учетом направления векторов и , соотношение (7.3) можно записать в векторной форме:

(7.4)

Полученное соотношение между плотностью тока и напряженностью электрического поля называется законом Ома в дифференциальной форме и устанавливает факт линейной зависимости плотности тока в любой точке проводящей среды от величины электрического поля в этой точке.

Вернемся к (рис. 7.1). Считая электрическое поле между двумя сечениями проводника с потенциалами ₁ и ₂ однородным, можно выразить через разность потенциалов  = ₂ - ₁ или напряжение U:

^, (7.5)

а плотность постоянного тока j через силу тока I

(7.6)

Подставив (7.5) и (7.6) в соотношение (7.3), получим

^, (7.7)

где  = 1/ - удельное сопротивление – величина обратно пропорциональная удельной проводимости. Обозначив через R знаменатель соотношения (7.7), тем самым определим еще один важный электрический параметр проводника – электрическое сопротивление

(7.8)

Часто формулу (7.8) называют формулой длинных проводников. С помощью формулы (7.8) можно рассчитывать сопротивление проводников круглого постоянного сечения. Сопротивление проводников измеряется в Омах. Проводник сопротивлением в 1 Ом обеспечивает ток 1 А, если к его концам приложено напряжение 1 В. Подставив (7.8) в формулу (7.7), получим соотношение, которое называется законом Ома в интегральной форме или законом Ома для участка цепи

(7.9)

Формула (7.9) отражает факт пропорциональной зависимости силы тока (I) на участке проводящей цепи от приложенного напряжения U и обратно пропорциональной зависимости тока от сопротивления цепи R.

Электрические цепи могут состоять из нескольких проводников, соединенных последовательно (рис.7.2,а) или параллельно (рис.7.2,б).

Применяя закон Ома в интегральной форме для каждого соединения в целом и для каждого проводника цепи, можно получить соотношения между общим сопротивлением R_об, током I_об и напряжением U_об соединения и аналогичными параметрами проводников (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Последовательное соединение	Параллельное соединение
Rоб = R1 + R2 + …. + RN	1/Rоб = 1/R1 + 1/R2 + …. + 1/RN
Iоб = I1 = I2 = …. = IN	Iоб = I1 + I2 + …. + IN
Uоб = U1 + U2 + …. + UN	Uоб = U1 = U2 = …. = UN

где I_j (j = 1,2…N) – ток, протекающий по проводнику с номером j;

U_j (j = 1,2…N) – напряжение (падение напряжения) на проводнике с номером j.

Закон Ома в дифференциальной форме (7.4) позволяет рассчитывать проводимость проводников сложной формы. Рассмотрим два таких примера.