- •Глава II. Элементы специальной теории относительности §4. Границы применимости классической механики
- •§5. Принцип относительности Галилея
- •§6. Постулаты специальной теории относительности
- •§7. Одновременность событий. Синхронизация часов
- •§8. Преобразование Лоренца
- •§9. Следствия из преобразования Лоренца
- •9.1. Сокращение размеров движущихся тел (Лоренцево сокращение)
- •9.2. Относительность длительности процессов
- •9.3. Закон сложения скоростей в специальной теории относительности
- •9.4. Пространственно-временной интервал
- •§10. Основной закон релятивистской механики
- •§11. Закон взаимосвязи массы и энергии
§7. Одновременность событий. Синхронизация часов
Напомним, что под системой отсчета подразумевается тело отсчета, с которым связаны система координат и ряд неподвижных одинаковых часов, синхронизированных между собой. Часами будем считать любой прибор, в котором используется тот или иной периодический процесс.
При проведении различных физических измерений широко пользуются понятием одновременности двух или нескольких событий. Например, для определения длины стержня, расположенного вдоль осиX системы отсчета К и движущегося относительно этой системы (рис. 7.1), необходимо одновременно, то есть в один и тот же момент времени , зафиксировать значения координатиконцов стержня:
. (7.1)
Для этого в каждой системе отсчета должно быть множество часов, находящихся в различных точках пространства. Все эти часы должны идти согласованно, синхронно - их показания в каждый момент времени должны быть одинаковыми.
Рис.
7.1
Синхронизацию часов можно произвести следующим образом. Допустим что, из начала системы координат точки 0 по радио в момент времени передается радиосигнал. В момент, когда этот сигнал достигнет часов, находящихся от точки0 на известном расстоянии S, их устанавливают так, чтобы они показывали время , то есть с учетом времени распространения сигнала. В результате такой операции все часы данной системы отсчета будут синхронизированы в каждый момент времени.
§8. Преобразование Лоренца
Тот факт, что второй постулат специальной теории относительности несовместим с классическим законом сложения скоростей, а следовательно, и с преобразованиями Галилея, приводит к необходимости отказаться от этих преобразований. Возникает задача нахождения истинных формул преобразований при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то есть формул, связывающих координаты и время одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета.
Новые преобразования были выведены Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов. Формально они совпали с преобразованиями, найденными ранее Лоренцем в связи с попытками объяснить неудачу опыта Майкельсона. Но только Эйнштейн вскрыл их глубокий смысл.
Рассмотрим две инерциальный системы отсчета К и К' (рис. 5.1). Как и прежде, система К' движется относительно системы К в направлении оси X с постоянной скоростью . Установим в разных точках обеих систем отсчета одинаковые часы и синхронизируем их: отдельно часы системыК и отдельно часы системы К'. За начало отсчета времени возьмем в обеих системах момент (), когда начала координат (точки0 и 0') совпадают.
Так как система К' движется относительно системы К равномерно, связь между координатами идолжна по-прежнему, как и в преобразованиях Галилея, линейно зависеть от времени, то есть
, (8.1)
где - некоторый коэффициент.
Аналогичное выражение можно записать для обратного перехода от системы К к системе К':
. (8.2)
Для определения коэффициента предположим, что в начальный момент времени (), когда точки0 и 0' совпадали, из точки 0 в направлении оси X был послан световой сигнал, который через время , измеренное в системеК, достиг точки А с координатой . В системеК' эта точка имела координату , где- время, измеренное в системеК'. Заметим, что скорость С в силу второго постулата одна и та же.
Подставив координаты ив выражения (8.1) и (8.2), получим
,
(8.3)
.
Перемножив правые и левые части этих равенств и произведя сокращение на , получим
,
откуда
(8.4)
Таким образом, связь между координатами иимеет вид:
(8.5)
Для нахождения связи между ипроделаем следующее. Исключив из выражений (8.1) и (8.2) величинуи решив их после этого относительно, получим с учетом выражения (8.4):
(8.6)
Координаты иипри рассматриваемом движении системК и К' остаются равными друг другу.
Таким образом, преобразования для координат и времени, получившие название преобразований Лоренца, имеют вид:
, ,,, (8.7)
где
Обратные преобразования в силу равноправности всех инерциальных систем отсчета должны иметь аналогичный вид, но с учетом изменения знака скорости V:
, ,,. (8.8)
Анализ формул преобразований Лоренца позволяет сделать ряд важных выводов.
Во-первых, особенностью преобразований Лоренца является то, что при они переходят в преобразования Галилея (5.1). Это означает, что теория относительности не отвергает преобразования Галилея, а включает их в истинные преобразования как частный случай, справедливый при.
Во-вторых, из преобразований Лоренца следует, что при подкоренные выражения становятся отрицательными и формулы теряют физический смысл. Это означает, что движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно.
В-третьих, в формулы преобразования времени входит пространственная координата, что отражает неразрывную связь пространства и времени.