Численные методы

Численный метод– метод приближённого решения математической задачи, после применения которого результат получается в виде чисел. Численные методы применяются в ЭВМ для решения многих технических задач, в которых точное математическое решение найти невозможно или очень сложно.Итерация(приближающий шаг) – один шаг при решении задачи, после которого приближённое решение становится ближе к точному, чем было до этого.

К наиболее известным численным методам относятся:

1.  Метод половинного деления(метод деления пополам, метод бисекции, метод Больцано), применяемый для приближённого решения нелинейных уравнений вида.

Метод половинного деления заключается в том, что в точке c, являющейся серединой отрезка, вычисляется значение функции. Если это значение близко к нулю, то решением является точкаc(т.е.cявляется корнем уравнения), иначе середина отрезка становится границей нового отрезка, внутри которого функция изменяет знак. Таким образом, отрезок уменьшается вдвое, а далее процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение.

2.  Метод Ньютона (метод касательных, метод линеаризации), применяемый для приближённого решения нелинейных уравнений вида, причём функциядолжна иметь производную, а также для решения систем уравнений.

Метод Ньютона заключается в том, что из начальной точки проводится касательная к графику функциии вычисляется пересечение касательной с осьюxпо формуле. Если в новой точке значениеблизко к нулю, то эта точка является решением (т.е.является корнем уравнения), иначе процесс повторяется.

3.  Метод итераций(метод простой итерации, метод последовательных приближений, метод Якоби), применяемый для приближённого решения нелинейных уравнений вида, а также для решения систем уравнений.

Сначала уравнение приводится к виду, где– некоторый коэффициент, а также задаётся начальное приближение в точке. Метод итераций заключается в том, что в точкевычисляется значение функции. Если новое значениеxблизко к предыдущему, то решением является эта точка (т.е.является корнем уравнения), иначе процесс повторяется.

4.  Метод Гаусса(метод исключения), применяемый для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:, где используются матрицаи столбец.

Метод Гаусса заключается в том, что в прямом ходе метода все уравнения системы преобразуются к эквивалентным уравнениям таким образом, чтобы были исключены коэффициенты ниже главной диагонали (т.е. чтобы матрица Aстала треугольной). Далее в обратном ходе метода из последнего уравнения вычисляется. Полученное значение подставляется в-е уравнение и вычисляется. Аналогично находятся все остальные значения неизвестных,…,,.

5.  Метод Зейделя(метод Гаусса-Зейделя), применяемый для решения СЛАУ вида:, а также для решения систем нелинейных уравнений.

Метод Зейделя заключается в том, что по заданным начальным приближениям для ,…,из 1-го уравнения вычисляется, найденное значениеподставляется во 2-е уравнение системы и находится, аналогично вычисляются остальные значения неизвестных. Если новые значения,…,близки к предыдущим значениям, то решение найдено, иначе процесс продолжается дальше.Метод простой итерациидля решения СЛАУ отличается тем, что найденные значения,…,подставляются в уравнения на следующем шаге, а не на текущем, как в методе Зейделя.

6.  Метод прямоугольников(формула прямоугольников), применяемый для приближённого вычисления определённых интегралов.

Метод прямоугольников заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется горизонтальными ступеньками. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей прямоугольников, образованных этими ступеньками.

7.  Метод трапеций(формула трапеций), применяемый для приближённого вычисления определённых интегралов.

Метод трапеций заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется отрезками наклонных линий. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей трапеций, образованных этими отрезками.

8.  Метод Симпсона(формула парабол), применяемый для приближённого вычисления определённых интегралов.

Метод Симпсона заключается в том, что график подынтегральной функции заменяется участками парабол. Далее интеграл вычисляется как сумма площадей фигур, образованных этими параболами.

9.  Метод Эйлера, применяемый для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. для решения задачи Коши) видапри начальном условии.

Метод Эйлера заключается в том, что производная заменяется соотношением, где– шаг интегрирования. Далее на каждом шаге значение неизвестной функциив точкевычисляется по формуле.

10.  Метод Рунге-Кутта(метод Рунге-Кутты), применяемый для приближённого решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности является наиболее распространённым и заключается в том, что интегрирование дифференциального уравнения заменяется формулой: , где;;;.