Масштабирование отрезков

При формировании изображения отрезок достаточно часто используется как основной элемент. Поэтому рассмотрим основные геометрические преобразования применительно к отрезку.

Горизонтальный отрезокмежду точками с абсциссамих₁иx₂ имеет длину

L=x₂ - x₁.

Изменение длины отрезка в зависимости от коэффициента масштабирования определяется соотношением

L_s = L*S = S(x₂ – x₁) =X_2s – X_1s

Координаты точекX_2s ,X_1s рассчитываются по матрице масштабирования относительно начала координат. ЕслиS>1отрезок становится длиннее; еслиS <1– отрезок станет короче, в противном случае он не изменит свою длину. Из рисунка видно, что масштабирование приводит к изменению координат концевых точек, то есть после масштабирования отрезок занимает новое положение, определяемое координатами концевых точек. Общий подход при перемещении отрезка заключается в выборе опорной (базовой) точки, положение которой считается фиксированной ( точкаx₀ на рисунке 3.29). Координаты отрезка в этом случае после проведения расчетов определяются из выражений

X_1s = (x₁-x₀)_*S + x₀ =x₀*(1-S)+x1*S

X_2s =(x₂-x₀*S) + x₀=x₀*(1-S) + x₂*S

В качестве опорной точки можно выбирать любую точку на экране или вне его

Фиксируя середину отрезка, получим

X_1s =X_M - (x₂-x₁)*S/2

X_2s =X_M+(x₂-x₁)*S/2

Для вертикального отрезка расчеты дают аналогичные результаты для координатыy.

Отрезок, проведенный под произвольным углом, (рис. 3.30) масштабируется одновременным изменением горизонтальной (x2-x1) и вертикальной(y2-y1)проекций относительно базовой точкиx0.

X_1s = x₀*(1-S)+x₁*S

X_2s =x₀*(1-S) + x₂*S

Y_1s = y₀*(1-S )+ _y1*S

Y_2s =y₀*(1-S) + y₂*S

Для увеличения или уменьшения длины наклонного отрезка, с сохранением наклона, требуется равенство коэффициента масштабирования по осям. Полученные выше результаты, как видно приводят к расчетам координат концевых точек отрезков. Окончательный вид изображения получается путем вычерчивания линий, соединяющих точки с вычисленными координатами. Для изображений, содержащих линии более высокого порядка (окружность, эллипс и др.) масштабирование применяется только к определяющим точкам и элементам – центр окружности, радиус.

Вращение точки.

Рисунок 3.31 иллюстрирует вращение точки. Перемещение осуществляется из точки X,Yв точкуX₁,Y₁по дуге окружности с центром вращенияX₀,Y₀. Угол jна рисунке определяет величину поворота. Координаты точкиX₁,Y₁после поворота определяются из

X₁=X₀ + (X-X₀)*cosj + (Y-Y₀)*sinj

Y1=Y₀ + (Y-Y₀)*cosj + (X-X₀)*sinj

Опорная (базовая) точка вращения может находиться в любом месте на экране и вне его границ. Угол поворота jизменяется против направления часовой стрелки (положительное направление отсчета) от начального положения точкиX,Y. Обычно значения этого угла лежат в пределах от 0 до 2p. Другие углы поворота тоже допустимы, однако такие углы эквивалентны повороту в указанном диапазоне.

Преобразования над системой точек в однородных координатах в наиболее общем виде, выполняемые операциями R, S ,Tможет быть представлено матрицейPразмером (3х3)

.

Правая верхняя часть размером 2х2 является объединенной матрицей поворота и масштабирования, t_x иt_y описывают суммарный перенос;p и q – получение проекций, аS –производит изменение общего масштаба.

1Все преобразования проводятся в декартовой прямоугольной системе координат. Случай использования иного позиционирования обязательно будет оговариваться.