7.5 Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂ раз и т.д., а – объем выборки Наблюдаемые значения х_i, называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки –относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

Пример. Пусть объем выборки п = 20 и

хi	2	6	12
ni	3	10	7

Найдем относительные частоты:

Тогда распределение относительных частот:

хi	2	6	12
Wi	0,15	0,50	0,35

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0,35 = 1.

После построения вариационного ряда и его графического изображения можно получить первоначальное представление о закономерностях наблюдаемого явления. Чаще всего о вариационном ряде удобно говорить в терминах, которые в теории вероятности назывались числовыми характеристиками случайных величин. Рассмотрим эти характеристики.

Если генеральная совокупность X относительно небольшого объема, то можно анализировать всю совокупность.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения X₁, X₂,…, X_N различны (N – объем совокупности), то

.

Если же, что встречается чаще, значения признака имеют, соответственно, частоты N₁, N ₂,…, N_k, причем N₁ +N₂+... + N_k= N, то

/

Для оценки рассеивания количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения используется генеральная дисперсия D_Г – среднее арифметическое квадратов отклонений признака от их среднего значения . Для различных X₁, X₂,…, X_N:

Здесь – среднее квадратов значений признака:

Если же значения признака имеют частоты N₁, N ₂,…, N_k, то

,

но ; .

Генеральным средним квадратическим отклонением (генеральным стандартом) называется .

Если же генеральная совокупность – большого объема, то работа с ней становится очень громоздкой или невозможной. Тогда для изучения генеральной совокупности используют выборку конечного объема п.

Выборочной средней называется среднее арифметическое признака выборочной совокупностью.

Для различных значений X₁, X₂,…, X_N:

.

Если значения признака X₁, X₂,…, X_k имеют, соответственно, частоты N₁, N ₂,…, N_k, причем N₁ + N ₂ +…+ N_k =N, то

Выборочной дисперсией D_В называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .Для различных значений

.

Для значений X₁, X₂,…, X_k с частотами:

.

Выборочным средним квадратическим отклонением (выборочным стандартом) называется величина .

В качестве примера рассмотрим распределение:

хi	1	2	3	4
Ni	20	15	10	5

Здесь общая средняя:

Средняя квадратов:

Дисперсия: .

Стандарт: .

В примере намеренно не указан индекс характеристик, потому что расчеты как для генеральной, так и для выборочной совокупностей абсолютно аналогичны.

Кроме выборочных (или генеральных) средней и дисперсии используются и другие характеристики. Перечислим основные из них, например, для ряда

хi	1	4	7	9	11
ni	5	1	20	6	8

Модой M_O называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Для примера M_O = 7.

Медианой т_е называют варианту, которая делит вариационный ряд на две равные по числу вариант части. Для примера т_е =7.

Размахом вариации R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R ⁼ X_max – X_min.

Для примера R = 11 – 1 = 10. Размах – простейшая характеристика рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации V называется отношение выборочного стандарта к выборочной средней (обычно выражается в процентах):

Этот коэффициент служит для сравнения величин рассеивания по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации больше.

По аналогии с теоретическими моментами в теории вероятностей вводятся эмпирические моменты для оценки вариационных рядов.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее значение k-ых степеней разностей х_i – С:

.

Здесь x₁, x₂,…, x_t – наблюдаемые варианты, n₁, n ₂,…, n_t - частоты вариант, n₁ + n ₂ +…+ n_t = n – объем выборки, С – произвольное число (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С = 0:

В частности, , т.е. эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней.

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С = :

/

В частности,

,

т.е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Центральные эмпирические моменты можно выразить через обычные. В практике статистических расчетов встречаются:

$

$

/