Информатика / METOD

Решение

а) На первый взгляд может показаться, что в развернутой форме записи данного числа отсутствуют коэффициенты перед 85 и 9, отсутствует слагаемое с 82, в слагаемом 2 • 8 нет показателя степени 8, и нет степени у 9. Но это не является ошибкой, а говорит лишь о том, что коэффициенты перед 85 и 9 равны 1, коэффициент перед 82 равен 0, в слагаемом 2 • 8 показатель степени 8 равен 1 (2 • 81), степень у 9 равна 80 =1. То есть, если привести данное число к стандартной развернутой форме, получим: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + + 9 = 1 • 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 0 • 82 + 2 • 81 + 9• 80. Ошибка заключается в том, что число записано в восьмеричной с. с., в которой отсутствует цифра 9 (базис {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}).

Ответ: 85 + 3 • 84 + 4 • 83 + 2 • 8 + 9.

б) Число составлено из цифр четверичной с.с., в базисе которой отсутствует цифра 4 (базис {0, 1, 2, 3}).

Ответ: 24310324

Задача. Перевести дробное число 34,42145 в десятичную систему счисления.

Решение

Используем правило перевода из q-ичной в десятичную систему счисления, то есть запишем число в развернутой форме, учитывая, что q = 5, и выполним последовательно соответствующие арифметические операции.

34,42145 = 3 • 51 + 4 • 50 + 4 • 5-1 + 2 • 5-2 + 1 • 5-3 + 4 • 5-4 = 15 + 4 + 4 • 15 + 2 • •

251 + 1 • 1251 + 4 • 6251 = 19 + 54 + 252 + 1251 + 6254 = 19 + 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0064 = 19 + 0,8944 = 19,894410.

Ответ: 19,894410.

II тип. Перевод из десятичной системы счисления в любую q-ичную

Задача. Перевести целое число 388610 в восьмеричную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода из десятичной в q-ичную систему счисления целых чисел, разделим 3886 на 8 и получим частное 485 и остаток 6. Следовательно, в восьмеричной записи числа 3886 последняя цифра равна 4. Для нахождения второй цифры разделим найденное 485 снова на 8. Получим частное 60, а остаток при этом равен 5. Следовательно, предпоследняя цифра в восьмеричной записи числа 3886 есть 5. Далее, разделив 60 на 8, получим 7 и 4 в остатке. 4 – третья с конца цифра в восьмеричной записи числа 3886. Частное равное 7 на 8 уже не делится, значит 7 – первая цифра в восьмеричной записи числа 3886. Итак, 388610 = 74568.

Проведенные выкладки удобно представить следующим образом:

	3886	8
	32	485	8
	68	48	60	8
	64	5
			56	7
	46
			4
	40
	6

Ответ: 388610 = 74568.

Задача. Перевести дробное число 0,894410 в пятеричную систему счисления.

Решение

Воспользуемся правилом перевода из десятичной в q-ичную систему счисления дробных чисел:

0, 8944

•5 4, 4720

•5 2, 3600

•5 1, 8000

•5 4, 0000

Согласно пункту 4 правила запись дробного числа начинается с целой части первого произведения, следовательно, 0,894410 = 0,42145. И действительно, когда переводили число 34,42145 в десятичную систему (см. выше), мы получили 19,894410, то есть дробные части этих чисел совпадают

0,894410 = 0,42145.

Ответ: 0,894410 = 0,42145.

Задача. Перевести смешанное число 19,894410 в пятеричную систему счисления.

Решение

Согласно правилу перевода смешанных чисел из десятичной системы, нужно отдельно перевести в пятеричную с. с. целую часть числа и отдельно – дробную. Дробную часть нашли в предыдущем примере 0,42145. Переведем 1910 в пятеричную систему:

19 5

15 3

4

Получаем, что 1910 = 345. Итак, 19,894410 = 34,42145. Проведенный в предыдущем типе задач перевод числа 34,42145 в десятичную систему дал аналогичный результат, что подтверждает полученный результат.

Ответ: 19,894410 = 34,42145.

III тип. Перевод из p-ичной системы счисления в q-ичную

Задача. Перевести 32014 в восьмеричную систему счисления. Решение

Переведем число вначале в десятичную систему счисления, затем полученное число из десятичной системы переведем в восьмеричную:

32014 → y10→ z8.

32014 = 3 • 43 + 2 • 42 + 0 • 41 + 1• 40 = 3 • 64 + 2 • 16 + 0 + 1 = 22510.

	225	8
	16	28	8
	65	24	3
	64	4
	1

Итак, 32014 = 3418. Ответ: 32014 = 3418.

Задача. Составить двоично-шестнадцатеричную таблицу. Решение

016	= 02;
116	= 12;
216	= 210; переведем 210 в двоичную систему:
	2					2
				2		1
			0

216 = 210 = 102.

Аналогично, получаем 316 = 310 = 112; 416 = 410 = 1002; 516 = 510 = 1012; 616 = 610 = 1102; 716 = 710 = 1112; 816 = 810 = 10002; 916 = 910 = 10012; A16 = 1010 = 10102; B16 = 1110 = 10112; C16 = 1210 = 11002; D16 = 1310 = 11012; E16 = 1410 = 11102; E16 = 1510 = 11112.

Сведем полученные данные в таблицу 13.

Таблица 13

Двоично-шестнадцатеричная таблица

16	2	16	2
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

Задача. Перевести 110010100111012 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение

Согласно правилу перевода целого двоичного числа в систему счисления с основанием q = 2n, (в данном случае q = 16, n = 4) разделим число на группы по четыре цифры, начиная справа: 11 0010 1001 1101. В крайней слева группе оказалось 2 цифры, поэтому дополним ее нулями: 0011 0010 1001 1101. Используя данные из таблицы 13, заменим двоичную группу на соответствующую шестнадцатеричную цифру: 3 2 9 D.

Итак, 110010100111012 = = 329D16. Ответ: 110010100111012 = 329D16.

Задача. Перевести 8BFD16 в двоичную систему счисления. Решение

Согласно правилу перевода числа, записанного в системе счисления с основанием q = 2n в двоичную системы счисления, и используя данные таблицы 13, 8 заменим ее двоичным эквивалентом 1000, B – 1011, F – 1111, D – 1101. Итак, получаем 8BFD16 = 10001011111111012.

Ответ: 8BFD16 = 10001011111111012.

IV тип. Арифметические операции в различных системах счисления

Задача. Выполнить действие в четверичной системе счисления:

130234 + 33234.

Решение

Воспользуемся правилом сложения чисел в q-ой системе счисления.

То есть запишем второе слагаемое под первым, так чтобы разряды чисел находились друг под другом:

130234

133234

Сложим цифры первого разряда справа по правилам десятичной системы: 3+3 = 6, т. е. имеем случай, когда сумма больше основания системы счисления

(4). Представим 6 в четверичной с. с.: 610 = 1 • 4 + 2 = 124. Таким образом, в первый разряд ответа запишем 2, а 1 перенесем в следующий разряд (2 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

24

Сложим цифры второго разряда справа по правилам десятичной системы: 2 + 2 + 1 = 5. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 5 в четверичной с. с.: 510 = 1 • 4 + 1 = 114. Таким образом, во второй разряд ответа запишем 1, а 1 перенесем в следующий разряд (1 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

124

Сложим цифры третьего разряда справа по правилам десятичной системы: 0 + 3 + 1 = 4. Сумма равна основанию системы счисления (4). Представим 4 в четверичной с. с.: 410 = 1 • 4 + 0 = 104. Таким образом, в третий разряд ответа запишем 0, а 1 перенесем в следующий разряд (0 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

0124

Сложим цифры четвертого разряда справа по правилам десятичной системы: 1 + 3 + 3 = 7. Сумма больше основания системы счисления (4). Представим 7 в четверичной с. с.: 710 = 1 • 4 + 3 = 134. Таким образом, в четвертый разряд ответа запишем 3, а 1 перенесем в следующий разряд (3 пишем, 1 в уме).

1

130234

133234

30124

Сложим цифры пятого разряда справа по правилам десятичной системы: 1 + 1 + 1 = 3. Сумма меньше основания системы счисления (4). Таким образом, в пятый разряд ответа запишем 3, а в следующий разряд переносить ничего не нужно.

130234

133234

330124

Ответ: 330124

Задача. Выполнить действие в 6-ой системе счисления:

5300026 – 424556

Решение

Запишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом:

5300026

424556

Цифра вычитаемого в первом разряде меньше соответствующей цифры уменьшаемого, цифры следующих четырех разрядов равны нулю, поэтому цифру 3 из пятого (справа) разряда уменьшаемого уменьшим на единицу

(«займем единицу»), а нули увеличим до q-1, т. е. до 5 (6-1). В первом разряде уменьшаемого к 2 добавим q = 6 и из полученных восьми отнимем 5, получим 3

– первую (с конца) цифру результата., по правилам десятичной с.с.:

• • • •

5300026

424556

36

Точки будут напоминать о том, что из 3 произвели заем одной единицы, а нули заменили 5. Цифра, стоящая во втором разряде уменьшаемого, стала 5, 5 –

5	= 0. Цифра, стоящая в третьем разряде уменьшаемого,	стала 5, 5 – 4 = 1.
Цифра, стоящая в четвертом разряде уменьшаемого,		стала 5, 5 –
2	= 3.

• • • •

5300026

424556

31036

В пятом разряде уменьшаемого вместо цифры 3 уже 2, в шестом разряде вычитаемого 4. 2 < 4, следовательно, из шестого разряда уменьшаемого займем единицу (5-1 = 4), а в пятом разряде уменьшаемого к 2 добавляем q = 6, получим 8, и теперь из 8 вычтем 4, получим 4.

•

5300026

424556

431036

Точка над 5 означает, что из нее заняли единицу, теперь в шестом разряде уменьшаемого стоит 4. В шестом разряде вычитаемого ничего нет, что подразумевает 0. Итак, 4 – 0 = 4.

•

5300026

424556

4431036

Ответ: 4431036.

Задача. Пользуясь сложением, составить двоично-шестнадцатеричную таблицу.

Решение

016 = 02; 116 = 12, 2 в шестнадцатиричной получается увеличением единицы на 1. 216 = 116 + 116 = 12 + 12 = 210 = 1 • 2 + 0 = 102. 316 = 216 + 116 = 102 + 12 = 112. Далее аналогично. Процесс сложения в двоичной системе счисления представлен в таблице 14.

Таблица 14 Процесс получения двоично-шестнадцатеричной таблицы

16-я	Действие			Результат	16-я		Действие в						Результат
	в двоичной			в двоичной					двоичной				в двоичной
						1 1 1
016			02	02	816					1112			10002
											12
							10002
116			12	12	916					10002			10012
											12
							10012
	1		12			1
216				102	A16					10012			10102
			12								12
	102
							10102
	102									10102
316			12	112	B16
											12		10112
	112
						10112
	1	112				1 1
416				1002	C16					10112			11002
			12								12
	1002						11002

16-я					Действие			Результат	16-я				Действие			Результат
			в двоичной					в двоичной				в двоичной				в двоичной
	1002												11002
516	12							1012	D16							11012
														12
	1012
										11012
	1									1
616					1012			1102	E16				11012			11102
						12								12
		1102									11102
716					1102			1112	F16				11102			11112
						12								12
		1112									11112

Как видим, результаты, полученные увеличением каждого последующего двоичного числа на 1, совпадают с результатами, полученными при непосредственном переводе (таблица 13).

V тип. Дополнительные задачи по системам счисления

Задача. Составить таблицу умножения для пятеричной системы, используя ее, найти 43025 • 3245.

Решение

а) Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления: 0 • 0 = 0 • 1 = 0 • 2 = 0 • 3 = 0 • 4 = 0.

1 • а = а, поэтому 1 • 1 = 1, 1 • 2 = 2; 1 • 3 = 3; 1 • 4 = 4. 25 • 25 = 210 • 210 = 410 = 45.

25 • 35 = 210 • 310 = 610 = 1 • 5 + 1 = 115. 25 • 45 = 210 • 410 = 810 = 1 • 5 + 3 = 135. 35 • 35 = 310 • 310 = 910 = 1 • 5 + 4 = 145. 35 • 45 = 310 • 410 = 1210 = 2 • 5 + 2 = 225. 45 • 45 = 410 • 410 = 1610 = 3 • 5 + 1 = 315.

Итак, получили таблицу 15.