Математическая логика / Модуль 3. Умозаключения / Модуль 3. Практическое занятие 1
.docМодуль 3. Умозаключения
Занятие 1. Условные суждения
Задание 1: Преобразовать условное суждение по трём законам логики:
-
Закон контрапозиции
-
Выражение импликации через конъюнкцию и отрицание
-
Выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание
№1. «Если дискриминант уравнения положителен, то оно имеет два корня».
p – «Дискриминант уравнения положителен»
q – «Уравнение имеет два корня»
1.
:
«Если уравнение не имеет двух корней,
то его дискриминант не положителен».
2.
:
«Неверно,
что дискриминант уравнения положителен
и оно не имеет двух корней».
3.
:
«Либо
дискриминант уравнения не положителен,
либо уравнение имеет два корня».
№2. «Если Спартак проиграет, то не станет чемпионом».
p – «Спартак проиграет»
q – «Спартак станет чемпионом»
1.
:
«Если Спартак стал чемпионом, то он не
проиграл».
2.
:
«Неверно,
что Спартак и проиграет, и станет
чемпионом».
3.
:
«Либо Спартак
не проиграет, либо не станет чемпионом».
№3. «Если
,
то
»
p
– «
»
q
– «
»
1.
:
«Если
, то
».
2.
:
«Неверно,
и
».
3.
:
«Либо
,
либо
».
Самостоятельно:
№4. «Если не будет дождя, то я пойду гулять»
№5. «Если ты не поможешь, то я не справлюсь с заданием»
№6. «Если
,
то и
»
Задание 2: Сформулировать суждение в терминах необходимых и достаточных условий.
|
|
Формулировка
суждения
|
Формулировка
суждения
|
|
1) |
p достаточно для q |
q необходимо для p |
|
2) |
для q достаточно p |
для p необходимо q |
в терминах достаточных условий
в терминах необходимых условий
№1. «Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то производная функции в этой точке равна нулю».
В терминах достаточных условий: «Наличие экстремума дифференцируемой функции в точке достаточно для обращения в нуль её производной» или «Для того, чтобы производная функции в точке обращалась в нуль достаточно того, чтобы функция в этой точке имела экстремум».
В терминах необходимых условий: «Обращение в нуль производной функции в точке необходимо для экстремальности дифференцируемой функции в этой точке» или «Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы её производная в этой точке была равна нулю».
Замечание. Достаточно одного варианта формулировки в терминах необходимых условий и одного варианта формулировки в терминах достаточных условий.
№2. «Интеграл по отрезку от положительной на этом отрезке функции положителен»
Сформулируем суждение в условной форме: «Если функция положительна на отрезке, то интеграл от неё по этому отрезку положителен».
В терминах достаточных условий: «Положительность функции на отрезке достаточна для положительности интеграла от неё по этому отрезку».
В терминах необходимых условий: «Положительность интеграла от функции по отрезку необходима для положительности функции на этом отрезке».
Самостоятельно:
№3. Если запаздывание системы велико, то система неустойчива
№4. «Если не будет дождя, то я пойду гулять»
№5. «Если ты не поможешь, то я не справлюсь с заданием»
Задание 3. Для данного суждения построить обратное, противоположное и обратное противоположному суждения.
|
Прямое суждение |
|
|
Обратное суждение |
|
|
Противоположное суждение |
|
|
Обратное противоположному (или противоположное обратному) суждение |
|
№1. Если запаздывание системы велико, то система неустойчива.
|
Обратное суждение |
|
Если система не устойчива, то запаздывание системы велико |
|
Противоположное суждение |
|
Если запаздывание системы невелико, то система устойчива |
|
Обратное противоположному (или противоположное обратному) суждение |
|
Если система устойчива, то запаздывание системы невелико. |
№2. Интеграл по отрезку от положительной на этом отрезке функции положителен.
|
Прямое суждение |
|
Если функция положительна на отрезке, то интеграл от неё по этому отрезку положителен |
|
Обратное суждение |
|
Если интеграл от функции по отрезку положителен, то функция положительна на этом отрезке. |
|
Противоположное суждение |
|
Если функция не является положительно на отрезке, то интеграл от неё по этому отрезку не положителен |
|
Обратное противоположному (или противоположное обратному) суждение |
|
Если интеграл от функции по отрезку не положителен, то функция не положительна на этом отрезке |
Самостоятельно:
№4. «Если не будет дождя, то я пойду гулять»
№5. «Если ты не поможешь, то я не справлюсь с заданием»
№6. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то производная функции в этой точке равна нулю
Занятие 6. Проверка правильности рассуждений с помощью общезначимости и выводимости
Задание. Записать данное рассуждение в виде формулы логики высказываний. Выяснить, правилен ли вывод двумя способами: проверкой на общезначимость и проверкой на выводимость.
№1. Если бы Иван пришёл, то либо Марья, либо Дарья пришла бы. Но ни Марья, ни Иван не пришли. Следовательно, Дарья пришла.
Необходимо записать данное рассуждение в виде формулы логики высказываний.
p – «Иван пришёл»;
q – «Марья пришла»;
r – «Дарья пришла».
-
Для проверки на общезначимость будем составлять для полученной формулы таблицу истинности.
(*)
|
p |
q |
r |
(1-1) |
(2-2) |
(3-3) |
(4-4) |
(5-5) |
(6-6) |
(*) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Вывод: Формула не общезначима. Вывод логически не следует из посылки
-
Для проверки на выводимость, запишем полученную формулу в виде секвенции и будем применять правила вывода, двигаясь снизу вверх.
Вывод: Формула не выводима. Вывод логически не следует из посылок.
Самостоятельно:
№2. Если бы Иван пришёл, то или Марья пришла бы, или Дарья пришла бы. Но Марья пришла, а Дарья не пришла. Значит, Иван не пришёл.