Ряды

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1	1		1		... 1 n 1	1		....
						n!
2!		3!

Решение.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного

ряда: 1	1			1	...	1	....
2!				3!		n!

По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как:

lim	un 1	lim	n!		lim	1		0 1
n un		n n 1 !			n n 1

таким образом, исследуемый ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 19.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1	1		1		1		... 1 n 1	1		....
								n!
2!		3!		4!

Решение.

Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются, а общий член с возрастание стремится к нулю. Поэтому, согласно признаку Лейбница, ряд сходится.

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

1	1			1		1	...	1	..., есть гармонический ряд, который расходится.
2!				3!		4!		n!

Следовательно, ряд сходится условно.

2. Функциональные ряды. Степенные ряды.

Ряд	вида	u1(x) u2 (x) ... un (x) ... un (x) , членами			которого
являются	функции un (x) , называется			функциональным.	Функции
u1(x), u2 (x), ..., un (x), ... определены на некотором множестве Х.					un (x0 ) ,
Каждому		значению	x0 X соответствует числовой ряд
который может быть сходящимся или расходящимся.
Если ряд		un (x0 )	сходится, то x0	называется точкой сходимости

функционального ряда.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости Д.

Если функциональный ряд сходится в области Д, то он имеет сумму S(x) в этой области.

Рассмотрим один из функциональных рядов.

Ряд вида

a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... an (x x0 )n

где an , x, x0 – действительные числа, называется степенным рядом по

степеням x x0 .

Числа a0 ,a1,a2 , ...,an , ... называются коэффициентами степенного

ряда.

При x0 0 получим степенной ряд a0 a1x a2x2 ... an xn ... an xn

(1) по степеням x .

Далее будем рассматривать ряды вида (1), т.к. любой другой степенной ряд можно свести к (1) подстановкой x x0 x'.

Теорема (Абеля).

Если степенной ряд (1) сходится в точке x x0 0, то он сходится абсолютно в интервале, соответствующем неравенству: х x0 .

Следствие: Если в точке x1 0 степенной ряд (1) расходится, то он

расходится во всех точках x таких, что		х	x.
Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что если степенной ряд (1)
сходится хотя бы в одной точке x 0,		то всегда существует число R 0
такое, что степенной ряд сходится абсолютно для				всех x R; R и
расходится для всех x ( ; R) (R; ) .				а интервал R; R –
Величина R называется радиусом сходимости,

интервалом сходимости ряда (1), x 0 – середина интервала.

Частные случаи:

1.если ряд сходится в точке x 0, то R 0.

2.Если ряд сходится при всех x R, то R .

На концах интервала ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может расходиться. Сходимость ряда при x R надо исследовать по какому

– либо признаку сходимости.

Для нахождения радиуса и интервала сходимости используют признак Даламбера, в редких случаях, признак Коши.

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда, через его коэффициенты.

Для данного ряда (1) составляется знакоположительный ряд

а	0				а				х				а	2		х2	...		а	n		хn	...	(2)
					1

в котором все коэффициенты an , по крайней мере с некоторого номера n , отличны от нуля.

К ряду (2) применим признак Даламбера:

lim

u

n 1

lim

an 1

xn 1

x

lim

a

n 1

x

M M '.

un

an

xn

an

n

n

n

х

M 1,

По признаку Даламбера,

если M 1, то ряд сходится, значит,

х

1

или

1

x

1

.

M

М

1

M

R -

1

;

1

Отсюда,

радиус

сходимости,

–

интервал

М

M M

сходимости ряда (1).

Имеем R lim аn .

n an 1

Для определения сходимости ряда на концах интервала в степенной ряд (1) вместо x подставляются числа, R и R . Получаем два числовых ряда, которые исследуются по известным признакам сходимости.

Пример 20.

Определить интервал сходимости ряда:

х х

2

х3

х4

n 1

xn

... ( 1)

...

1

22

32

42

n2

Решение.

xn

xn 1

n 1

n 1

un 1

;

un 1 1

.

n2

(n 1)2

u

n 1

xn 1n2

x

n

2

x

x

lim

lim

lim

1

- ряд сходится при

n

un

n (n 1)2 xn

n n 1

x

1, т.е. 1 x 1, R 1.

Исследуем ряд на концах интервала:

Пусть x 1, подставим это значение в данный ряд:

1

1

1

1

... ( 1)

n 1

1

... - знакочередующийся ряд.

1

22

32

n2

42

Исследуем его по признаку Лейбница:

11

1)1 2 32 ... - убывают.2

2) lim( 1)n 1	1	lim	1	0 – ряд сходится.	x 1 входит в интервал
	n2
n		n n2

сходимости.

Пусть x 1. Исследуем интегральным признаком:

b

dx

1

b

1

1

lim

lim

lim

1 - сходится, значит, ряд сходится.

2

b

1

x

b

x

1

b b

1

x 1 входит в интервал сходимости.

Окончательно, при всех

x 1;1 ряд сходится.

Замечание.

При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать

lim un 1 1 с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае

n un

рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости.

Степенной ряд общего вида

a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... an (x x0 )n

сводился к ряду (1) подстановкой

x x0 x'

и получали ряд an xn . Если

R – радиус сходимости этого ряда, то ряд сходится абсолютно при

х

R и

расходится

при

х

R .

Тогда

степенной

ряд общего

вида

сходится

абсолютно

при

х х0

R

и расходится при

х х0

R ,

где R – радиус

сходимости,

x0 R; x0

R – интервал сходимости, x0 – середина интервала.

Свойства степенных рядов.

Рассмотрим свойства на примере ряда a0 a1x a2 x2 ... an xn ....

1.	Если радиус сходимости степенного ряда (1) отличен от нуля, то
его сумма S(x) непрерывна на интервале сходимости R; R .
2.	Если радиус сходимости ряда a	0	a x a	2	x2	... a	n	xn ...
			1

отличен от нуля, то степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз внутри интервала сходимости. При этом интервал сходимости не изменяется.

3. Внутри интервала сходимости ряды можно складывать, вычитать, умножать, делить, умножать на число. Интервал сходимости должен быть общим для этих рядов.

3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Если функция f (x) в некоторой окрестности точки x0 допускает разложение в степенной ряд по степеням (x x0 ), то этот ряд называется рядом Тейлора функции f (x) в точке и имеет вид:

F(x) f0 (x) f (x0 )(x x0 )

f "(x0 )

(x x0 )2 ...

f (n) (x0 )

(x x0 )n ...

(1)

2!

n!

При x0 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.

В этом

случае

f (n) (0)

f "(0)

n

(2)

F(x) f0 (0) f (0)x

x ...

x

...

2!

n!

Но не всегда ряд Тейлора сходится к функции f (x) , для которой он

составлен.

Если S(x) f (x) в интервале сходимости x0

R; x0 R , где

S(x) –

сумма ряда Тейлора, то говорят,

что функция f (x)

разложена в ряд Тейлора

в окрестности точки x0 .

Так как определять сумму ряда достаточно сложно, то можно использовать признак разложимости функции в ряд Тейлора:

Чтобы ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f (x) сходился к этой функции, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член

формулы Тейлора		R	n		стремился к нулю при				n ,	lim R (x) 0 для всех
										n n
значений x из интервала сходимости ряда.
Rn (x)	f n 1	( )		x x0		n 1	, где x0	: x	- остаточный член в форме

(n 1)

Лагранжа.

Rn (x) 0((x x0 )n ) , x x0 – остаточный член в форме Пеано.

Аналогично работает признак для ряда Маклорена. Но на практике чаще используется более удобный признак.

Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.

Если для любых х x x0 R; x0 R все производные функции f (x) ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции f (x) в интервале х х0 R .

3 . 1. Разложение элементарных функций в ряд.

При представлении элементарной функции в виде суммы ряда обычно поступают следующим образом:

1.вычисляют последовательные производные данной функции в точке x a

2.составляют ряд и определяют промежуток сходимости полученного ряда.

В этом промежутке ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей его функции f (x) , если только все значения f (a) , f '(a) , …, f (n) (a)

получаются непосредственной подстановкой значения x a в выражения f (x) , f '(x) , …, f (n) (x) .

Получим разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

f "(0)

f (n) (0)

n

F(x) f0 (0)

f (0)x

x ...

x

...

2!

n!

3.1.1. f (x) ex

f (x) f '(x) f "(x) ... f (n) (x) ex

f (0) f '(0) f "(0) ... f (n) (0) e0

1

Подставим в ряд Маклорена, получим:

ex 1 x

x2

x3

...

xn

...

2!

3!

n!

Определим

радиус

сходимости

полученного ряда

Даламбера:

1

lim

u

n

lim

xn 1

:

xn

lim

x

R

un 1

(n 1)!

n!

n 1

n

n

n

по признаку

	x
	0 ,

lim (n 1)

n

значит, интервал сходимости полученного ряда ; .
Пусть А – сколь угодно большое положительное число,		такое, что
f (n) (x) ex eA при	x A , тогда, по достаточному	признаку

разложения функции, функция ex разложима в ряд Маклорена при любом x R .

3.1.2. f (x) sin x

2

f '(x) cos x sin

x ,

f "(x) sin x sin

x ,

2

2

3

n

x

, …,

f (n)(x) sin

x

f (x) cos x sin

2

2

f (0) 0,

f '(0) 1, f "(0) 0

, f

f

(n)

n

(0) 1, …,

(0) sin

2

Подставим значения в ряд Маклорена:

sin x

x x3

x5

n 1

x2n 1

( 1)

3!

5!

1!

(2n 1)!

Определим радиус сходимости:

R lim

(2(n 1) 1)

lim

(2n 3)

lim

(2n 1)(2n 2)(2n 3)

n

(2n 1)

n (2n 1)

n

(2n 1)

; – интервал сходимости.

Т.к. интервал сходимости ряда совпадает с областью определения функции, то разложение в ряд может «заменять» функцию при интегрировании и дифференцировании, с учетом ограничений, накладываемых этими операциями (например: область интегрирования должна лежать внутри интервала сходимости).

3.1.3. f (x) cos x

f '(x) sin x ,

f "(x) cos x ,

f

(x) sin x , …

f (0) 1,

f '(0) 0 ,

f "(0) 1,

f

(0) 0, …

Подставим значения в ряд Маклорена:

cos x 1

x2

x4

x6

n

x2n

( 1)

2!

4!

6!

(2n)!

Так же как и в случае с функцией sin x , интервал сходимости ряда -

; .

Кроме того, данное разложение можно получить из разложения функции sin x почленным дифференцированием.

3.1.4. f (x) ln(1 x)

Эту функцию можно определить как интеграл:

x

dt

1

ln(1 x)

.

Но

-

можно

считать

суммой

бесконечно

0 1 t

1 t

1

убывающей прогрессии с b 1 и q t :

1 t t2

t3 ... 1 n tn

...,

1

1 t

тогда

x

x

dt

ln(1 x)

(1 t t 2

t3 ... ( 1)n tn

...)dt

0

1 t

0

t2 t3

t4

n

tn 1

x

x2

x3

n

xn 1

x

... ( 1)

... ( 1)

...

t

n 1

...

2 3 4

0

2

3

n 1

n xn 1

ln(1 x) 1

n 1

n 1

an

n 2

Определим

радиус сходимости:

R lim

lim

1, интервал

n an 1

n n 1

сходимости 1; 1 . Проверим сходимость ряда на концах интервала:

x 1

ln(1 1) ln 0

– не существует.

x 1

ln 2 1

1

1

... 1 n

1

...

2

3

n 1

По признаку Лейбница:

1.

1

1

1

... - убывает.

2

3

1

2.

lim an

lim

0

–

ряд

сходится, значит,

x 1 входит в

n

n 1 n

интервал сходимости.

n 1

n 1

x

2

x

3

x

x

на 1; 1 .

ln(1 x) x

... ( 1)n

... ( 1)n

3

n 1

2

n 1

n 1

3.1.5.

f (x) (1 x)m

f '(x) m(1 x)m 1 , f "(x) m m 1 (1 x)m 2 , …,

f (n) (x) m m 1 ... m n 1 (1 x)m n 1

f (n) (x) m m 1 ... m n 1 .

f (0) 1, f '(0) m,

f "(0) m m 1 ,…,

Подставляя в ряд Маклорена, получим

(1 x)m 1

m

x

m(m 1)

x2

m(m 1)(m 2)

x3

1!

2!

3!

m(m 1)(m 2)...(m n 1)

xn

n!

Если m – целое положительное число, то при

n m 1 множитель

m n 1 равен нулю и,

следовательно,

ряд оборвется:

вместо бесконечного

разложения получится конечная сумма, совпадающая с выражением для

бинома Ньютона: Cnk xk .

Биноминальный ряд сходится внутри интервала 1 x 1 и расходится вне его. Сходимость для x 1 и x 1 исследуется для каждого случая отдельно.

1 x n	1 nx	n(n 1)	x2	... xn Cnk xk
	2

3.1.6. f (x) arctgx

Используем биноминальный ряд с m 1, получим:

		1	1 x x2	x3 ... при				x ( 1; 1) .
	1 х					1
	Заменим "x" на "x2":							1 x2 x4	x6	....
					1 х

x

dx

x

Проинтегрируем ряд: arctgx

(1 x2

x4 x6

...)dx

1 x

2

x3

x5

x7

0

0

x

...

3

5

7

x3

x5

x7

Окончательно,

arctgx x

... на 1; 1 .

3

5

7

Для разложения функции в ряд Тейлора (Маклорена) можно использовать известные разложения в ряд. При этом возможно использование следующих действий над степенными рядами внутри их промежутков сходимости:

1.два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по правилу умножения многочленов);

2.степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;

3.степенной ряд можно почленно интегрировать и

дифференцировать любое число раз.

Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в результате указанных действий разложение будет искомым.

Пример 21.

1

Разложить в ряд Тейлора функцию f (x)

,

при x 2.

Решение.

x

1. вычисляем значения функции и ее производных при x 2:

f

(x) x

1

,

f '(x) x

2

,

f "(x) 1 2x

3

,

f

4

,

(x) 1 2 3x

f

5

,

f

(n)

n

n!x

n 1

'(x) 1 2 3 4x

(x) 1

f

1

, f '( 2)

1!

2!

3!

IV

4!

( 2)

2

2 ,

f "( 2) 23 ,

f ( 2) 24

,

f

( 2)

25

,

f IV ( 2)

n!

.

2n 1

Подставляем эти данные в ряд Тейлора для произвольной функции, получим:

1				1		1				(x 2)				2(x 2)2				3(x 2)3						n(n 2)n
																							...			...
x				2										23 2					2					2n 1
								22 1													4	3			n
	1						x 2				(x 2)		2		(x	2)			n
														...
												2					n
	2		1			2					2					2					...

2. Далее исследуем сходимость полученного ряда по признаку

	Даламбера: un	x 2 n	, un 1	x 2 n 1	.
		2n		2n 1

lim

un 1

lim

x 2

n 1

2

n

lim

x 2

x 2

.

un

x 2 n

2

n

n

2n 1

n 2

x 2 1. Решая это неравенство, находим интервал 4 x 0.

Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд x 4, а затем x 0, получим числовые ряды 1 1 1 1 ... и 1 1 1 1 ..., которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости

ряда lim1 0 .

n

Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть 4; 0 . Исследуя остаточный член формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной функции.

Пример 22.

Разложить по степеням "х" (т.е. в ряд Маклорена) функцию f (x) cos2 x .

Решение.

f (x) cos2 x 1 cos2x 1 1 cos 2x . 2 2

Поэтому достаточно разложить в ряд функцию cos2x . Чтобы получить разложение для cos2x , в известном разложении заменим "х" на "2х":

cos2x 1

22 x2

24 x4

26 x6

( 1)

n 22n x2n

,

x .

2!

4!

(2n)!

6!

Это разложение справедливо,

как и в случае cos x , для всех значений

"х". В итоге получим:

2

1

22 x2

24 x4

26 x6

n

22n x2n

cos x

( 1)

2

1 1

2!

4!

6!

(2n)!

1

22 x2

24 x4

26 x6

n 22n x2n

( 1)

2

2

2!

4!

6!

(2n)!

1	2x2		23 x4			25 x6	( 1)n	22n 1 x2n	при любом х.
						6!		(2n)!
2!		4!
Пример 23.						степеням "х"
Разложить				по				(т.е. в	ряд	Маклорена) функцию
f (x) e x sin x .
Решение.
Ряд для e x				получается из ряда для функции ex						заменой «х» на «-х» и

абсолютно сходится на всей числовой прямой. Ряд для sin x также абсолютно сходится на всей числовой прямой. Поэтому, чтобы получить разложение