Ряды

1. Числовые ряды.

Числовым рядом называется выражение вида u1 u2 ... un ..., где числа u1 , u2 ,...un ,... называются членами ряда, образуют бесконечную последовательность.

Члены ряда могут обозначать числа, функции, векторы, матрицы и т.п. Очень часто ряд записывается в сокращенной форме:

u1 u2 ... un ... un

(1)

Многоточие в конце записи указывает на то, что в выражении (1) нет последнего слагаемого. Т.о., ряд есть «бесконечная» сумма.

Примеры числовых рядов.

1.1 2 4 8 ... 2n 1 .

2.	1	1		1			1	...			1		...
											2n 1
	3		5		7
Ряд считается заданным, если														известен				его		общий		член un f (n)
n 1,2,..., т.е. задана функция											f (n)		натурального аргумента. Например, ряд с
общим членом un						1 n 1								1				1		1			1 n 1
										имеет вид											...			....
						n2 n 1									12 2		22 3			32 4			n2 n 1

Более сложной является задача: по нескольким первым членом написать общий член. Это задача имеет бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное решение.

Пример 1. Найти в простейшей форме общий член ряда: 2 4 6 ...

5 9 13

		Решение.
		Нетрудно убедиться, что для ряда		2		4			6	..., общий член ряда
								13
	5				9
un		2n	.
		4n 1

Пример 2. Найти в простейшей форме общий член ряда:

1)3 8 15 24 ...

5 10 17 26

Решение.											1 n 1 n 1 2 1
3			8 15					24	..., общий член ряда un
Для ряда													.
								26			n 1 2
5			10 17									1

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных

сумм S1 u1 ,

S2 u1

u2 ,

S3 u1

u2

u3 , …,

Sn u1

u2

... un при

n имеет конечный предел lim Sn S . Этот предел называется суммой

n

сходящегося ряда. Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с b1 и q :

b1 b1q b1q2 ... b1qn 1 b1qn 1 – геометрический ряд.

Сумма n членов геометрической прогрессии равна:

Sn b1(1 qn ) , q 1.

1 q

При q 1,

b (1 qn )

b

b qn

b

b qn

lim S

n

lim

1

lim

1

1

1

lim

1

n

n

1 q

1 q

1 q

n

1 q

n

1 q

b1

lim

b1

b1

1 q

1 q

n q n (1 q)

Отсюда, S b1 - сходится.

1 q

При q 1,

lim Sn lim						b (1 qn )
						1							- ряд расходится.
								1 q
n			n
Пример 3. Найти сумму ряда																		1				1			1				1			...
Решение.															3				9				27				81
S	1	;	S				1		1		4		; S			1				1				1				13		; S					1		1		1		1		40	и
											9																										9						81
1	3			2		3		9						3	3				9				27				27						4	3				27		81

т.д. Заметим, что все частичные суммы при увеличении числа n

приближаются к	1	. Поэтому, можно считать S	1	и ряд сходящийся.
2		2

Пример 4. Найти сумму ряда 1 – 1 + 1 – 1 + …

Решение.

S1 1; S1 0 ; S1 1, … , т.е. сумма не определена, следовательно, ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд u1 u2 ... un ... сходится и имеет сумму S , то и рядu1 u2 ... un ... (полученный умножением данного ряда на число ) также сходится и имеет сумму S .

2. Если ряды a1 a2		... an ... и	b1 b2 ...	bn ... сходятся и их
суммы соответственно Sa	и	S b , то ряд:	a1 b1 a2 b2		... an bn ...

также сходится, а сумма его равна Sa Sb .

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

1 . 1 . Необходимый признак сходимости рядов .

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член un при

неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: lim un 0 - это

n

необходимый признак сходимости ряда.

Если же lim un 0 , то ряд расходится – это достаточный признак

n

расходимости ряда.

	Пример 5. Дан ряд 1																	1		1					1	...	1		.... Установить сходимость
																		2		3							2n 1
ряда.																								8
	Решение.
	Ряд				1	1				1			1	...					1		...					сходится,			т.к. составлен из				членов
																		2n 1
					2			3 8
бесконечно убывающей															геометрической												прогрессии,				у	которой	сумма
S	1			2 существует.
	1	1
	2																														1
	Найдем предел общего члена ряда при n lim																															0.
																													n 2n 1
	Пример 6. Дан ряд																	n				. Доказать, что он расходится.
	Решение.														n 1 3n 1
	Для доказательства найдем предел общего члена ряда при n .
	lim				n				1		0 .
	n 3n 1							3

Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно данный ряд расходится.

Выявление сходимости рядов необходимо для того, чтобы выполнять действия над рядами. Только над сходящимися рядами можно выполнять определенные действия. Т.к. нахождение предела частичных сумм достаточно сложно, то сходимость рядов определяют другими методами.

Для выяснения вопроса о сходимости рядов с положительными членами применяются достаточные признаки сходимости.

1 . 2. Знакоположительные ряды . Признаки сходимости .

Ряд называется знакоположительным, если все его члены положительны, ai 0 .

Для таких рядов существуют следующие достаточные условия сходимости ряда, т.е. признаки сходимости:

1.2.1. Признак сравнения.

Даны два ряда с положительными членами: a1 a2 ... an ... (1) и b1 b2 ... bn ... (2) так, что an bn , т.е. каждый член (1)-го ряда не превосходит соответствующего члена (2)-го ряда. Тогда, если сходится ряд (2), то сходится ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Замечания.

1.остальные ситуации, ответов о сходимости не дают.

2.Этот признак работает, даже если условие an bn начинает

выполняться с некоторого номера n .

3. Этим признаком пользуются, сравнивая данный ряд с рядом, сходимость которого известна.

Такими рядами являются:

1

а) гармонический ряд n p , p R - обобщенный гармонический ряд:

-p 1 1n - гармонический ряд расходится.

-p 0 , тогда не выполняется необходимый признак сходимости,

значит, ряд – расходится.

-p 1 ряд расходится.

-p 1 ряд сходится.

б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии b1qn 1

-при q 1 ряд сходится

-при q 1 ряд расходится.

Со сходящимися рядами можно выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Они выполняются как действия над многочленами.

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный ряд», но и доказать неравенство an bn , для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т.п.). В ряде случаев более простым оказывается предельный признак сравнения.

Предельный признак сравнения.

Если un и vn - ряды с положительными членами и существует

n 1 n 1

конечный

предел отношения

их общих членов

lim

un

k 0 ,

то

ряды

одновременно сходятся, либо расходятся.

n vn

Пример 7.

2n2

5

Исследовать сходимость ряда признаком сравнения:

.

n

3

Решение.

n 1

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим (выбор такого

ряда для

сравнения может

подсказать

то, что

при

больших

n

дробь

2n2 5

2

). Поэтому,

по

признаку

сравнения

данный

ряд,

как и

n3

n

гармонический, является расходящимся.

Пример 8.

1

Исследовать сходимость ряда признаком сравнения:

.

n

Решение.

n 1 3

n

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии,

1

1

1

где a

, q

, т.е. ряд

.

n

3

3

n 1

3

Так как q 1, то сумма членов геометрической прогрессии при n

1

имеет предел, т.е. ряд

сходится.

n

n 1

3

1

1

Сравним соответствующие члены обоих рядов:

.

3n

Члены исследуемого ряда, начиная с n 2,

n

3n

меньше соответствующих

1

членов сходящегося ряда, следовательно, ряд

сходится.

n

n 1 3

n

Пример 9.

1

Исследовать сходимость ряда признаком сравнения: n 2 ln n .

	Решение.
		1					1				1		1
	Сравним данный ряд		с гармоническим рядом 1									...		....
	n 2 ln n			1		1	2				3		n
	Для всех n 2 выполняется неравенство						. Так как гармонический ряд
				ln n		n

расходится, то и данный ряд расходится.

1.2.2. Признак Даламбера. (Д`Аламбера).

Этот признак является весьма удобным на практике, наиболее часто используемый студентами.

Если для ряда a1 a2 ... an ... существует предел lim an 1 M ,

n an

то этот ряд сходится при M 1 и расходится при M 1, при M 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым, поэтому необходим другой признак.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда:

1

1

1

...

1

...

3

2

3

n

Решение.

2 3

3 3

n 3

1

an

1

; an 1

. Поэтому, по признаку Даламбера:

n 3n

(n 1)3n 1

lim

a

n 1

lim

n 3n

1

lim

n

1

1

1

1, следовательно, ряд сходится.

3

n an

n (n 1)3n 1 3

n 1 3

Пример 11. Исследовать сходимость ряда:

1

1 2

1 2 3

...

5

Решение.

52

53

an

1 2 3 ... n

;

an 1

1 2 3 ... n (n 1)

,

поэтому,

по признаку

Даламбера:

5n

5n 1

1 2 3 ... n(n 1)5n

lim

an 1

lim

1

lim n 1 ,

следовательно,

ряд

n an

n

5n 1

1 2 3 ... n

5 n

расходящийся.

2

n

Пример 12. Исследовать сходимость ряда:

n!

n 1

Решение.

un

2n

, un 1

2n 1

.

n!

n 1 !

a

n 1

2n 1

n!

2

По признаку Даламбера: lim

lim

lim

0 .

n an

n n 1 ! 2n

n n 1

Замечание: Если lim an 1 , то ряд расходится.

n an

1.2.3. Радикальный признак Коши.

Если для ряда a		a	2	... a		n	... существует предел	lim n a	n	L , то
	1							n
при L 1	ряд сходится, при L 1				- расходится, при L 1 необходим другой
признак.

3n 1 n

Пример 13. Исследовать ряд на сходимость: 5n 2

Решение.

lim n

lim

3n 1

3

1 – ряд сходится.

an

n

n 5n 2

5

1.2.4. Интегральный признак Коши.

Если функция y f (x)

непрерывна, монотонно убывающая при

x 1,

т.е a1 a2 ... an ... и такая, что

f (n) an

при n N ,

где an – члены ряда

a1 a2 ... an ...,

то данный ряд сходится или расходится, в зависимости,

от сходимости несобственного интеграла f (x)dx .

1

1

2

3

n

Пример 14. Исследовать ряд на сходимость

...

....

n2 5

Решение.

6

9

14

n

x

Здесь

общий

член

ряда

un

. f (x)

, непрерывна и

n2 5

x2

5

1

2

3

x

убывающая, т.к.

...

....

6

9

14

x2 5

b

xdx

xdx

Применим интегральный признак сходимости

lim

2

x

2

b

1

x

5

b

1

5

1

1

lim

ln x2

5

lim

ln b2

5 ln 6 .

2

b

1

2 b

Таким образом, данный ряд расходится.

1

Пример 15. Исследовать ряд на сходимость

.

(3n 2)

2

Решение.

n 1

1

f (x)

(3х 2)2

Непрерывна и убывающая при x 1.

b

dx

b

2

3x 2 1

1

b

lim

3x 2

dx

lim

lim

2

1

1

(3x

2)

b

1

b

1

b

3x 2

1

1

1

1

lim

lim

1 1 - сходится.

3b 2

b

3 1 2

b 3b 2

1 . 3. Знакочередующиеся ряды .

Если два стоящих рядом члена ряда имеют разные знаки, то ряд называется знакочередующимся. Его вид: a1 a2 a3 ... 1 n 1 an ...

Вопрос о сходимости знакочередующегося ряда решается с помощью следующего признака:

Теорема. (Признак Лейбница).				... 1 n 1 a
Если члены знакочередующегося ряда a	a	2	a		n	...
1			3

удовлетворяют условиям:

1.an an 1, n N , т.е. члены ряда не возрастают по абсолютной

величине: a1 a2 a3 ... 1 n 1 an ....

2. lim an 0 , то данный ряд сходится, а его сумма не превосходит

n

первого члена S u1 .

Замечание: если хотя бы одно условие признака Лейбница не выполняется, то ряд расходится.

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой его нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.

Следствие.

Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда:

un 1

Пример 15.
Исследовать на сходимость ряд:	1		1			1	... ( 1)n 1	1	...
					16			(n 1)2
4		9

Решение.

Ряд знакочередующийся. Проверим выполнимость условий:

1.1 1 1 ...- убывают

	4	9	16
2.	lim		1	0 . Оба условия выполняются, следовательно, ряд
	n (n 1)2

сходится.

Пример 16.

Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда

1	1		1		1	... 1 n 1	1	... суммой четырех первых членов.
							n
2		3		4

Решение.

Данный ряд сходится. Ошибка 4 , получающаяся при замене суммой этого ряда суммой четырех первых членов, меньше абсолютной величины пятого члена, т.е. 4 0,2 .

Пример 17.

1

n 1

Какое число членов ряда

надо взять, чтобы вычислить его с

n

2

точностью до 0,001?

n 1

Решение.

0,001. Учитывая следствие теоремы Лейбница,

По условию,

n

запишем более строгое неравенство

un 1

0,001 или 1 n 1 0,001, откуда

n2

n 1 2 1000 и n 1000 1 или n 30,6, т.е. необходимо взять не менее 31 члена ряда.

Следствие: если знакочередующийся ряд сходится, то остаток этого

ряда r 1 n a	n 1	1 an 1a	n 2	... также сходится и удовлетворяет
n

неравенству: rn an 1.

1 . 4. Знакопеременные ряды . Абсолютная и условная сходимость зна копеременного ряда.

Если члены числового ряда имеют различные знаки, то ряд называется

знакопеременным.

Рассмотрим сходящийся знакопеременный ряд	a1 a2	...	an	...
(1), у которого члены ai – различных знаков.

Признак сходимости знакопеременного ряда.

Если ряд

а1

а2

...

an

...

(2) - знакоположительный ряд,

составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) тоже сходится.

Знакопеременный ряд a1 a2 ...

an ...

называется абсолютно

сходящимся, если сходится ряд а1 а2 ... an ..., составленный из

абсолютных величин членов ряда.

Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Абсолютно и условно сходящиеся ряды обладают различными свойствами.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1.

Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не нарушает

его сходимости.

a1 a2 ... an

...

b1 b2

... bn ...

2.

Если

и

-

абсолютно

сходящиеся

ряды

с

суммами,

Sa

и

Sb

соответственно,

то

ряд:

a1 b1 a2 b2 ... an

bn ... также абсолютно сходящийся, а сумма его

равна Sa Sb .

3.

Если a1 a2

... an ...

и

b1 b2

... bn ...

-

абсолютно

сходящиеся

ряды

с

суммами

Sa

и

Sb

соответственно, то

ряд:

a1 a2 ... an ... b1 b2 ... bn ... – также абсолютно сходящийся с суммой Sa Sb .

Свойства условно сходящихся рядов.

Перестановка членов условно сходящегося ряда может изменить сумму ряда и даже сделать его расходящимся.

Теорема Римана.

При перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Пример 18.