Ряды

функции f (x) e x sin x

в

ряд,

достаточно

перемножить

абсолютно

сходящиеся ряды для f1(x) e x и

f2 (x) sin x .

x

x

2

x

3

x

3

x

5

x

2

1

x3

3

x5 ...

e x sinx 1

... x

...

x

1!

2!

3!

3!

5!

1!

3!

40

Полученный ряд по теореме умножения абсолютно сходящихся рядов абсолютно сходится на всей числовой прямой к функции f (x) e x sin x .

Пример 24.

1

Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) 1 x2 .

Решение.

В этом примере тоже можно избежать вычисления производных и

нахождения их значения при х 0, действительно,	f (x)	1	. Эту
		1 x2

функцию можно рассматривать как сумму геометрической прогрессии,

первый член которой равен единице,

а знаменатель

q x2 , поэтому при

x2

1, т.е. при

x

1,

f (x)

1

1 x2

x4 x6

... 1 n x2n 1 ....

1 x2

Пример 25.

2x 1

Разложить в ряд по степеням "х" функцию

f (x)

.

Решение.

x2 3x 2

Разложим дробь на простейшие. Корни знаменателя соответственно

равны 1 и 2. Поэтому

2x 1

2x 1

A

B

. Вычисляем А

x2 3x 2

x 1 x 2

x 1

x 2

и В:

A 1, B 3. Следовательно

2x 1

2x 1

1

3

x2 3x 2

x 1 x 2

1

3

x 1

x 2

.

1 x

2 x

Снова воспользуемся формулой бесконечно убывающей прогрессии:

1		1 x2				x3				... xn			...,				x				1
1 x
														x x2								x3			xn					x
3			3			1					3
																																1.
2 x			2				x				2	1	2			2		2				2	3	...	2	n	...	,		2
				1
						2

При x 1 оба вспомогательных ряда будут сходиться и их можно сложить. В итоге получим (при x 1):

2x 1		3			3		1			3		1		2		3		1		n
	1			1				x 1					x		... 1				x		...
x2 3x 2		2			2		2			2		22				2		2n

4. Приложения степенных рядов.

4 . 1. Приближенное вычисление значений функций .

Задача.

Найти приближенное значение функции f (x) в точке x0 с заданной степенью точности .

Решение.

Разложим функцию f (x) в ряд по степеням (x x1) с интервалом сходимости, содержащим точку x0 , где x1 – точка, в которой значения функции и ее производных легко вычисляются, давая точные значения.

Переменной "x" даем значение x0 и в числовом ряду an x0 x1 n

оставим только те члены, которые гарантируют заданную точность. Число таких членов определяется:

1. если ряд знакоположительный, то с помощью остаточного члена формулы Тейлора Rn (x0 )

Rn (x0 ) f (n 1) ( ) x0 , (x0 ; x)

(n 1)

2. если ряд знакочередующийся, то с помощью остатка ряда Тейлора rn (x0 ) , rn (x0 ) un 1 (x0 )

Пример 26.

Вычислить sin 200 с точностью 0,0001.

					Решение.																								( 1)n
					200						1800									и			sin x										x2n 1 -		знакочередующийся ряд.
												9
																9												(2n 1)
																															( )2(n 1) 1						( )2n 3
	r (x				)		u					(x			),					x				,		r	(			)		9			0,0001	,		9			0,0001.
	n		0							n 1				0								9				n			9 (2(n 1) 1)								(2n 3)
																n 1 получим
Подбором, при																											0,00004 0,0001 - выполняется.													Тогда, sin
												3
																						3
sin												9													0,34181.
		9										3									729 6
					9											9

Пример 27.

				Вычислить ln 0,8 с точностью до 0,0001.
				Решение.																					x2			x3					xn 1
				Для вычисления ln 0,8 запишем ряд ln(1 x) x																										... ( 1)n						...
																																n 1
																							2			3
при x 0,2 , входящем в область сходимости ряда 1; 1 :
			ln 0,8 0,2						0,22				0,23		...		0,2n			... 0,2 0,02 0,00266 0,0004 ...
																	n
							2				3
если в качестве ln 0,8												взять первые четыре члена, мы допустим погрешность
	r		0,25		0,2		6					0,2n				0,25				0,26			0,2n			0,25					1
								...						...								...		...
																															1 0,2
	n		5		6								n			5				6			5			5

0,00008 0,0001

Итак, ln 0,8 0,2 0,02 0,00266 0,0004 0,22306 0,2231.

Пример 28.

Вычислить 536 с точностью до 0,0001.

Решение.

																																							1										1
																																				1
																																									5
		Представим							5 36						в				виде 5			36 5 32 4 2 1																	.					Так		как			x
																																			8
																																																	8
входит в область сходимости степенного ряда 1; 1 ,																																				то при									x		1	,	m	1		,
													m						m(m 1)											m(m 1)(m 2)																8			5
учитывая (1 x)m 1															x										x2													x3
											1!							2!														3!
			m(m 1)(m 2)...(m n 1)																		xn	, получим:
									n!
									1		1														1			1				1
				1 1									1					1											1 ...					n 1					1
5									5		5														5			5				5
	36 2 1			5		8					2!							82		...											n!									8n				...

2 0,05 0,0025 0,000188 0,000016 ... 2,0477

Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность rn 0,000016 0,0001.

4 . 2. Приближ енное вычисление определенных интегралов.

Многие определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, могут быть вычислены с помощью рядов. Отрезок интегрирования должен находиться внутри интервала сходимости ряда.

Пример 29.

																	1
																			2sin x
				Вычислить																						dx c точностью 0,001.
																							x
																	0
				Решение.
				sin x					x					х3									х	5						х	7			x R ,		sin x							x2				x4					x6
																																...,								1															.... Отсюда,
															3							5							7							x						3
																																														5			7										1
1									1							x2								x4							x6									x3						x5				1 x7
2 sin x									2																												1					1																2
				dx
									1																								... dx		x																					...
0			x						0								3							5							7						3 3					5 5 7 7																0
	1			1			1			1					1								1						1			....

29 8 25 32 49 128

Вычисляя члены этого ряда с точностью 0,001, замечаем, что пятый

член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, для решения этой задачи, согласно признаку Лейбница, надо взять сумму первых

1

2 sin x

четырех членов, что обеспечит требуемую точность x dx 0,0011.

0

4 . 3 . Приближенное вычисление дифференци альных уравнений.

Пример 30.

Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции y(x) , являющейся частным решением

дифференциального уравнения y' x x2 y2 cos x , если y(0) 1.

Решение.			что y(x) является решением данного дифференциального
Положим,
уравнения	при		указанных			начальных			условиях. Если	y(x) допускает
разложение			в			ряд			Маклорена,	то	имеем
y(x) y(0)		y'(0)	x	y"(0)	x2		y (0)	x3 ....
	1!		2!			3!			y(0), дан по условию. Чтобы найти
Свободный член разложения, т.е.
значения	y'(0),									последовательно
			y"(0), y (0)..., можно данное уравнение

дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения

производных при x 0.
Значения y'(0) получаем,		подставив начальные условия в данное
уравнение:
y'(0) 0 0 1 1 0	y'(0) 0
y" 1 2x 2yy' sin x
y"(0) 1 2 0 2 1 0 0 1		y"(0) 1

y 0 2 2 y' 2 2yy" cos x

y (0) 0 2 2 0 2 1 1 1 1 y							(0) 1
Подставив		найденные			значения		производных при x 0 в ряд
y(x) y(0)	y'(0)	x	y"(0)	x2	y (0)	x3 ...,	получим разложение искомого
					3!
1!		2!

частного заданного уравнения: y(x) 1 0 x 1 x2 1x3 ....

1! 2! 3!