Вариант 7
.docx7.1.7
Решить дифференциальные уравнения первого порядка
Решение:
7.2.7
Решить дифференциальные уравнения второго порядка
Решение:
7.3.7
Решить систему уравнений:
Решение:
8.1.7 В студии 3 телекамеры. Для первой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,7, для второй – 0,8, для третьей – 0,6.
Найти вероятность того, что в данный момент
А) включены все камеры
Б) включена хотя бы одна камера.
Решение:
А) включены все камеры
Б) включена хотя бы одна камера.
8.2.7 Какова вероятность, что из 630 служащих компании не более ста родились в понедельник?
Решение:
Можно считать, что вероятность родиться в понедельник, равна 1/7.
Тогда
Задание № 8.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Необходимо: 1) построить полигон распределения; 2) найти функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти числовые характеристики случайной величины Х (математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)).
X |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
P |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0.1 |
Решение:
1) построить полигон распределения;
2) найти функцию распределения F(x) и построить ее график;
3) найти числовые характеристики случайной величины Х (математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)).
Задание № 8.4. Непрерывная случайная величина заданна интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
1) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности)
2) математическое ожидание М(Х)
3) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
4) вероятность попадания заданной случайной величины Х в данный интервал, т.е. P(α<X<β).
Построить на разных чертежах графики интегральной и дифференциальной функций распределения.
Решение:
1) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности)
2) математическое ожидание М(Х)
3) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
4) вероятность попадания заданной случайной величины Х в данный интервал, т.е. P(α<X<β).
График интегральной функции:
Задание № 9.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов , вторая строка – соответствующие им частоты .
Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:
1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения .
2) Построить полигон и гистограмму относительных частот.
3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю , выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленное среднее квадратическое отклонение .
4) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.
5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости .
6) В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального распределения ( доверительную вероятность принять равной ).
Вычисления проводить с точностью до 0,001.
X |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
N |
5 |
11 |
17 |
23 |
21 |
12 |
8 |
3 |
Решение:
-
Построить выборочную эмпирическую функцию распределения
X |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
N |
5 |
11 |
17 |
23 |
21 |
12 |
8 |
3 |
P |
0.05 |
0.11 |
0.17 |
0.23 |
0.21 |
0.12 |
0.08 |
0.03 |
-
Построить гистограмму относительных частот
-
Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленное среднее квадратическое отклонение
Вычисления занесем в таблиц. Некоторые данные пригодятся в дальнейшем.
i |
xi |
n |
xi*n |
n(x-xср)^2 |
ui |
ni* |
||
1 |
-3 |
5 |
-15 |
481,1805 |
-1,92731 |
0,0632 |
3,72248 |
0,438433 |
2 |
0 |
11 |
0 |
510,1371 |
-1,33792 |
0,1647 |
9,70083 |
0,17399 |
3 |
3 |
17 |
51 |
246,7737 |
-0,74853 |
0,3034 |
17,87026 |
0,042381 |
4 |
6 |
23 |
138 |
15,0903 |
-0,15914 |
0,3939 |
23,20071 |
0,001736 |
5 |
9 |
21 |
189 |
100,7181 |
0,430255 |
0,3637 |
21,42193 |
0,00831 |
6 |
12 |
12 |
144 |
323,2332 |
1,019646 |
0,2371 |
13,96519 |
0,276543 |
7 |
15 |
8 |
120 |
536,6088 |
1,609037 |
0,1109 |
6,53201 |
0,329913 |
8 |
18 |
3 |
54 |
375,6483 |
2,198428 |
0,0363 |
2,13807 |
0,347474 |
Сумма |
|
100 |
681 |
2589,39 |
|
|
|
1,618779 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
6,81 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
25,8939 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
5,088605 |
|
|
|
|
|
|
-
Считая, что данная выборка принадлежит нормальной совокупности, написать уравнение выравнивающей теоретической кривой и вычислить теоретические частоты, построить по точкам на одном чертеже с полигоном частот.
-
Проверить для уровня значимости 0,05 по критерию согласия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
Уровень значимости возьмем равным .
.
, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.
-
В случае принятия гипотезы о нормальном распределении найти с вероятностью 0,95 интервальные оценки параметров генеральной совокупности
Из соотношения Ф(t)=0.95/2=0.475 находим t=2.
Получаем доверительный интервал:
Задание № 9.2. Данные n наблюдений над количественными признаками X и Y занесены в корреляционную таблицу. Требуется по данным корреляционной таблицы найти выборочный коэффициент корреляции rв, записать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X и X на Y, построить их графики на одном чертеже. Вычисления проводить с точностью до 0,001.
|
5 |
9 |
13 |
17 |
|
5 |
3 |
8 |
|
|
11 |
15 |
|
10 |
14 |
|
24 |
25 |
|
|
9 |
|
9 |
35 |
|
|
5 |
1 |
6 |
|
3 |
18 |
28 |
1 |
50 |
Решение:
Условные средние:
Теснота линейной связи между признаками:
X |
nx |
x*nx |
x^2*nx |
y |
x*nx*y |
5 |
3 |
15 |
75 |
5 |
75 |
9 |
18 |
162 |
1458 |
10,556 |
1710,072 |
13 |
28 |
364 |
4732 |
21,786 |
7930,104 |
17 |
1 |
17 |
289 |
35 |
595 |
сумма |
50 |
558 |
6554 |
72,342 |
10310,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
ny |
y*ny |
y^2*ny |
x |
y*ny*x |
5 |
11 |
55 |
275 |
7,909 |
434,995 |
15 |
24 |
360 |
5400 |
11,333 |
4079,88 |
25 |
9 |
225 |
5625 |
13 |
2925 |
35 |
6 |
210 |
7350 |
13,667 |
2870,07 |
сумма |
50 |
850 |
18650 |
45,909 |
10309,95 |
т.к r > 0, то связь прямая, то есть с ростом Х растет Y.
Найдем уравнения регрессии: