§3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) и все возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиной и в каждом из них выберем произвольную точку. Напомним, чтоприближенно равно вероятности попаданияХ в интервал , поэтому по аналогии с математическим ожиданием дискретной случайной величины составим сумму произведений значенийна вероятности попадания их в интервал:. Перейдем к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл, который и называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл
M(X) =
Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x):
№ |
Плотность распределения f(x) |
Математическое ожидание M(X) |
1
|
M(X) = 1,5
| |
2 |
| |
3
|
| |
4 |
|
Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x):
№ |
Функция распределения F(x) |
Плотность распределения f(x)= |
Математическое ожидание M(X) |
1 |
M(X) = 0,5
| ||
2 |
|
|
|
Дисперсией непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют математическое ожидание квадрата ее отклонения: D(X) =
Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины Х, называют корень квадратный из ее дисперсии:
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной плотностью распределения f(x).
№ |
f(x) |
M(X) |
D(X) | |
1 |
|
|
0,24 | |
2 |
|
|
| |
3 |
|
|
|
Легко получить еще одну формулу для вычисления дисперсии: D(X) =
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения F(x):
|
1
|
2 |
F(x) | ||
f(x) | ||
M(X) |
|
|
D(X) |
|
|
|
|