§2 Дисперсия дискретной случайной величины

Введение.

Зная лишь математическое ожидание дискретной случайной величины, нельзя судить о том, какие возможные значения она может принимать, и как они рассеяны вокруг математического ожидания. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X, Y, заданные следующими законами распределения:

Х	-0,01	0,01		Y	-100	100
р	0,5	0,5		р	0,5	0,5

Находим: M(Х)=0, M(Y)=0, однако, здесь Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от своего математического ожидания.

п.1. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) называется разность Х - М(Х).

Задан закон распределения случайной величины Х. Записать закон распределения ее отклонения. Найти математическое ожидание отклонения.

№

Закон

распределения Х

Закон распределения

Х - М(Х)

M[Х - М(Х)]

Х	1	2
р	0,2	0,8

=1-…

=2-…

Х-М(Х)	-0,8	0,2
р	0,2	0,8

(-……..)·0,2+

+……·0,8= =……

Х	0	1	2
р	0,3	0,5	0,2

=

=

=

Х-М(Х)
р

Математическое ожидание отклонения равно нулю: M [Х - М(Х)] =0.

… ………………………………………………………………………………………………………

Таким образом, в качестве характеристики рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения нельзя брать среднее значение отклонения. Необходимо вычислить среднее значение квадрата отклонения.

п.2. Дисперсия дискретной случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Найти дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения.

№

Закон

распределения Х

Закон распределения

1

Х	2	3	5
р	0,1	0,6	0,3

3,5

=

=…

=

р

1,05

2

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

=

=

=

р

п.3. Формула для вычисления дисперсии.

Математическое ожидание – постоянная величина. Приняв это во внимание и учитывая свойства: постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, выводим формулу:

=

=

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Найти дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения.

№	Закон распределения Х					Закон распределения				М()
1	Х	2	3	5			4	9	25	4·0,1+
	р	0,1	0,6	0,3		р	0,1	0,6	0,3
2	Х	1	2	5						2,01
	р	0,3	0,5	0,2		р

Вычислить и сравнить дисперсии случайных величин X и Y, заданных законами распределения.

X

Y

Закон

Х	-1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42

Y	-1	1	2	3
р	0,19	0,51	0,25	0,05

=

=

	1	1	4	9
р

М()=

М()=

D

=

=

Видим, что =, но D(Х)> D(Y), что можно получить и без вычислений: ведь если вероятности "далеких" от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероятности "близких" значений Х меньше, чем вероятности этих же значений Y, то дисперсия Х больше дисперсии Y.

Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина – число выпадений герба при этих подбрасываниях. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Х *

Вычисления

Х

0

1

2

3

4

р

р

= 2

М()=

= 1

*

п.4. Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы двух независимых величин равна сумме дисперсий этих величин: