- •Содержание
- •Метод Гаусса Теория метода
- •Алгоритм решения задачи
- •Постановка задачи
- •Решение
- •Нахождение обратной матрицы по схеме единственного деления Теория метода
- •Алгоритм решения задачи
- •Постановка задачи
- •Решение
- •Нахождение определителя матрицы по схеме Гаусса Теория метода и алгоритм решения
- •Постановка задачи
- •Решение
- •Метод итераций (метод последовательных приближений) Теория метода и алгоритм решения
- •Постановка задачи
- •Решение
Нахождение определителя матрицы по схеме Гаусса Теория метода и алгоритм решения
Пусть
A= (1)
и ∆=detA (2)
Рассмотрим линейную систему Ax=0 (3)
При решении системы (3) по методу Гаусса мы заменяли матрицу А треугольной матрицей В, состоящей из элементов отмеченных строк
B=
В результате получалась эквивалентная система Bx=0 (4)
Элементы матрицы В последовательно получались из элементов матрицы А и дальнейших вспомогательных матриц , ,… ,, с помощью следующих элементарных преобразований:
Деления на «ведущие» элементы , , … ,, которые предполагались отличными от нуля
Вычитания из строк матрицы А и промежуточных матриц ( i=1,2, … , n-1 ) чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк. При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий «ведущий» элемент, при второй— определитель матрицы остается неизменным. Поэтому
det B = 1 =
Следовательно,
∆ ==(5)
т. е. определитель равен произведению «ведущих» элементов для соответствующей схемы Гаусса. Отсюда заключаем, что приведенная схема единственного деления , в предыдущем методе, может быть использована для вычисления определителей, причем столбец свободных членов тогда становится излишним.
Заметим, что если для какого-нибудь шага элемент или близок к нулю (что влечет за собой уменьшение точности вычислений), то следует соответствующим образом изменить порядок строк и столбцов матрицы.
Постановка задачи
Найти приближенно определитель матрицы А с точностью до 0,0001 по схеме Гаусса.
Решение
Для удобства поместим вычисления в таблицу
step |
а1 |
а2 |
а3 |
а4 |
1 |
-1 |
0,13 |
-2 |
-0,14 |
2 |
0,75 |
0,18 |
-0,21 |
-0,77 |
3 |
0,28 |
-0,17 |
0,39 |
0,48 |
4 |
1 |
3,14 |
-0,21 |
-1 |
1' |
1 |
-0,13 |
2 |
0,14 |
2' |
0 |
0,2775 |
-1,71 |
-0,875 |
3' |
0 |
-0,1336 |
-0,17 |
0,4408 |
4' |
0 |
3,27 |
-2,21 |
-1,14 |
2'' |
|
1 |
-6,16216 |
-3,15315 |
3'' |
|
0 |
-0,99326 |
0,019539 |
4'' |
|
0 |
17,94027 |
9,170811 |
3''' |
|
|
1 |
-0,01967 |
4''' |
|
|
0 |
9,523718 |
|
|
|
|
|
∆= |
2,625032 |
|
|
|
Метод итераций (метод последовательных приближений) Теория метода и алгоритм решения
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
(1),
или в матричном виде: А · х = В (2), где:
А=(),.
, .
Предполагая, что диагональные элементы 0,разрешим первое уравнение системы (1) относительно, второе – относительнои т.д. Получим:
(2),
или: (3),
где:
Система (3) называется системой, приведенной к нормальному виду.
Введя обозначения:
, ,
запишем систему (3) в матричной форме: , или:
(4).
Решим систему (4) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов:
.
Подставляя в (4) получим:
,
затем: и т.д.
(5).
Итерации прерываются при выполнении условия:
, где
- норма вектора, -max .
Теорема (условие сходимости итерационного процесса).
Если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится к единственному решению, независимо от выбора начального приближения, т.е.:
при ,
или: при.
На практике поступают следующим образом. Из заданной системы А · х = В выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых больше или равны сумме модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписывают в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным.
Из оставшихся использованных уравнений системы составляют между собой линейные комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы и все свободные строки оказались заполненными. При этом каждое использованное ранее уравнение должно попасть хотя бы в одну линейную комбинацию, являющуюся уравнением новой системы.
В итоге получаем преобразованную линейную систему, эквивалентную исходной и удовлетворяющей условию сходимости итерационного процесса.