VIII Всероссийская олимпиада по Математике. Задания олимпиады 13

VIII Всероссийская олимпиада по Математике

OM-задания

12 декабря 2013 года

Содержание:

1. Об олимпиаде

2. Задания

3. Технические рекомендации

= = =

1. О конкурсе

Дорогие ребята!

Математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать, развивает ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. Предлагаем вам к задачкам, с первого взгляда сложным, найти изящное и порой красивое решение.

Стань одним из тех сильных и смелых участников, который возьмет крепости Математики!

!	Обратите внимание, что нарушение технических рекомендаций может затруднить или сделать невозможным рассмотрение работы Организаторами конкурса.

Конкурсу присвоен Индекс Конкурса – OM. Не забывайте указывать его во всех письмах к Организаторам. Выполненные работы участников (в электронном варианте) необходимо загрузить в личный кабинет не позднее 18 декабря 2013 года! Не опаздывайте с загрузкой работ.

Конкурс проводится для возрастных групп 2-3, 4-5, 6-7, 8-9, 10 -11 класс

Возникли вопросы? Сотрудники Центра будут рады вам помочь! Skype: nic-snail, ICQ: 567-749-337, E-mail: [e-mail]

ПОЛОЖЕНИЕ о Всероссийских дистанционных конкурсах ЧОУ «ЦДО «СНЕЙЛ»

= = =

2. Задания

2- 3 класс

Для ответов участников используйте специальный бланк OM_бланк ответов_2-3 класс.doc из архива с заданием олимпиады.

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Сколько грибочков соберет ежик на самом коротком пути к своему дому? Идти он может в горизонтальном и вертикальном направлении по клеткам.

2. Во дворе гуляли петух, куры и цыплята. Всего 10 птиц. Сколько было кур и цыплят, если у каждой курицы было по два цыпленка?

3. Старик от землянки до моря и обратно идёт 1 час. Его жена, будучи дворянкой, захотела стать царицей и приказала отвезти старика в карете туда и обратно. На это ушло 20 минут. Захотев стать «владычицей морскою», она велела также отвезти его в карете к морю. Как известно, старику пришлось возвращаться домой пешком. Сколько времени он затратил на этот раз?

4. Пошла Машенька в лес по грибы да по ягоды. Шла она одинаковые расстояния прямо, налево, направо, направо, налево, направо, направо, налево, направо, направо, налево. И заблудилась. Куда ей надо идти, чтобы выйти на то место, с которого она вошла в лес?

5. Два ковша воды – это половинка ведёрка, а три чашки – это половина ковша. Сколько чашек содержится в двух ведёрках?

6. У зайца и лисы спросили о том, сколько зверей в теремке. Зайка сказал, что зверей больше 5, а лисичка – что больше 6. Сколько зверей в теремке, если известно, что один говорит правду, а другой ошибается?

7. Братьев Мальчика-с-пальчика звали Ганс, Якоб, Мартин, Петер, Рольф и Карл. Петер старше Карла. Ганс младше Мартина. Три брата младше Карла и старше Рольфа. Между Петером и Гансом два брата. Мальчик-с-пальчик самый младший. Расположите мальчиков по старшинству.

8. Перед вами карта лукоморья. Чтобы не попасть в лапы «неведомым зверям», надо выбрать самый «безопасный» маршрут, то есть тот, в котором сумма очков наименьшая.

9. Был прекрасный солнечный день. Эльфы Алик и Вел, гномы Бон и Вукс собирали ракушки на берегу моря. Всего собрали 10 ракушек, причем каждый из них собрал разное количество ракушек. Алик собрал ракушек больше всех, а Вел – меньше всех. Кто собрал больше ракушек – гномы или эльфы?

10. У Чебурашки имеются песочные часы на 7 минут и на 11 минут. Как ему с их помощью отмерить точно 15 минут, чтобы сварить картошку?

11. Перед вами схема коридоров замка. Королева тайно должна попасть из своей комнаты (К) в комнату принцессы (П). Сколько маршрутов могут соединить эти две комнаты при условии, что королева может сделать не более трех поворотов?

12. Сошлись два пастуха: Иван и Петр. Иван говорит Петру: «Отдай ты мне одну овцу, тогда у меня будет ровно вдвое больше, чем у тебя». А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас овец будет поровну». Сколько же было овец у каждого?

13. Заполните пустые клетки так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трех подряд идущих клетках, равнялась пятнадцати.

14. Однажды Елена Прекрасная решила заняться рукоделием. Она взяла ткань круглой формы, по краям которой нарисовала четыре точки. Каждые две точки соединила прямыми линиями, затем разрезала ткань ножницами по этим линиям. Сколько кусочков ткани у нее получилось?

15. В современном Теремке 133 квартиры. Сколько всего цифр использовали звери для нумерации всех квартир?

Задание 2. Как это было…

Надеемся, что после выполнения всех заданий олимпиады у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...». Ответьте на предложенные вопросы.

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что, на ваш взгляд, не удалось? Почему?

4. Что было самым трудным?

5. Как вы преодолевали трудности?

6. Что в олимпиаде вам показалось наиболее значимым и полезным?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

====================

4 – 5 класс

Для ответов участников используйте специальный бланк OM_бланк ответов_4-5 класс.doc из архива с заданием олимпиады.

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Три совершенно одинаковых, давно не стриженных барана пришли в парикмахерскую. С первого барана состригли 300 г шерсти, со второго – 700 г, а третий постригся наголо. Всего в парикмахерской осталось 7 кг бараньей шерсти. Сколько шерсти осталось на первом баране?

2. Если бы у красного дракона было на 6 голов больше, чем у жёлтого, то у них было бы 34 головы на двоих. Но у красного дракона на 6 голов меньше, чем у жёлтого. Сколько голов у красного дракона?

3. В ряд лежат 5 кучек с орехами. Из первой кучки взяли 1 орех, из второй - 3, из третьей - 6, из четвёртой - 10, из пятой - 15 (при этом ни одна кучка не опустела). После чего положили во вторую кучку 1 орех, в третью - 3, в четвертую - 6, в пятую - 10, в первую - 15. В результате в одной из кучек число орехов уменьшилось вдвое, и в каждой кучке орехов стало столько, сколько было в одной из кучек первоначально. Сколько орехов сейчас в каждой кучке?

4. Каждый день в полдень отправляется корабль из лукоморья к острову Буяну, а в 1 час дня корабль отправляется с острова Буяна к лукоморью. Плавание в том и другом направлениях длится 3 дня. Сколько кораблей, идущих навстречу, встречают корабль на пути из лукоморья к острову Буяну?

5. Можно ли число 2013 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 2013?

6. Сколько раз из наибольшего трехзначного числа нужно вычесть наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее однозначное?

7. Вычеркни в числе 20451003 пять цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

8. В красный, синий, зеленый и желтый стакан налили чай, кофе, сок и воду. Известно, что вода и чай не в красном стакане, стакан с кофе стоит между зеленым стаканом и стаканом с соком, в желтом стакане не кофе и не вода. Синий стакан стоит около желтого стакана и стакана с чаем. В какой стакан что налили?

9. Для нумерации страниц книги понадобилось 2013 цифр. Сколько страниц было в книге?

10. Самоделкин распиливает деревянный параллелепипед, с измерениями 6 см, 12 см, 18 см, на кубики с ребром 1 см и ставит их один на один. Сможет ли Самоделкин достроить вышку из этих кубиков, если он встанет на четырехметровую лестницу?

11. У девочки в сенях стоят 4 полных бидона каши, 4 полупустых и 4 пустых. Как ей поровну разделить и бидоны, и кашу между тремя горожанами?

12. Незнайка и Знайка, поссорившись, разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 минут Незнайка спохватился, повернул назад и, увеличив скорость, побежал догонять Знайку. Во сколько раз увеличил Незнайка скорость, если он догнал Петю через 5 минут после того, как повернул назад?

13. Чтобы купить себе сапоги, Кот пошёл на базар продавать пойманных куропаток и окуней. 2 куропаток и 1 окуня он продал за 21 рубль, 1 куропатку и 2 окуней – за 18 рублей. Сапоги стоят 31 рубль. Что должен продать Кот, чтобы исполнить свою мечту?

14. Площадь прямоугольника равна 18 см². Найдите площадь закрашенной части прямоугольника.

15. Участники математического кружка решили познакомиться с преподавателем необычным образом:

- Нас 12, - сказала Аня, - и ежемесячно мы празднуем чей-то день рождения. Если перемножить дату и номер месяца моего дня рождения, то получится 3.

- А у меня получается 9, - сказал Боря, - а у Вани - 16, а у Гали - 25.

Денис подсчитал, что дата его дня рождения в 4 раза больше номера месяца. Женя – что в 16 раз, а Елена – что в 6 раз.

- Сумма моих чисел равна 3, - указала Зина, - а моей подруги Иры – 40.

Зато Катя, сложив дату и пятую часть номера месяца, получила 33.

Рассказ закончил Лева. Оказалось, что его дата в 3 раза меньше номера месяца, а дата Миши меньше в 7 раз.

Немного подумав, преподаватель назвал дни рождения всех школьников. Назовите и вы их.

Задание 2. Как это было…

Надеемся, что после выполнения всех заданий олимпиады у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы.

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что, на ваш взгляд, не удалось? Почему?

4. Что было самым трудным?

5. Как вы преодолевали трудности?

6. Что в олимпиаде вам показалось наиболее значимым и полезным?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

====================

6 – 7 класс

Для ответов участников используйте специальный бланк OM_бланк ответов_6-7 класс.doc из архива с заданием олимпиады.

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. В некотором году на школьные каникулы (с 1 июня по 31 августа) пришлось 14 воскресений. Какой день недели придется на 31 декабря?

2. Бабушка печет оладьи. К приходу ее внука из школы на тарелке лежат 17 оладий. Придя, внук тотчас же начинает их есть. Пока он ест 4 оладушка, бабушка подкладывает на тарелку новых 3 оладушка. Сытый внук уходит, съев 24 оладьи. Сколько оладий осталось на тарелке?

3. В пруд впустили 34 щуки, которые кушали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трех щук (сытых или голодных). Какое наибольшее число щук могут насытиться?

4. Найдите три числа, обладающих следующими свойствами: они целые, положительные, сумма обратных величин этих чисел равна 1.

5. Несколько мартышек съели 101 банан, причем все мартышки съели по одинаковому числу бананов. Сколько было мартышек, если каждая мартышка съела больше бананов, чем было мартышек?

6. На склад привезли фрукты: арбузы и ананасы. Всего фруктов привезли больше 70, но меньше 90 штук. Всего ящиков, в которых привезли фрукты, было на 1 больше, чем лежало в каждом из них ананасов. Арбузы лежали по одному в ящике. Сумма числа ящиков и ананасов составляет число фруктов. Сколько фруктов привезли, в скольких ящиках они лежали?

7. Вписать в квадратики цифры от 0 до 9 без повторения так, чтобы получилось два верных примера на умножение. Найти все решения.

8. Витя собрал из конструктора 16 моделей самолетов и поставил их в ряд на полке. Число деталей в каждой модели отличается на 1. Может ли во всех моделях быть 2013 деталей? Ответ обоснуйте.

9. Найдите площадь прямоугольника, если известны площади 3 его прямоугольных частей.

   2	4
   8

10. Цифру 7, с которой начинается четырехзначное число, перенесли в конец числа. В результате получилось число на 4716 меньше данного. Какое число было первоначально?

11. Коля хочет составить число так, чтобы все цифры, входящие в его запись, были различны, а само число делилось на 7. Какое наибольшее число у него может получиться?

12. Однажды за чашкой чая полковник Орлов рассказал, что у одного человека было квадратное окно площадью 1 м², которое пропускало слишком много света. Владелец окна загородил половину его, но при этом у него снова осталось квадратное окно в метр шириной и метр высотой. Как это могло получиться?

13. Расположи числа, зашифрованные буквами, в порядке убывания, если известно, что А>Б; В>А; Г<Б.

14. Расстояние от пункта А до пункта В равно 4 км, а от пункта В до С вдвое больше. Какое наибольшее и какое наименьшее расстояние может быть от пункта А до пункта С?

15. На склад в лесоперерабатывающий комплекс привезли бревна двух видов: длиной 6 и 7 м. Их нужно распилить на метровые чурбаки. Какие бревна выгоднее пилить?

Задание 2. Как это было…

Надеемся, что после выполнения всех заданий олимпиады у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы.

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что, на ваш взгляд, не удалось? Почему?

4. Что было самым трудным?

5. Как вы преодолевали трудности?

6. Что в олимпиаде вам показалось наиболее значимым и полезным?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

====================

8 – 9 класс

Для ответов участников используйте специальный бланк OM_бланк ответов_8-9 класс.doc из архива с заданием олимпиады.

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. Детский конструктор состоит из квадратов 2×2 и равнобедренных прямоугольных треугольников с гипотенузой 3. Какое наибольшее количество «домиков» можно собрать из деталей конструктора, уложенных в один слой (без наложений) в коробку 7×7?

2. Корень из числа 64 можно извлечь следующим образом: . Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.

3. Из шуточной биографии Вовочки: «Экзамены за 13-й класс я сдал на отлично, все мои оценки в сумме составили 30 баллов. В школу я пошёл, как все дети, в 12 лет». За какой класс сдавал Вовочка экзамены, сколько было экзаменов?

4. Дан параллелограмм ABCD. Проведена прямая, отсекающая пятую часть стороны AB и треть стороны AD, считая от вершины A. Какую часть эта прямая отсекает от диагонали AC?

5. Сережа с интервалом в 1000 секунд дважды сфотографировал электронные часы, показывающие время от 00:00:00 до 23:59:59. Могли ли на двух фотографиях оказаться все цифры от 0 до 9?

6. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CD А и DAB, равны. Докажите, что АС = BD.

7. На склад на двух машинах привезли фрукты. Количество килограммов фруктов, привезенных первой машиной, выражается трехзначным числом. Если первую цифру 8 этого числа перенести в конец, то получится число килограммов фруктов, привезенных второй машиной. Известно, что на первой машине привезли на 108 кг фруктов больше. Сколько кг фруктов привезла каждая машина?

8. Если на круговом маршруте работают два автобуса, то интервал движения - 25 мин. Сколько дополнительных автобусов нужно пустить на маршрут, чтобы интервал движения уменьшился на 60%?

9. Одним ударом Шварценеггер может разбить любой кусок бетона на 4 части. Сколько ударов ему понадобится сделать, чтобы разбить бетонную плиту на 2013 частей?

10. Часы Маши опаздывают каждый час на 2 минуты. Если по радио передают сигнал в 12 часов, то через какое время на часах Маши будет 12 часов, если её часы показывали точное время ровно 5 часов тому назад?

11. Из пуда меди медник сделал подсвечник, чайник, кастрюлю и самовар. Каждая вещь втрое тяжелее предыдущей вещи. Найдите вес подсвечника, чайника, кастрюли и самовара в целых числах.

12. В лавке несколько платков. Если они будут проданы по 6 рублей, то лавочник получит 24 рубля прибыли. Если же они будут проданы по 3 рубля, он будет в убытке на 12 рублей. Сколько платков у лавочника, почем он их покупал?

13. На рисунке отмечены вершины и центр правильного шестиугольника. Назовем тройку отмеченных точек верной, если эти точки образуют равнобедренный треугольник. Сколько верных троек на рисунке?

14. Найдите, где допущена ошибка:

15. Дана окружность и внутри нее выпуклый четырехугольник, продолжения сторон данного четырехугольника пересекают ее в точках A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 и D2. Докажите, что если A1B2 = B1C2 = C1D2 = D1A2, то четырехугольник, образованный прямыми A1A2, B1B2, C1C2, D1D2, можно вписать в окружность.

Задание 2. Как это было…

Надеемся, что после выполнения всех заданий олимпиады у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы.

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что, на ваш взгляд, не удалось? Почему?

4. Что было самым трудным?

5. Как вы преодолевали трудности?

6. Что в олимпиаде вам показалось наиболее значимым и полезным?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.

====================

10 – 11 класс

Для ответов участников используйте специальный бланк OM_бланк ответов_10-11 класс.doc из архива с заданием олимпиады.

Задание 1.

Решите задачи, оформите решение.

1. У меня дома есть три ведра, каждое из которых вмещает целое число литров. Если вылить полное первое ведро воды во второе, то вода займет там ровно 2/3 его объема, а если вылить полное первое ведро в третье, то вода займет 3/4 его объема. Однажды я наполняла водой тридцатилитровую бочку, сначала вылив первое ведро, потом второе, затем третье, но бочка еще не наполнилась. Сколько литров воды можно было еще в нее влить?

2. Имеет ли уравнение хотя бы одно решение?

3. Кооператив получает яблочный и виноградный сок в одинаковых бидонах и выпускает яблочно-виноградный напиток в одинаковых банках. Одного бидона яблочного сока хватает ровно на 6 банок напитка, а одного бидона виноградного — ровно на 10. Когда рецептуру напитка изменили, одного бидона яблочного сока стало хватать ровно на 5 банок напитка. На сколько банок напитка хватит теперь одного бидона виноградного сока? (Напиток водой не разбавляется.)

4. Упростить выражение .

5. В соревнованиях по стрельбе участвовало 5 спортсменов: А, Б, В, Г, Д. Каждый из них занял по результатам свое место. До начала игры предлагалось угадать, в каком порядке распределятся места. Саша предположил такую последовательность: А, Б, В, Г, Д. Но, как оказалось, не указал верно ни места какого-либо стрелка, ни никакой пары следующих непосредственно друг за другом участников. Вова оказался более удачливым, предположив последовательность: Г, А, Д, В, Б. Он угадал места двух участников, а также две пары непосредственно следующих друг за другом партнеров. Этих сведений достаточно, чтобы определить, как в действительности распределились места между пятью стрелками.

6. Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце составляли геометрическую прогрессию.

   		72
   	12
   2
   			27

7. На участке трамвайного пути длиной в 1 км пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывает число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых – 600. Определите скорость трамвая.

8. Кусок проволоки изогнули так, что спереди он выглядит, как показано на первом рисунке, а справа – как показано на втором рисунке. Изобразите вид сверху.

9. Сережа на квадратной лужайке посадил 4 куста роз (в вершинах квадрата со стороной 10 м). Хватит ли ему 30 м поливочного шланга, чтобы соединить все кусты для полива?

10. Сто человек отвечали на вопрос: «Будет ли новый президент лучше прежнего?» Из них а человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же и с – что будет хуже. Других ответов не было. Социологи построили два показателя «оптимизма» опрошенных: ; . Оказалось, что m=40. Чему в таком случае равно n?

11. В квадрате, разделенном на четыре равные полоски, проведена диагональ. Чему равна площадь фигуры, закрашенной на рисунке, если сторона квадрата равна 1 м?

12. Последовательность строится по следующему закону: на первом месте стоит число 6, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2013 месте?

13. Найдите сумму всех чисел таблицы:

1, 2, 3, 4, …, 99, 100

2, 3, 4, 5, …, 100, 101

………………………………………………….

100, 101, 102, 103 …, 198, 199

14. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. Чтобы спрятать награбленное, необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

15. Назовем медианой пятиугольника ABCDE отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны (А – с серединой CD, В – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если каждая медиана выпуклого пятиугольника делит пополам угол, из которого она проведена, и перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то пятиугольник – правильный.

Задание 2. Как это было…

Надеемся, что после выполнения всех заданий олимпиады у вас отличное настроение от проделанной работы, вам хочется поделиться с остальными участниками и рассказать «Как это было...»

Ответьте на предложенные вопросы.

1. Какое у вас настроение после выполнения всех заданий?

2. За что вы можете себя похвалить?

3. Что, на ваш взгляд, не удалось? Почему?

4. Что было самым трудным?

5. Как вы преодолевали трудности?

6. Что в олимпиаде вам показалось наиболее значимым и полезным?

Постарайтесь, чтобы ответы на вопросы было интересно прочитать и другим участникам. Ответы вы можете написать в любом жанре. Это может быть рассказ, заметка, сказка, стихотворение и др.