ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.

«Изучение законов сохранения энергии и импульса при ударе».

Цель работы:

1. изучить теорию, абсолютно упругого и неупругого ударов;

2. экспериментально проверить законы сохранения механической энергии и импульса при, абсолютно упругом и неупругом ударе двух шаров;

3. определить время и среднюю силу взаимодействия при упругом ударе.

Приборы и принадлежности:

Прибор для исследования столкновений шаров FPM–08, технические весы, набор шаров, разновесы, ножницы, липкая лента.

1. Краткая теория.

При соударении шаров силы взаимодействия резко изменяются с расстоянием между центрами масс, и весь процесс взаимодействия протекает в очень малом пространстве и за очень короткий промежуток времени. Такое взаимодействие называют ударом. Различают два вида ударов. Если шары являются, телами абсолютно упругими, то удар называют, абсолютно упругим (или просто упругим). Если же шары (или хотя бы один из них) являются телами, абсолютно неупругими, удар называют, абсолютно неупругим (или просто неупругим). Абсолютно упругое и абсолютно неупругие тела идеализированные модели. На самом деле всякий удар (шаров) является, строго говоря, неупругим. Однако, в одних случаях, с некоторым приближением, удар можно считать абсолютно упругим (например, удар двух шаров из стали), других абсолютно неупругим (шары из пластилина, свинца).

При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия упругой деформации не возникает (шары деформируются и не восстанавливают свою первоначальную форму); кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию; после удара тела движутся с одинаковой скоростью (как одно тело), либо покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не соблюдается механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю.

При абсолютно упругом ударе полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем, за счёт сил упругости, тела принимают первоначальную форму, и потенциальная энергия упругой деформации переходит в кинетическую тела отталкивают друг друга. Скорости тел после удара определяются из законов сохранения суммарной энергии и суммарного импульса тел до и после удара.

Ограничимся рассмотрением центрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если происходит вдоль линии, проходящей через центры шаров. Из соображений симметрии ясно, что после удара шары будут двигаться вдоль той же прямой, что и до удара. Предположим, что шары движутся только поступательно (скользят на поверхности, не вращаются) и образуют замкнутую систему, либо внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.

а) Абсолютно неупругий удар.

Обозначим массы шаров m₁ и m₂ , скорости шаров до удара v₁ и v₂, скорости шаров после удара v΄₁ и v΄₂. Шары могут двигаться как в одном, так и в противоположных направлениях (рис. 1).

т₁ т₂

Х

а)

т₁ т₂

Х

б)

Рис. 1.

После удара шары движутся как одно тело массой (m₁ + m₂) со скоростью . В этом случае хотя бы часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию (шары нагреваются).

По закону сохранения импульса:

 _до =  _после,

–  _до суммарный импульс шаров до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия  _после

Скорость шаров после взаимодействия:

. (1)

Так как удар центральный, то все векторы скоростей лежат на одной прямой. Принимая эту прямую за ось  и проецируя векторы скоростей на эту ось, получим скалярное уравнение, в котором скорости имеют алгебраический знак (положительный, если они направлены в сторону положительных значений X)

. (2)

Из уравнения (2) видно, что если шары до удара двигались в одну сторону (рис.1,б), то после удара они будут двигаться в ту же сторону, так как V₁ >V₂. Если же до удара шары двигались навстречу друг другу (рис. 1,а), то после удара они будут двигаться в ту сторону, куда двигался шар, имевший больший импульс. Если один из шаров покоился (например, второй, V₂ = 0), то скорость шаров после удара:

, (3)

а двигаться они будут в ту же сторону, куда двигался первый шар до удара.

Используя закон сохранения полной энергии

,

можно определить Q изменение внутренней энергии шаров (энергию, переходящую в тепловую форму):

Q = .

Подставляя вместо V ´ из формулы (2) получим:

².

Таким образом, изменение внутренней энергии системы двух шаров пропорционально квадрату относительной скорости шаров.

Неупругий удар двух тел используется на практике: а) для изменения формы тела при ковке, чеканке и т.д. и б) для забивания гвоздей, свай и др. В этом случае обычно одно из соударяющихся тел до удара покоится; V₂ = 0. Тогда обозначив через W_к1= – кинетическую энергию первого тела до взаимодействия получим,

(4)

Число показывает, какая часть кинетической энергии первого тела расходуется на деформацию. Оставшаяся часть кинетической энергии первого тела переходит в кинетическую энергию обоих тел. Эта энергия расходуется затем на преодоление сил сопротивления среды. Чем больше , тем больше энергия ударяющего тела расходуется на деформацию и тем меньше её остаётся в виде кинетической энергии тел после удара. Отсюда следует, что если нужно энергию ударяющего тела использовать для деформации, то масса покоящегося тела должна быть много больше массы движущегося тела .В этом случае и работа деформации будет приближаться по значению W_k1. Поэтому тело, которое подвергается деформации, помещают на очень массивную наковальню.

Если энергию ударяющего тела необходимо использовать для перемещения второго тела в среде, то m₂ должна быть намного меньше массы ударяющего тела почти вся кинетическая энергия первого тела будет переходить в кинетическую энергию обоих тел. По этой причине масса молотка во много раз превосходит массу гвоздя.

б) Абсолютно упругий удар.

При абсолютно упругом ударе на первом этапе тела деформируются, часть кинетической энергии тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации. На втором этапе за счёт сил упругой деформации тела приобретают первоначальную форму – потенциальная энергия упругой деформации переходит вновь в кинетическую энергию тел. Таким образом, при абсолютно упругом ударе внутренняя энергия системы соударяющихся тел не меняется, тела не нагреваются.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух абсолютно упругих шаров массами m₁ и m₂. Удар – центральный. Шары перемещаются без вращения (скользят) со скоростями и . Силами трения пренебрегаем. Выведем формулу для определения скоростей шаров после удара.

Запишем законы сохранения энергии и импульса системы шаров для двух моментов времени: t₁ – момент времени пред началом соударения; t₂ момент времени, соответствующий концу взаимодействия шаров.

(5)

(6)

Преобразуем эти уравнения:

(7)

(8)

При записи уравнения (6) использовано:

Поделив уравнение (8) на (7) получим:

, (9)

откуда

(10)

Подставим в уравнение (6)

Из последнего уравнения определим скорость первого шара после удара:

. (11)

Если из уравнения (9) определить и подставить в уравнение (6), то после преобразований получим выражение для определения скорости движения второго шара после удара :

. (12)

Выражения для (11) и (12) отличаются только перестановкой индексов 1 и 2. Это естественно, поскольку шары в процессе соударения совершенно равноправны и безразлично, какой из них считать первым, а какой вторым.

Рассмотрим конкретные случаи. Пусть шары перемещаются навстречу друг другу вдоль оси Х (рис. 1, а). В этом случае проекция вектора равна модулю вектора, взятому со знаком плюс (V_1x = V₁), а проекция вектора – модулю вектора, взятому со знаком минус (V_2x = –V₂ ). С учётом знаков скорости шаров после удара определяться по формулам:

, (13)

. (14)

Направление движения и величины скоростей после взаимодействия зависят от соотношения масс и скоростей до удара.

Особый интерес представляет случай, когда массы шаров одинаковы: m₁ = m₂. При этом условии из (13) и (14) получается, что и .

Следовательно, шары равной массы при центральном ударе обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров до соударения покоился, то после удара он движется с такой же скоростью, какую имел первоначально другой шар, который после удара остановился. При центральном абсолютно упругом ударе шар полностью передаёт свою кинетическую энергию неподвижному шару той же массы.

Если масса второго шара много больше массы первого шара или и к тому же, массивный шар покоился (), то из уравнений (13–14) следует, что:

,

.

Это очень важный результат. Он показывает, что если некоторое тело массой m₁ ударяется абсолютно упруго о другое тело, масса которого m₂ бесконечно велика по отношению к m₁, то ударившееся тело отскакивает без изменения модуля скорости и следовательно, без изменения кинетической энергии. Пример удар стального шарика о наковальню.