Лекция 9. Атом. физ

				Лекция 9
4.6. Свойства момента импульса частицы
Момент импульса L	является одной	из	важнейших	характеристик
движения. Его значение связано с тем, что		L	сохраняется,	если система
изолирована или движется в центральном поле.
Определим оператор	момента импульса		в квантовой	механике. В

классической механике L [r , p]. Такое определение в квантовой механике

не имеет смысла, поскольку не существует состояния, в котором оба вектора

бы

определенные

значения.

В

квантовой механике

r

и

p имели

[r , p]

соответствует

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(4.23)

L

[r , p] i Lx jLy

kLz ,

где

rˆ i xˆ jyˆ

kzˆ ,

pˆ i pˆ x jpˆ y kpˆ z .

Учитывая

(4.9)

можно

найти

ˆ

проекции оператора L :

ˆ

L

x

( yˆpˆ

z

zˆpˆ

y

)

i y

z

,

z

y

ˆ

Ly (zˆpˆ x

xˆpˆ z )

i z

x

x

,

(4.24)

z

ˆ

L

z

(xˆpˆ

y

yˆpˆ

x

)

i x

y

.

y

x

Выясним

смысл

этого векторного

оператора.

Для

этого

найдем

результат действия

ˆ

на произвольную функцию :

L

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(4.25)

L i (Lx ) j (Ly )

k (Lz ) .

Таким

образом,

произвольной волновой

функции

соответствует

вектор, определяющийся приведенной формулой. Возникает вопрос, всегда ли существует такая функция , для которой все три проекции вектора имеют определенные значения, т.е. одновременно выполняются три равенства

ˆ

Lx ,

ˆ

ˆ

Lx

Ly Ly ,

Lz Lz ).

Для ответа на этот вопрос

необходимо найти

правила коммутации

ˆ

ˆ

ˆ

.

Перемножая

ˆ

и

ˆ

и сохраняя порядок их

операторов Lx , Ly , Lz

Lx

Ly

расположения, получим

ˆ ˆ

2

Lx Ly

y

z

z

y

z

x

x

z

2

y

z

y

x

z

z

z

x

z

x

z

z

y

x

y

z

	2					2			2			2		2			2
				yz			yx				z				zx
		y	x		z x			z		2			y x					.
																y z
Аналогично

2

ˆ ˆ

L L

z

x

y

z

y

x

x

z

z

y

2 z

y

z

z

x

y

x

z

x

z

x

y

z

z

z

y

2

2

2

2

2

2

z

xy

x

xz

zy

x z

x y

z

2

y

z y

.

Операции дифференцирования по двум независимым переменным

перестановочные, т.е. 2 2 , поэтому

x y y x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

L

x

L

y

L

y

L

x

y

x

i L

z

.

x

y

Аналогично получаются и два других правила коммутации. Тогда

ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ
Ly Lz Lz Ly i Lx
ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	(4.26)
Lz Lx Lx Lz i Ly
ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ
Lx Ly Ly Lx i Lz

Таким образом, любые де проекции оператора момента импульса не коммутируют между собой, поэтому не существует состояния, в котором бы вес три проекции и даже любые две из трёх имели бы определенные

значения. Т.е. оператор	ˆ	не имеет собственных функций и
	L

соответствующих им собственных значений. Это означает, что не существует состояния, в котором бы вектор момента импульса был бы полностью определен как по величине, так и по направлению.

Возникает вопрос, какими же физическими величинами (а не их операторами) характеризуется в квантовой механике момент импульса частицы? Оказывается, что существует состояние, в котором одновременно имеют определенные значения квадрат момента импульса и одна из его проекций на выбранное направление.

Квадрат момента импульса принято обозначать L2 . Но это не квадрат
вектора L (которого не существует), а собственное значение оператора
квадрата момента импульса, т.е.			ˆ
ˆ2	ˆ	ˆ		2	ˆ2	ˆ2	ˆ2
L	(i Lx jLy kLz )				Lx	Ly Lz .
Чтобы убедиться в том, что величина L2						и одна из проекций момента

импульса, например Lz , могут быть одновременно измерены в одном и том

же состоянии, необходимо показать, что операторы	ˆ2	и	ˆ	коммутируют
	L		Lz
между собой. Для этого пишем

ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 ,

L Lz (Lx Ly Lz )Lz Lx (Lx Lz ) Ly (Ly Lz ) L z

или в силу соотношений коммутации (4.23):

ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3

L Lz Lx (Lz Lx i Ly ) Ly (Lz Ly i Lx ) L z .

Аналогично

ˆ ˆ2	ˆ ˆ2		ˆ2	ˆ2	ˆ ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ3
Lz L	Lz	(Lx Ly Lz ) (Lz Lx )Lx )					(Lz Ly )Ly ) L z
	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ ˆ		ˆ ˆ	ˆ3
	(Lx Lz i Ly )Lx				(Ly Lz i Lx )Ly L z .
Почленным вычитанием найдём
				ˆ2 ˆ	ˆ ˆ2	0 ,
				L Lz Lz L

что и требовалось досказать. Конечно, такие же соотношения коммутации

справедливы и для операторов	ˆ	ˆ
	Lx ,	Ly .

Таким образом, оператор квадрата момента импульса имеет общие собственные значения с операторами каждой из его проекций.

4.7. Собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса

Рассмотрим задачу на нахождение собственных функций и собственных значений оператора проекции момента импульса частицы на определенное направление. Вследствие изотропии пространства вектор

направления может быть произвольным.
Задачу удобно решать		в сферической				системе координат.		В ней
наиболее простой формулой выражается оператор							ˆ
							Lz . Поэтому выделенное
направление обычно совмещают с осью z.
Для решения поставленной задачи служит уравнение
				ˆ				(4.27)
				Lz Lz .
В декартовых координатах
ˆ
L	z	i x		y		.
			y
					x

С полярными декартовы координаты связаны соотношениями (рис.4.7):

x r sin cosy r sin sin

z r cos

Найдем

, где (x, y, z) :

x

y

z

r sin sin

r sin cos

x

y

.

x

y

z

x

y

y

x

ˆ

i

Отсюда Lz

и уравнение (4.24) в полярных координатах приобретает вид

z

i

L z .

r

Это уравнение имеет решения вида

L

z

C(r, )exp i

.

Функция

должна

быть

однозначной,

поэтому

необходимо

y

выполнение условия

( 2 ) ( )

x

или

L

L

z

z

exp i

( 2 )

exp i

.

Рис. 4.7

Так как показательная функция периодическая с периодом 2 i , то это равенство может выполняться только при условии

i Lz 2 m2 i

или

Lz m , где m 0, 1, 2, ... (4.28)

Это означает, что проекция момента импульса на любое направление квантуется. По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, m называется магнитным квантовым числом. В теории атома Бора результат (4.28) фактически постулируется, здесь же он получен из требования

однозначности собственной функции оператора ˆ .

Lz

4.8. Собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса

ˆ2

Собственные значения оператора L можно найти, используя только правила коммутации (4.26). Но сначала приведем эти правила к другому, более удобному для нашей цели, виду. Введем два оператора:

		ˆ	ˆ	ˆ		ˆ	ˆ	ˆ
		L Lx iLy ,				L Lx iLy
и учитывая (4.26) найдем их коммутацию:
ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ	ˆ ˆ ˆ ˆ	ˆ
L L L L (Lx		iLy )(Lx		iLy ) (Lx iLy )(Lx iLy ) 2i(Lx Ly Ly Lx ) 2 Lz
Применяя		аналогичные			преобразования,			получим	новые
коммутационные соотношения:

ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ
L L L L 2 Lz
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ
Lz L L Lz L ,
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ
Lz L L Lz L .
		ˆ2	ˆ2
Из соотношений (4.29), учитывая то, что L			Lx

(4.29)

ˆ2 ˆ2 , получим:

Ly Lz

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

2

ˆ2

L

L

L

L

ˆ2

L

2

2i

Lz

(4.30)

ˆ ˆ

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ2

ˆ ˆ

ˆ2

ˆ

L L

2

(L L L L ) Lz

L L Lz

Lz

Величина L2 ограничена. Учитывая то, что проекция вектора не может превышать его модуль, квантовое число m – ограничено. Обозначим через l

наибольшее положительное значение числа m при заданном значении L2 .

				ˆ2	ˆ
Пусть – общая волновая функция операторов L и					Lz , причем m = l. Тогда
	ˆ2	2		ˆ	(4.31)
	L	L ,		Lz l .
Из соотношений коммутации (4.29) для такой функции получим
ˆ	ˆ	ˆ ˆ	ˆ		ˆ
Lz	(L )	(L Lz	L ) (l 1)(L ) .
Отсюда видно,	что	функции	ˆ	ˆ
			L	и L являются собственными
	ˆ
функциями оператора Lz , имеющими собственные значения (l 1) и (l 1)
соответственно. Но величина (l 1)			не может быть собственным значением

ˆ
оператора Lz , так как максимальное собственное значение этого оператора,
как мы договорились, равно l .
ˆ	, но
Устранить противоречие можно только тогда, если принять L 0

ˆ ˆ	,
это означает, что L L 0
Но в силу (4.31)

тогда из (4.30) имеем

ˆ2	ˆ2	ˆ
(L	Lz	Lz ) 0 .

ˆ2

2

l

2

,

ˆ

2

l ,

Lz

Lz

отсюда

ˆ2

2

l

2

2

l) 0 , или

ˆ2

2

l(l

1) 0 .

(L

L

Таким образом, является собственной функцией оператора

ˆ2

с

L

собственным значением

L2 2l(l 1) .

Пусть L2 имеет определенное значение

2l(l 1) , тогда проекция

Lz

также имеет определенное значение, если m l, (l 1), ...0, ...(l 1), l ,

т.е.

существует (2l 1) возможных состояния

ˆ

Lz .

Квантовое число l называют орбитальным квантовым числом.

Причины такого названия выясним позднее.