Лекция 8. Атом. физ

Лекция 8

4.3. Моделирование потенциальных кривых для определения поведения микрочастиц

Лишь немного реалистических квантовомеханических задач (например, теория атома водорода, гармоничного осциллятора и несколько других задач) допускают точные решения в аналитической форме, да и то их построение требует достаточных математических знаний. В ряде случаев (например, в ядерной физике) действительный ход потенциальной функции U (х)

неизвестен. Аппроксимируя в таких случаях U (х) прямоугольными

барьерами и ямами, устанавливают не только общие особенности поведения микрочастиц, но и получают количественные результаты оценочного характера.

U

Е3

На рис. 4.1 изображен ход потенциальной кривой U (х) ,

имитирующей основные и характерные особенности потенцииальной энергии микрочастицы

в поле	определенного силового
центра.	При х 0, U . На

	Е2							участках	(0, xmin ) ,	(x xmax )
								центр отталкивает частицу, на
				xmin	xmax			участке	(xmin , xmax )	имеет место
								притягивания частички к центру.
	0	х1	х2	х3 х4Е	х5	х6	x
								Область (0, xmax ) называет-
	Е1
								ся потенциальной		ямой, а
				Рис. 4.1				( xmin , ) – потенциальным барье-
								ром. Их можно моделировать
	прямоугольными потенциалами (рис. 4.2, а).
		Более		простым		путем,	разрешающим определять			особенности

движения микрочастиц в сложных потенциальных полях, является рассмотрение их в потенциальных полях, моделирующих отдельные элементы показанного на рис. 4.1 потенциала (рис. 4.2).

Построенные модельные поля позволяют сравнивать поведение классической и квантовой частиц. Классическая частица с энергией Е1 (рис. 4.1) может находиться лишь в области (х3, х4), совершая колебания между крайними ее точками, т.е. движение частицы будет финитным. Частица с энергией Е2 может осуществлять как финитное (колебательное) движение в области (х2, х5), так и инфинитное в области (х ≥ х6). Зона же (х5, х6) – запрещенная для классической частицы с энергией Е2. Наконец, частица с энергией Е3 осуществляет инфинитное движение в области (х > х1). Таким

образом, классическая частица не может преодолеть потенциальный барьер, если ее энергия меньше высоты этого барьера.

U U U

U0

	x	l	х	0	l	x
	0
а) модель потенциала	б) бесконечно глубокая			в) барьер конечной
с рис. 4.1	потенциальная яма			ширини

U

		U
U0			U0
0	х	0	l	х
г) ступенчатый потенциал		д) яма конечной ширини

Рис. 4.2

Поведение квантовой частицы в аналогичных ситуациях, как мы убедимся позднее, отличается от поведения классической. В частности она может преодолеть барьер конечной ширины (случай Е2). Такое преодоление получило название туннельного эффекта. Кроме того, энергетический спектр квантовой частицы в случае финитного движения оказывается дискретным. Причем, с математической точки зрения, квантование - естественное следствие стандартных условий, накладываемых на решения уравнения Шредингера.

Перейдем к рассмотрению некоторых более простых случаев, на которых проиллюстрируем квантование энергии на основании уравнения Шредингера.

4.4. Квантование энергии в случае одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной ямы

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 4.2 б). Такие потенциальные функции имитируют очень глубокие потенциальные ямы при невысоких

энергиях движения частиц. Будем считать, что частица движется вдоль оси х. Тогда ее движение ограничено непроницаемыми «стенками»: х 0 и х l , на которых функция U (х) испытывает разрыв от 0 до (рис. 4.3). В таком

случае целесообразно принять за нуль потенциальной функции ее значение на «дне» потенциальной ямы. Таким образом, для U (х) выполняются

условия

U			,	x 0
			0,	0 x l	(4.12)
		U (х)
				x 0
		,
U	U	Уравнение Шредингера (4.2) в			одномерном
		случае имеет вид

d 2

2m

(E U ) 0 .

(4.13)

dx2

2

0

l

x

За пределы потенциальной ямы частица

Рис. 4.3

попасть

не

может. Поэтому вероятность выявить

частицу,

а

соответственно, и функция

за

пределами ямы равны нулю. Из условия непрерывности на границе ямы найдем условие, которому должно удовлетворять решение уравнения (4.13):

	(0) (l) 0 .								(4.14)
В пределах ямы ( 0 x l )			U (х) 0 , тогда в этой области уравнение
(4.13) упростится:
	d 2					2m		E 0 .
	dx2					2
Вводя обозначение
	k 2			2mE				,	(4.15)
						2
придем к хорошо известному из теории колебаний уравнению
		d 2			k 2			0 .
		dx2
Общее решение такого уравнения:
	(x) Asin(kx ) ,								(4.16)

где А и – произвольные постоянные, должно удовлетворять граничным условиям (4.14).

Из условия

(0) sin 0

следует, что 0 . Из условия

(l) Asin(kl) 0
в свою очередь вытекает, что
kl n ,	(4.17)

где n =1, 2, 3, …(n = 0 исключается, поскольку в этом случае 0 – частица нигде не находится).

Подставив k из (4.17) в (4.15) получим

	E			2		2	n2 ,	n =1, 2, 3, …	(4...18)
		n		2ml		2

Энергия оказалась квантованной, а ее спектр – дискретным (рис. 4.4). Оценим расстояние между соседними уровнями для случая свободных электронов в металле. Пусть l = 10 см. Тогда

	E E		E			2	2		(2n 1)	2		2	n	(3,14 1,05 10	34 )2	n 10 16 n эВ.
		n 1		n		2ml		2		ml 2				9,11 10 3110 2

Так плотно расположенные уровни будут восприниматься практически как непрерывный спектр. Однако совсем другой результат получим для электрона, если область, в которой он движется, будет порядка атомных

размеров		(~	10-10 м). Тогда Е 102 n	эВ,	так что дискретность
энергетических уровней будет достаточно заметной.
n			Таким образом, собственные значения энергии мы
			нашли. Теперь найдем соответствующие им собственные
4		E4	функции. Для этого подставим в (4.16) значение k из
			(4.17) и 0 :
					nx
3		E3	(x) Asin		.
					l
2		E2	Постоянную А найдем из условия нормировки (4.5).
1		E1	В нашем случае оно примет вид
			l
				nx dx 1.
			А2 sin 2
	Рис. 4.4		0	l

На концах интервала (0, l) подинтегральная функция рана нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса (а оно равно 1/2) на ширину ямы l:

A2 2l 1,

отсюда A 2 / l .

Таким образом, собственные функции в данном случае имеют вид

		(x)	2		nx
				sin	,
			l		l
		*
		n=4			n=4
		n=3			n=3
		n=2			n=2
		n=1			n=1
0	l	0	б)		l
	а)

Рис. 4.5

n =1, 2, 3, …	(4...19)
Графики	некоторых

собственных функций и

плотности вероятности * выявления частицы на разных расстояниях от стенок ямы приведены на рис. 4.5.

Из графиков видно, что в низшем энергетическом

состоянии (n 1) с наиболь-шей вероятностью частицу можно выявить в

середине ямы, а вероятность её нахождения вблизи краев ямы очень мала. При (n 2) частица не может быть выявлена в центре ямы, и вместе с тем

одинаково часто находится в правой и левой ее половинах. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы, все расположения которой в яме равновероятны. С увеличением же энергии (т.е.

с ростом n) максимумы распределения * располагаются все плотнее и

при очень больших n распределение * представляется равномерным – частица начинает вести себя как классическая.