ВАШ КОРР КУРС Геометрия Ковал Лосева

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный университет

кафедра высшей математики

и методики преподавания математики

Коваленко Н. В., Лосева Н. Н.

Коррекционный курс

по геометрии

Методические рекомендации

к проведению занятий

(для студентов І курса

математического факультета)

Донецк - 2006

Министерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет кафедра высшей математики

и методики преподавания математики

Коваленко Н. В., Лосева Н. Н.

Коррекционный курс по геометрии

Методические рекомендации к проведению занятий

(для студентов І курса математического факультета)

Донецк - 2006

УДК 514.113 ББК 22ю151я721

Рекомендовано Методическим советом математического факультета Протокол № 32 от 22.05.2006 г.

Коррекционный курс по геометрии: методические рекомендации к проведению занятий (для студентов I курса математического факультета) / Н. В. Коваленко, Н. Н. Лосева. – Донецк, ДонНУ, 2006. – 52 с.

Методические рекомендации составлены в соответствии с программой коррекционного курса геометрии для студентов I курса.

Методические рекомендации призваны помочь студентам актуализировать школьные знания по курсу геометрии, повторить основное содержание теоретического материала, систематизировать некоторые факты, часто используемые при решении задач, обобщить и углубить знания по школьному курсу геометрии, изучить и закрепить методы решения различных задач геометрии.

В рекомендациях учитывается разноуровневость знаний студентов, и предлагаются задания различной сложности для повторения и систематизации материала, предусматриваются задания для самоконтроля.

Рекомендации могут быть полезны студентам-математикам в процессе повторения школьного курса геометрии.

Рецензент: проф. Горр Г. В.

© Н. В. Коваленко, Н. Н. Лосева

2

Программа коррекционного курса ГЕОМЕТРИИ

для студентов І курса специальностей «Математика» и «Статистика»

	№	Тема занятия	Кол-во
	п/п		часов
	І	Планиметрия	8
		Диагностическая контрольная работа	1
	1	Описание геометрических особенностей задания конфигурации
		(построение чертежа, выявление опорных фактов,	1
		характерных приемов)
	2	Методы решения планиметрических задач
		(с рассмотрением принципа вариативности):
	2.1	Геометрия треугольника	2
	2.2	Геометрия четырехугольника, выпуклые многоугольники,	2
		геометрия окружности
	3	Метод координат на плоскости	2
	ІІ	Стереометрия	8
	1	Прямые и плоскости в пространстве. Проектирование.	2
		Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми
	2	Декартовая система координат в пространстве	2
	3	Векторы и векторный метод решения задач	2
	4	Геометрические тела	2

3

Программа коррекционного курса ГЕОМЕТРИИ

для студентов І курса специальностей «Прикладная математика» и «Информатика»

	№	Тема занятия	Кол-во
	п/п		часов
	І	Планиметрия	8
		Диагностическая контрольная работа	1
	1	Описание геометрических особенностей задания конфигурации
		(построение чертежа, выявление опорных фактов,	1
		характерных приемов)
	2	Методы решения планиметрических задач
		(с рассмотрением принципа вариативности):
	2.1	Геометрия треугольника	2
	2.2	Геометрия четырехугольника, выпуклые многоугольники,	2
		геометрия окружности
	3	Метод координат на плоскости	2
	ІІ	Стереометрия	10
	1	Прямые и плоскости в пространстве	2
	2	Проектирование.	2
		Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми
	3	Декартовая система координат в пространстве	2
	4	Векторы и векторный метод решения задач	2
	5	Геометрические тела	2

4

Диагностический тест

Задания 1 – 30 содержат четыре варианта ответов. ОДИН ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите верный вариант ответа

1. Найти координаты конца диаметра, если другим его концом является точка

(5;-2), а центром окружности – точка (2;0).
1)	(-1;2);	2)	(2;-1);	3) (1;-2);	4) (-1;-2).
2. Какая из точек не лежит на окружности х2 +у2 =25.
1)	(3;5);	2)	(4;3);	3) (-4;3);	4) (-3;-4).

3. Уравнение окружности с центром в точке (-4;-2), которая пересекает ось ординат в точке (0;1) имеет вид

1)	(х+4)2 +(у+2)2 =5;		3)	(х-4) 2 +(у-2) 2 =			;
						17
2)	(х-4) 2 +(у-2) 2 =17;		4)	(х+4)2 +(у+2) 2 =25.
4. Найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСD,
если А (-2;2), В (3;2), С (1;-1), D (-4;-1).
1)	(0,5;-0,5);	2) (-0,5;0,5);	3)	(0,5;0,5);	4) (-0,5;-0,5).
5. Дано уравнение окружности (х+1)2 +(у-2)2 =25. Точка (2;-1)
1)	лежит внутри окружности;		3)	лежит вне окружности;
2)	лежит на окружности;		4)	совпадает с центром окружности.

6. Точка пересечения

медиан треугольника делит

медианы в отношении

(считая от вершины):

1) 1:3;

2) 2:1;

3) 1:4;

4)

1:1.

7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Сумма

векторов

OA

+

OB

+

OC

+

OD

равна:

3

2

1

4)

0.

1) 4 ;

2) 3 ;

3) 2 ;

8. Даны точки А(2;3) и В(1;0). Найти координаты вектора

BA

.

1) BA(3;3);

2) BA(-1;-3);

3) BA (1;3);

4)

BA

(-3;-3).

9. Точка С является серединой вектора АВ. Найти координаты точки А, если

С(-1;2), В(3;2):

1) А(-5;2);

2) А(1;2);

3) А(1;6);

4) А(-2;0).

10.

Чему равна длина вектора

AB

, если А(1;1), В(-1;-1)?

1)

;

2) 2 2 ;

3) 0;

4)

8.

2

11. Векторы

r

и pr

коллинеарны Û когда:

1)

р=1;

2) р R;

3) p<0;

4)

р>0.

12.

Какой из векторов

(2;2),

(3;2),

(4;−2),

(2;−3)

имеет наибольшую длину?

a

b

c

d

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

a

c

b

d

æ 1

ö

13.

Даны точки А(2;1;7), В(-1;1;3), Сç

;1;2÷ . Найти внутренний ÐВ DАВС.

è 3

ø

1)

0°;

2) 60°;

3) 180°;

4)

90°.

14.

Единичный вектор, противоположно направленный вектору

a

(-3;4) :

æ

-

3

;

4

ö

2) (-1;0);

æ

3

;-

4

ö

æ

1

;-

1 ö

1)

ç

÷;

3) ç

÷;

4)

ç

÷ .

5

5

5

5

è

ø

è

ø

è

2

2 ø

5

15.

Даны точки А(1;0), В(0;0), С(0;1), D(1;1). Найти площадь четырехугольника

ABCD.

1)

1;

2)

;

3)

2;

4)

.

2

3

16.

Найти скалярное произведение векторов, если

= 5,

= 4 и (

;

)= 600 .

a

b

a

b

1)

10;

2) 15;

3)

20;

4) 25.

17.

Найдите координаты вектора

и абсолютную величину вектора

, если

AB

AB

А(-1;3), В(3;6).

1)

(4;3), 5;

2) (2;3), 4;

3)

(-4;3), 6;

4) (-4;-3), 3.

18.

Дано:

a

(1,-2),

b

( - 5,3),

c

(х;у).

Какими

должны

быть х и у, чтобы

выполнялось равенство

+

−

=

?

a

b

c

0

1)

х=-4, у=1;

2) х=-1, у=4;

3)

х=6, у=-5;

4) х=6, у=5.

19.

В прямоугольном треугольнике АВС (Ð С=90°) дан Ð АВС=30° и высота

CD=3. Найти катет СВ.

1)

3;

2)

;

3)

6;

4) 1,5.

3

20.

В прямоугольном треугольнике катеты 6 см и 8 см. Найти радиус

окружности, вписанной в этот треугольник.

1)

5 см;

2) 4 см;

3)

2 см;

4) 1 см.

21.

Как изменится объем конуса, если высоту конуса уменьшить в 10 раз, а

радиус его основания увеличить в 5 раз?

1) увеличится в 5 раз;

3) увеличится в 2,5 раза;

2) уменьшится в 5 раза;

4) уменьшится в 2 раза.

6

22.

Во сколько раз надо уменьшить радиус основания цилиндра, не меняя его

высоты, чтобы его объем уменьшился втрое?

4) в 3π раз.

1)

в 3 раза;

2) в 9 раз;

3) в

раз;

3

23. В прямом параллелепипеде стороны основания 2 и 4, угол между ними 30°. Боковая поверхность равна 224. Найти полную поверхность параллелепипеда.

	1) 228;					2) 232;							3) 240;										4) 231.
24.	Длина наклонной АС равна 7. Точка А удалена от плоскости на расстоянии
5. Найти угол между наклонной и плоскостью.
	1) arcsin 5 ;					2) arccos 7 ;							3) arctg 7 ;										4) arccos								5
		7					5										5									7.
25.	Найти площадь ортогональной проекции квадрата с диагональю 10, если
угол между плоскостями квадрата и его проекции равен 30°.
	1) 25;					2) 25						;	3) 50;										4) 50							.
											3																3
26.	Найти скалярное произведение векторов																	=(6;-7;3) и						=(-4;2;3).
																	a						b
	1) 29;					2) 1;							3) -29;										4) -1.
27.	Найти косинус угла между векторами														=(2;1;0) и							=(0;2;-6).
														a							b
	1)		2		;	2)		2		;			3) -					2		;			4) -			2			.
		5					10										5								20
28.	Какая точка симметрична точке (2;-5;-6) относительно оси Ох?
	1) (2; -5; 6);					2) (2; 5; 6);							3) (-2; -5; -6);										4) (2; 5; -6).

6

29. Радиусы основания усеченного конуса 2 и 3, высота 4. Найти образующую.

1) 2 17 ;

2) 17;

3) 5;

4) 2 5 .

30. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 100. Найти площадь основания цилиндра.

1) 25π ;

2) 5π ;

3) 25;

4) 10π .

Занятие № 1

Тема занятия «Геометрические особенности заданной конфигурации»

(1 час)

Цели:

-повторить основные подходы к решению геометрических задач;

-выработать навыки в оформлении чертежа;

-сформулировать некоторые факты, часто используемые при решении планиметрических задач.

1. Краткое содержание теоретического материала

Решение геометрической задачи начинается с чертежа. Чертеж должен быть:

-«большим и красивым»;

-лаконичным;

-с возможностью последующих уточнений;

-с выносными картинками (при необходимости);

-с соблюдением пропорций и соотношений.

Один из основных этапов решения геометрической задачи – выявление характерных особенностей конфигурации, описанной в задаче.

Представляется полезным выделить некоторое множество задач, в которых формируется некий факт, достаточно часто используемый в задачах, либо иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач. Такие задачи называют опорными, и их делят на задачи-теоремы и задачи-методы.

2. Система задач для аудиторных занятий

Задача 1. Пусть АМ – биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВМ:СМ=АВ:АС. То же верно для биссектрисы внешнего угла треугольника. В этом случае М лежит на продолжении стороны ВС.

Указания: Если АМ – биссектриса внутреннего угла, то

AM = S ABM .

MC S CBM

Пусть АМ – биссектриса внешнего угла АВ1=АВ; ВВ1||АМ.

7

Задача 2. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра окружности радиуса R (a>R), проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В.

Докажите, что МА•МВ постоянно для всех секущих и равно a2–R2 (квадрату длины касательной).

Указания: МС – касательная, ∆ МАС ~ ∆ МСВ. MCMA = MCMB или МА•МВ=МС2=a2–R2.

Задача 3. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, проходит через середины оснований трапеции.

Указания:

BC || AD => K, P, L лежат на одной прямой (L – середина ВС, P - середина AD). Прямая, проходящая через точку М делит ВС и AD в одинаковом отношении => M, P и L тоже лежат на одной прямой.

Задача 4. Расстояние между серединами двух сторон четырехугольника равно полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырехугольник – трапеция.

Указания: воспользуйтесь методом «средних линий» (зафиксируйте середину одной из диагоналей и рассмотрите средние линии треугольников, образованных сторонами четырехугольника и диагоналями).

Задача 5. В параллелограмме со сторонами a и b и углом α проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами. Указания: докажите, что полученный четырехугольник – прямоугольник.

Ответ: 12 (a − b)2 sinα .

3. Задания для самоконтроля

1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1, СС1. Докажите, что эти высоты являются биссектрисами углов треугольника А1В1С1.

Указания: воспользуйтесь свойством точек, лежащих на одной окружности.

2. Докажите, что: а) высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и б) расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны.

Указания: проведите прямые через вершины треугольника АВС, параллельно противоположным сторонам треугольника.

3. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.

Указания: рассмотрите площадь исходного треугольника в виде суммы площадей двух треугольников, одна сторона которых – общая (отрезок соединяющий вершину равнобедренного треугольника с фиксированной точкой на

8

S = 2R2 sin Asin B sin C , где А, В, С, - углы треугольника;

основании), а высоты опущены из этой фиксированной точки на боковые стороны.

4. Докажите справедливость следующих формул для площади треугольника:

S = a2 sin B sin C ,

2sin A

а – сторона, лежащая против угла А; R – радиус описанной окружности. Указания: воспользуйтесь теоремой синусов.

5. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,

вычисляется по формуле r = 12 (a + b − c), где a и b – катеты; с – гипотенуза.

Указания: воспользуйтесь свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Занятие № 2

Тема занятия: «Методы решения планиметрических задач. Геометрия треугольника»

Цели:

- Обучающие:

v обобщить и углубить школьные знания студентов о свойствах треугольников, v изучить дополнительные теоремы,

v сформировать умения применять их при решении различных задач

- Развивающие:

vразвивать «геометрическое зрение», абстрактное и логическое мышление, умение сопоставлять,

vприменять анализ и синтез при решении задач,

vинтерпретировать результат рисунком, использовать вариант перебора.

1. Краткое изложение теоретического материала

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, - вершин треугольника, - и попарно соединяющих их отрезков – сторон треугольника, при этом образуются три угла треугольника.

В любом треугольнике можно выделить следующие элементы:

h - высота, проведенная к стороне b; cb – проекция стороны c на сторону b;

ab – проекция стороны а на сторону b;

S – площадь;

р – полупериметр;

R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности;

d – средняя линия треугольника, (d || b, d=½b).

9