AiNAU2010

Министерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет

Кафедра математического анализа и теории функций

И.В. ГРИДАСОВА, П.А. МАШАРОВ

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА (в рамках коррекционного курса)

для студентов I курса математического факультета ДонНУ

Донецк 2010

Министерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет

Кафедра математического анализа и теории функций

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА (в рамках коррекционного курса)

для студентов I курса математического факультета ДонНУ

Рекомендовано к печати Ученым советом

математического факультета ДонНУ. Протокол № 93 от 17 июня 2010 р.

Донецк, ДонНУ 2010

Алгебра и начала анализа (в рамках коррекционного курса) для студентов I курса специальностей “Статистика”, “Математика”, “Прикладная математика”, “Информатика” математического факультета ДонНУ // И.В. Гридасова, П.А. Машаров — Донецк: ДонНУ, 2010.—56 с.

Пособие содержит рабочую программу курса, необходимые теоретические сведения, примеры решения некоторых задач и задания для работы в аудитории и дома по алгебре и началам анализа. Весь материал разбит по темам. Тематика упражнений для аудиторного и самостоятельного решения охватывает основные направления подготовки к изучению математического анализа и некоторые отдельные темы других математических дисциплин, изучаемых на математическом факультете ДонНУ. Здесь содержатся стандартные примеры и в небольшом количестве — примеры повышенной сложности.

Методические пособие рекомендовано для студентов I курса специальностей “Статистика”, “Математика”, “Прикладная математика”, “Информатика” математического факультета ДонНУ.

Составители:	И.В. Гридасова, ассистент кафедры
	математического анализа и теории функций
	П.А. Машаров, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры
	математического анализа и теории функций
Ответственный	Н.Н. Лосева, председатель учебно-методической
за выпуск	комиссии, д-р пед. наук, проф.
Рецензент:	Г.А. Попова, канд. физ.-мат. наук, доц.

c Донецкий национальный университет, 2010c И.В. Гридасова, П.А. Машаров, 2010

Содержание

I. Рабочая программа		4
II. Элементы математической логики		5
§ 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		5
§ 2.	Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
§ 3. Упражнения к теме: ”Логическая символика. Метод математической индук-
	ции” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
III. Тождественные преобразования		8
§ 4.	Числа и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
§ 5.	Многочлены и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10

§6. Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§7. Упражнения к теме: ”Тождественные преобразования” . . . . . . . . . . . . 17

IV. Функции, их свойства и графики		20
§ 8. Определения и общие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		20
§ 9. Свойства некоторых функций и их графики . . . . . . . . . . . . . . . . . .		24
§ 10. Преобразование графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		29
§ 11. Упражнения к теме: ”Функции и графики” . . . . . . . . . . . . . . . . . .		30
V. Уравнения		38
§ 12. Уравнения, системы и совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		38
§ 13. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		40
§ 14.	Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
§ 15.	Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
§ 16.	Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
§ 17.	Уравнения с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	42

§18. Тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§19. Упражнения к теме: ”Уравнения” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

VI. Неравенства		47
§ 20.	Теоремы о равносильности неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
§ 21.	Некоторые типы неравенств и их эквивалентные преобразования . . . . .	49

§22. Упражнения к теме: ”Неравенства” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§23. Дополнительные упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Глава I. Рабочая программа

1.Диагностическая контрольная работа – 2 ч

2.Логическая символика. Метод математической индукции (неравенство Бернулли, бином Ньютона) – 2 ч.

3.Тождественные преобразования

а) алгебраических выражений (действия со степенями, выделение полного квадрата, разложение на множители, деление многочленов) – 2 ч.

б) логарифмических выражений (свойства логарифмов, приведение к одному основанию, степень числа, действия со степенями) – 2 ч.

4.Модуль числа. Геометрический смысл. Свойства модулей – 1 ч.

5.Тригонометрические выражения и их преобразование – 3 ч.

6.Понятие функции (определение, область определения, множество значений). Элементарные и неэлементарные функции. Функция Дирихле, y = [x], y = {x}, y = sign x. Простейшие элементарные функции (квадратичная, дробно-линейная, показательная, тригонометрическая). Графики функций – 2 ч.

7.Свойства функций (монотонность, четность, ограниченность, периодичность). Демонстрация этих свойств на простейших элементарных функциях – 2 ч

8.Суперпозиция функций. Изучение свойств суперпозиции функций. График –

2 ч.

9.Понятие обратной функции. Обратные тригонометрические функции (их графики, свойства, область определения, множество значений) – 2 ч

10.Логарифмическая и показательная функции. Графики – 2 ч.

11.Построение графиков функций путем различных преобразований. Построение графиков суммы, произведения, частного, суперпозиции функций – 2 ч

12.Уравнения. Решение уравнений. Равносильные уравнения, следствия. – 2 ч

13.Основные методы решения уравнений

а) рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, с модулем, системы уравнений – 4 ч

б) тригонометрические уравнения – 2 ч в) показательные и логарифмические уравнения – 2 ч 14. Неравенства

а) равносильные неравенства. Решение неравенств путем равносильных преобразований. Системы неравенств.

4

б) Метод интервалов. Решение дробно-рациональных, показательных, логарифмических неравенств – 2 ч

в) Тригонометрические неравенства – 2 ч г) решение различных неравенств – 2 ч 15. Итоговая контрольная работа.

Глава II. Элементы математической логики

§1. Логическая символика

Вматематике мы имеем дело с высказываниями. В некоторых из них утверждается нечто правильное, такие высказывания называются истинными. В некоторых других утверждается нечто неверное, такие высказывания называются ложными. Всякое высказывание является предложением и может быть выражено словами. Однако при записи высказываний математики используют не только русские буквы, но и другие знаки: цифры, буквы других алфавитов (латинского, греческого), специальные символы. Очень часто используются следующие символы: — для любого (для каждого,

для всякого; реже — для всех), — существует, — следует; — эквивалентно; : — такой, что; . — делится без остатка (нацело), . . . — и так далее. Многие символы известны из геометрии: — принадлежит, — пустое множество, — объединение, ∩ — пересечение. Вот пример использования математического языка. Запись A = {x R: x2 − 3x + 2 = 0} в переводе на русский язык читается так ”множество A состоит из тех действительных значений x, которые являются решениями уравнения . . . ”. Не всякое даже утвердительное (не вопросительное и не восклицательное) предложение является высказыванием. К последним будем относить те, которые имеют точный, однозначный смысл, истинность или ложность которого принципиально возможно установить.

Из всякого высказывания A можно получить новое высказывание, отрицая его, то есть утверждая, что высказывание A не имеет места (обозначения отрицания: A, или A). Каково бы ни было высказывание A, из двух высказываний A и A одно является истинным, а другое ложным. Двойное отрицание — это отрицание отрицания, A = A.

Вматематике встречаются неопределенные высказывания (предикаты). Они содержат переменные. Их истинность или ложность зависит от значений этих переменных. В любой теореме можно выделить условие и заключение, которые обычно

5

6 Глава II. Элементы математической логики [И.В. Гридасова

являются неопределенными высказываниями. Если теорема формулируется в виде A B, то условие A является достаточным для B, а условие B является необходимым для A. Теоремы A B и B A называются обратными друг другу.

К бинарным операциям над высказываниями относятся дизъюнкция (операция ”или”, обозначение ) и конъюнкция (операция ”и”, обозначение ).

Для доказательства теорем применяют метод доказательства от противного, суть

которого заключается в равносильности теорем
( x)(A(x) B(x)) и ( x) ( B(x)) ( A(x)) .
являются следующие теоремы:			(		x)A(x)	и (		x)(	A(x));
Также равносильными

( x)A(x) и ( x)( A(x)); (A(x) B(x)) и ( A(x)) ( B(x)); (A(x) B(x)) и

( A(x)) ( B(x)).

§ 2. Метод математической индукции

Пусть мы имеем бесконечную последовательность утверждений P1, P2, . . . , Pk,

. . . , и нам требуется доказать, что все они (или какое-то одно из них с достаточно большим номером) имеют место. Иногда это удобно сделать при помощи метода математической индукции. Схема применения метода состоит в следующем:

1)доказать, что утверждение P1 истинно (этот этап называется базой индукции);

2)доказать, что если при некотором n утверждения Pk при всех k = 1, 2, . . . , n истинны, то истинным является утверждение Pk при k = n + 1 (этот этап называется шагом индукции).

§3. Упражнения к теме: ”Логическая символика. Метод математической индукции”

1. Прочитайте высказывание. ”Переведите” его на русский язык. Верно ли оно?

a) a, b Z: a = b2;

b) n N: 8 < n2 < 12;

c) a R b R: a + b = b + a;

d) n N: n > 0;

e) a, b

R a < b,

f) a

R, b

R: a

·

b > 0

a > 0,

b

b > 0;

a > b,

a =

2;

h) a, b N (a + b)

2

= 5;

g) a, b Z: a = b ;

i) x, y N: x + y = 7 и x · y = 7;

j) m, n N: m · n m, m · n n;

k) b N: b < 1, b > −2;

l) m N: m2 = 2 · m;

m) n N n2 = 1;

n) x, y N: x + y < 2;

o) k R k < k2;

p) x, y R (x + y)2 = x2 + y2;

q) a Q a = −a;

r) a Q a2 > 0;

П.А. Машаров] § 3. Упражнения:					”Лог.		символика. Метод математической индукции” 7
s) a R a2 0;							t) n N: n2 > 30.
2. Прочитайте утверждение, опровергните его. Постройте его отрицание.
a) a: a2 > a;							b) b: b2 + b + 1 – простое число;
	2		2		2		m			n
c) x, y N (x + y)		= x		+ y		;	d) m, n N: n	=			;
										m
e) a, b N: (a + b)2 = 5;							f) c, d N: c2 + d2 = 6;
g) x, y N: x + y = 7 и x · y = 7;							h) m, n, k N:	m			mk
								n	= nk .

3. Запишите высказывание сокращенно, определите его истинность, и сформулируйте его отрицание в утвердительной форме. Для теорем сформулируйте обратную

теорему.

a) Два меньше трех.

b) Два плюс три равно пяти.

c) Любое натуральное число меньше

d) Всякое число, оканчивающееся двумя

ста.

нулями, делится на четыре.

e) Для любых двух различных дей-

f) Для любых двух различных рацио-

ствительных чисел найдется рацио-

нальных чисел найдется действительное,

нальное, лежащее на числовой пря-

расположенное на числовой прямой меж-

мой между ними.

ду ними.

g) Сумма любых двух рациональ-

h) Существуют два иррациональных чис-

ных чисел является рациональным

ла, сумма которых является рациональ-

числом.

ным числом.

i) Если число делится на шесть, то

j) Каждое простое число нечетно.

оно кратно пяти.

k) Число x четное.

l) Функция f(x) нечетная.

m) Для любого действительного чис-

n) Для любого положительного числа

ла найдется натуральное, большее

найдется отрицательное, сумма которых

этого числа.

будет неположительной.

4. Докажите методом математической индукции следующие утверждения.

a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

b) 1 ·2 + 2 ·5 + . . .+ n·(3n−1) = n2(n+ 1)

n N;

n N;

c) n·(2·n2 −3·n+1) кратно 6 n N;

d) 4n + 15 · n − 1 кратно 9 n N;

e) 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n! =

f) (1 + x)n > 1 + n · x n N n 2

(n + 1)! − 1 n N;

x > −1 x = 0;

g) n 3 2n > 2n + 1;

h) | sin nx| n| sin x| n N;

n

1

1

1

1

n

i) функция y = x

n N монотон-

j)

+

+

+ . . . +

=

.

4·5

5·6

6·7

(n+3)·(n+4)

4·(n+4)

но возрастает на [0; +∞);

5. Докажите методом математической индукции (задания для работы дома).

a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

b) 12 + 32

+ 52 + . . . + (2n − 1)2

=

n(n + 1)(2n + 1);

n(2n − 1)(2n + 1);

6

7

37

7

7

c) (1 + x1) ·(1 + x2) . . . (1 + xn) 1 +

d)

+

+

+ . . . +

=

1·8

8·15

15·22

(7·n−6)·(7·n+1)

x1 +x2 +. . .+xn где x1 . . . xn — числа

1 −

1

;

7·n+1

одного и того же знака, больше −1;

e) 62n−1 + 1 делится на 7;

f) 33n+2 + 24n+1 делится на 11;

g) 72n − 1 делится на 48;

h) 2! · 4! · . . . · (2n)! > [(n + 1)!]n n > 1

Глава III. Тождественные преобразования

§ 4. Числа и действия с ними 4.1. Свойства арифметических действий над действительными числами

a + b

= b + a;

(a + b) + c = a + (b + c);

a + 0 = a − 0 = a;

(4.1)

a + (−a)

= 0, a ;

−(−a) = a;

0 − a = −a;

(4.2)

ab

= ba;

(ab)c = a(bc);

a(b + c) = ab + ac;

(4.3)

a · 1

= 1 · a = a;

a · 0 = 0 · a = 0, a ;

a · (b/a) = b, a = 0, ;

(4.4)

0

a + b

a

b

a

= 0, a = 0, ;

=

+

, c = 0;

— не определено.

(4.5)

a

c

c

c

0

4.2. Степень. В записи an = b число a называется основанием степени, n — показателем степени, b — значением степени. Степень с натуральным показателем:

an = a · a · . . . · a, n N, n 2. 1n = 1; 0n = 0, n N; a1 = a; a0 = 1, a = 0.

rn→β

. Свойства:

n раз

Степень с действительным показателем aβ = lim arn

rn Q

am · an = am+n,

am : an = am−n,

m R, n R.

(4.6)

aa n

= an

n

= a1 b

m ,

(4.7)

m n

amn,

ab

n

n

n,

R

n

R.

=

,

a−

=

,

n R,

a = 0.

(4.8)

b

bn

an

4.3. Арифметический корень n-й степени и его свойства. Арифметическим корнем n-й степени (n N, n > 1) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, которое при возведение его в степень n дает число a. Число n называется показателем корня, число a — подкоренным выражением. Обозначение:

√

n a = b; эта запись означает bn = a, a 0, b 0.

8