КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Контрольні завдання з математичного аналізу
Навчальний посібник
Київ
Видавничо-поліграфічний центр
“Київський університет”
2001
УДК 517.2
Контрольні завдання з математичного аналізу: Методичний посібник для студентів радіофізичного та фізичного факультетів університету / Нац. унів. ім. Т. Шевченка; Упорядники: С.В.Єфіменко, С.А.Кривошея.
Посібник містить близько 1000 задач з курсу математичного аналізу для самостійного розв’язування. Кожне завдання складається з 25 варіантів задач. Перед кожним розділом наведені теоретичні відомості, необхідні при виконанні завдань.
Затверджено
Радою радіофізичного факультету
____________2001 року
Границя числової послідовності.
Послідовність
має своєю границею число
(збігається до
),
тобто
,
якщо
,
такий що
при
.
Послідовність
називається нескінченно малою, якщо
.
Запис
означає, що
,такий
що
при
.
Величина
називається частковою границею (граничною
точкою) послідовності
,
якщо існує її підпослідовність
,
така що
.
Найменша з часткових
границь послідовності
називається нижнею границею і позначається
,
а найбільша з її часткових границь
називається верхнею границею і
позначається
.
Необхідною і достатньою умовою існування
границі послідовності є
.
Точною нижнею
межею послідовності
називається величина
(позначається
),
для якої виконуються умови:
1)
,
2)
-
елемент послідовності такий, що
.
Аналогічно,
точною верхнею межею послідовності
називається величина
(позначається
),
для якої виконуються умови:
1)
,
2)
-
елемент послідовності такий, що
.
Якщо послідовність
необмежена знизу (зверху), то вважають,
що
(
).
Завдання 1. Обчислити границю числової послідовності.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 2. Обчислити границю числової послідовності.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання
3. Для числової послідовності
знайти
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Неперервність функції. Границя функції в точці.
Запис
означає, що
існує
таке число
,
що
для яких
має зміст, спрадлива нерівність:
.
Число
називається лівою границею функції
в точці
,
тобто
,
якщо
при
.
Аналогічно, число
називається правою границею функції
в точці
,
тобто
,
якщо
при
.
Запис
означає, що
виконується нерівність
,
як тільки
.
Мають місце визначні границі:
.
Запис
при
означає,
що в деякому околі
точки
виконана нерівність
,
де
–
деяка стала. Зокрема, коли
при
,
то це співвідношення виконане, якщо
існує
.
Тоді записують:
.
Запис
при
означає,
що
де
при
.
Функції називаються
еквівалентиними (
при
),
якщо
при
.
Якщо
при
,
то із останньої рівності випливає, що
.
Якщо
,
то
називається нескінченно малою порядка
відносно нескінченно малої
.
Аналогічно, якщо
,
то
називається нескінченно великою порядка
відносно нескінченно великої
.
Справедливі співвідношення:
1.
2.
3.
4.
5.
,
Завдання 4. Обчислити границю функції.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 5. Обчислити границю функції.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 6. Обчислити границю функції.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 7.
Виділити головну степеневу частину
виду
при
для даних функцій та записити асимптотичну
формулу
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.