Визначений інтеграл.
Визначений інтеграл
при
чисельно дорівнює площі
криволінійної трапеції, утвореної
кривою
,
віссю ОХ і відрізками прямих
.
Формула Ньютона-Лейбніца.
Якщо функція
визначена і неперервна на відрізку
,
а
-
її первісна, то
Формула інтегрування частинами.
Якщо існують
- неперервно-диференційовні функції на
,
то
.
Формула заміни змінних.
Якщо
неперервна на відрізку
функція, а
- неперервно-диференційовні функції на
,
де
,
,
то
Завдання 17. Обчислити дані інтеграли.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 18. Обчислити площу фігури, обмеженої заданими полярними кривими.
1.
2.
3.
(1
пелюстка)
4.
5.
(1
пелюстка)
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Числові ряди.
Числовий ряд
(1)
називається
збіжним, якщо існує скінченна границя:
,
де
.
У супротивному разі ряд (1) називається
розбіжним.
Якщо ряд (1) – збіжний, то послідовність його членів є нескінченно малою:
(необхідна умова
збіжності ряду).
Якщо
,то
ряд (1) - розбіжний (груба ознака
розбіжності).
Ряд (1) називаєтьс абсолютно збіжним, якщо збігається ряд
(2)
.
В цьому разі ряд (1) також збігається . Якщо ряд (1) збігається, а ряд (2) розбігається, то ряд (1) називається умовно збіжним.
Ознаки збіжності числових рядів.
Перша ознака порівняння. Розглянемо також ряд
(3)
Якщо
,
то із збіжності ряду (3) випливає збіжність
ряду (1). Із розбіжності ряду (1) випливає
розбіжність ряду (3).
Друга ознака
порівняння. Якщо
,
то ряд (1) збігається при
і розбігається при
.
Ознака Даламбера.
Якщо
і
,
то ряд (1) збігається при
і розбігається при
.
Ознака Коші.
Якщо
і
,
то ряд (1) збігається при
і розбігається при
.
Ознака Раабе.
Якщо
і
,
то ряд (1) збігається при
і розбігається при
.
Ознака Лейбніца збіжності знакозмінного ряду.
Ряд
,
де
збігається , якщо 1)
і 2)
.
Завдання 19. Дослідити збіжність числового ряду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 20. Дослідити збіжність ряду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 21. Дослідити збіжність ряду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 22. Дослідити збіжність знакозмінного ряду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Функціональні ряди.
Сукупність
усіх значень
,
при яких збігається ряд
(1)
,
де
- деякі дійсні функції, називається
областю збіжності
функціонального
ряду (1), а функція
називається сумою ряду (1).
Рівномірна збіжність.
Послідовність
функцій
рівномірно збігається на множині
,
якщо :
існує гранична
функція
;
.
Рівномірна збіжність
позначається як
.
Наведене означення рівномірної збіжності послідовності функцій еквівалентне виконанню граничної рівності:
.
Функціональний
ряд (1) називається рівномірно збіжним
на множині
,
якщо послідовність його частинних сум
рівномірно збігається на множині
.
Ознака Вейерштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду.
Ряд (1) збігається
абсолютно і рівномірно на множині
,
якщо існує збіжний числовий ряд
такий,
що
,
Степеневі ряди..
Функціональний
ряд (1) у якого
називається степеневим рядом за степенями
.
Для кожного степеневого ряду існує
інтервал збіжності
,
всередині якого степеневий ряд збігається
, а зовні – розбігається. Радіус збіжності
визначається
по формулі Коші-Адамара:
, або
.
Ряд Тейлора.
Функція
,
яка має достатню кількість похідних в
точці
може бути записана у вигляді степеневий
ряд за степенями
:
.
Залишковий член
цього ряду
може бути поданий у формі Пєано:
,
або у формі Лагранжа :
Ряди Фур’є.
Якщо 1) функція
визначена на інтервалі
,
періодична з періодом
,
є кусково-гладкою на вказанному інтервалі,
то у кожній точці
неперервності функції
має місце рівність :
(2)
, де
,
Ряд (2) називається
тригонометричним рядом Фур’є
періодичної функції
.
Якщо
- точка розриву функції
,
то тригонометричний ряд Фур’є
збігається у цій точці до значення
.
Завдання 23. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) функціонального ряду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 24. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) функціонального ряду.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 25. Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду та дослідити його поведінку в граничних точках інтервалу збіжності.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Завдання 26.
Розкласти функцію
в ряд Тейлора.
1.
по степенях
.
2.
по степенях
.
3.
по степенях
.
4.
по степенях
.
5.
по степенях
.
6.
по степенях
.
7.
по степенях
.
8.
по степенях
.
9.
по степенях
.
10.
по степенях
.
11.
по степенях
.
12.
по степенях
.
13.
по степенях
.
14.
по степенях
.
15.
по степенях
.
16.
по степенях
.
17.
по степенях
.
18.
по степенях
.
19.
по степенях
.
20.
по степенях
.
21.
по степенях
.
22.
по степенях
.
23.
по степенях
.
24.
по степенях
.
25.
по степенях
.
Завдання 27. Розкласти функцію в ряд Фур’є на вказанному проміжку.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.