Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

Математика

Файл:

практическое занятие № 11

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

327.17 Кб

Скачать

☆

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 11

з теми: «Дослідження інтегралів на збіжність.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.09 Невласні інтеграли

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено

на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та

прикладної математики

протокол № ____ від _______20__ р.

Голова циклової

комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач

Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Дослідження інтегралів на збіжність.

Мета:

Дидактична: виробити вміння досліджувати на збіжність невласні інтеграли, використовуючи визначення чи відповідні ознаки збіжності.
Виховна: підвищити рівень засвоєння навчального матеріалу, розвивати наукове мислення, усне мовлення студентів.
Методична: вдосконалювати методику проведення практичних занять з використанням технології проблемного та проектного навчання.

Тип: практичне заняття

Вид: практичне заняття – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: практичні, дедуктивні, проблемно – пошукові, фронтальна, групова робота.

Наочні посібники: -

Роздавальний матеріал: тестові завдання до актуалізації знань, картки - завдання до самостійного виконання студентами.

Обчислювальні засоби: -

Література:

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

ХІД ЗАНЯТТЯ

Організаційна частина:

відсутні;
підготовка до заняття;
перевірка д/з.

Мотивація навчальної діяльності студентів: вивчити основний математичний апарат –інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

Актуалізація опорних знань: визначення невласних інтегралів, ознаки збіжності невласних інтегралів від додатних функцій.

Контроль за підготовкою студентів до практичного заняття:

Інструктаж щодо виконання практичної роботи.
Видача завдань для виконання роботи.
Виконання студентами практичної роботи.
Оформлення індивідуальних звітів виконаної роботи, захист практичної роботи.
Підведення підсумків. Оцінювання.
Домашнє завдання:

Конспект практичного заняття № 11.

Тема: «Дослідження інтегралів на збіжність.»

Методичні вказівки.

Нехай функція ƒ визначена на скінченому чи нескінченому полу інтервалі [a, b), - ∞ < a < b ≤ + ∞, та для будь – якого числа ε [a, b), інтегрована на відрізку [a, ε].

Функція верхньої границі інтегрування, a ≤ ε < b, називається невласним інтегралом та позначається . Якщо існує скінчена границя , то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо ця границя нескінчена чи не існує, то – розбіжним.

Тобто маємо: = . Можливі два випадки: коли b – скінчене число та коли b – нескінчене число.

Якщо існує скінчена границя , то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо ця границя нескінчена чи не існує, то – розбіжним.

Тобто маємо: = .

Якщо функція ƒ неперервна на проміжку [a, b), та Φ – деяка її первісна, то = Φ(b-0) – Φ(а).

Ознаки збіжності для невласних інтегралів від невід’ємних функцій.

Теорема.(ознака зрівняння) Нехай 0 ≤ g(х) ≤ ƒ(х), х [a, b). Тоді: 1) якщо збігається, то збігається й інтеграл ; 2) якщо інтеграл розбігається, то розбігається й інтеграл .

Наслідки. Нехай функції g(х) та ƒ(х) невід’ємні на полу інтервалі [а, b), g(х) ≠ 0 при всіх х [a, b) та існує скінчена чи нескінчена границя . Тоді:

якщо інтеграл збігається та 0 ≤ k < +∞, то й інтеграл збігається;
якщо інтеграл розбігається та 0 < k ≤ +∞, то й інтеграл розбігається.

Зокрема, якщо , то інтеграли та одночасно збігаються та розбігаються.

Теорема.(критерій Коші збіжності інтегралів) Невласний інтеграл збігається тоді та тільки тоді, коли .

Нехай функція ƒ визначена на скінченому чи нескінченому полуінтервалі [a, b), - ∞ < a < b ≤ + ∞, та для будь – якого числа ε [a, b), інтегрована за Ріманом на відрізку [a, ε].

Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл .

Теорема.(критерій Коші абсолютної збіжності інтеграла) Для того, щоб невласний інтеграл абсолютно збігаєшся, необхідно та достатньо, щоб .

Теорема. Якщо невласний інтеграл абсолютно збігається, то він і просто збігається. (зворотне твердження не вірне).

Достатні умови збіжності невласних інтегралів:

Теорема.(ознака Дирихлє) Якщо на полуосі х ≥ а:

1) функція ƒ неперервна та має обмежену первісну,

2) функція g неперервно диференційована та спадає, рухаючись до 0 при х → +∞, то інтеграл збігається.

Теорема.(ознака Абеля) Якщо на полуосі х ≥ а:

1) функція ƒ неперервна та інтеграл збігається,

2) функція g неперервно диференційована, обмежена та монотонна, то інтеграл збігається.

Інструктаж до виконання практичних завдань.

Приклади виконання практичних завдань.

Приклад 1. Обчислити інтеграл чи встановити його розбіжність.

Розв’язання:

Підінтегральна функція необмежена в будь – якому околі точки х=1 та інтегрована на будь – якому відрізку, . За визначенням невласного інтегралу маємо: .
Підінтегральна функція необмежена в правому околі точки х=0, тому

Підінтегральна функція необмежена в околі точки х = 0. даний інтеграл збігається, якщо збігається кожен з інтегралів . Але перший з інтегралів розбігається, так як .